基于概率魯棒的水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)魯棒性評(píng)估

劉長(zhǎng)良， 曹 威， 王梓齊

(1.華北電力大學(xué)新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 102206； 2.華北電力大學(xué)控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院， 保定 071003)

水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)是涉及多學(xué)科領(lǐng)域的不確定系統(tǒng)，因此在設(shè)計(jì)控制策略時(shí)，必須保證其有著良好的魯棒性，才能保證實(shí)際運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)的性能[1]。魯棒控制在近年來得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[2]選擇滑動(dòng)模式控制對(duì)注入電網(wǎng)的有功/無功功率進(jìn)行魯棒控制；文獻(xiàn)[3]應(yīng)用魯棒控制，提高了機(jī)械臂控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)及魯棒性。但是如何對(duì)控制系統(tǒng)魯棒性評(píng)估成為了控制界研究的重點(diǎn)?；谧顗那闆r的魯棒性評(píng)估算法隨著系統(tǒng)階次的提高，計(jì)算量會(huì)大大增加，使問題求解變得極其困難[4]。

為解決這一問題，文獻(xiàn)[5]提出了概率魯棒的方法，用蒙特卡洛仿真來模擬系統(tǒng)的不確定性，通過計(jì)算性能指標(biāo)的可接受概率來評(píng)價(jià)其魯棒性。但是這種方法不能在任意性能水平下給出系統(tǒng)的可接受概率。針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[6-7]分別使用累計(jì)頻率曲線和樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為量化指標(biāo)，給出了系統(tǒng)在任意性能水平下的可接受概率，完成了系統(tǒng)魯棒性的定量評(píng)估。然而目前概率魯棒的方法大多用來分析飛行器控制系統(tǒng)，并沒有運(yùn)用到水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)分析中。與其他控制系統(tǒng)不同的是，水輪機(jī)的“水錘現(xiàn)象”嚴(yán)重影響了水輪機(jī)調(diào)速控制系統(tǒng)的控制品質(zhì)。除此之外，水輪機(jī)機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)存在明顯的慣性特性，使控制系統(tǒng)易出現(xiàn)震蕩和超調(diào)。

針對(duì)傳統(tǒng)方法不能定量評(píng)價(jià)控制律魯棒性的問題，分析水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的特點(diǎn)，以緊水灘水力發(fā)電廠為研究對(duì)象，分別設(shè)計(jì)PID 控制器和模糊內(nèi)?？刂破鳎瑧?yīng)用概率魯棒的方法，綜合使用幾種性能指標(biāo)的可接受概率和統(tǒng)計(jì)量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，完成兩種控制器魯棒性的定量評(píng)估，以期填補(bǔ)模糊內(nèi)?？刂坪透怕属敯舴治龇椒ㄔ谒啓C(jī)調(diào)速系統(tǒng)應(yīng)用的空白。

1 水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)

1.1 水輪機(jī)模型

一種能夠反映引水管的水錘效應(yīng)、水頭和流量波動(dòng)等對(duì)水輪機(jī)輸出功率的影響的水輪機(jī)傳遞函數(shù)模型為[8]

(1)

(2)

Z=Tw/Te

(3)

式中：Z為引水管阻抗；Te為水壓波動(dòng)時(shí)間；Tw為水流慣性時(shí)間。

若式(2)中的無窮乘積項(xiàng)為1，即

tanh(Tes)=Tes

(4)

則可以得到剛性水體水輪機(jī)模型；若n≥1時(shí)，可以得到彈性水體水輪機(jī)模型，在工程實(shí)踐中一般取n=1。圖1為彈性水體和剛性水體水輪機(jī)模型的階躍響應(yīng)曲線。

圖1 剛性水體和彈性水體水輪機(jī)的階躍響應(yīng)曲線Fig.1 Step response curve of hydraulic turbine in rigid water body and elastic water body

由圖1可以看出，剛性水體水輪機(jī)階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)增加的。但是實(shí)際上，由于引水管內(nèi)的水慣性作用，此時(shí)水輪機(jī)入口水頭會(huì)變小，導(dǎo)致輸出功率突然減小，即水錘作用。水錘作用會(huì)導(dǎo)致水輪機(jī)的輸出功率經(jīng)過震蕩后才逐漸穩(wěn)定在設(shè)定值上。當(dāng)使用彈性水體水輪機(jī)模型時(shí)，能較為準(zhǔn)確地體現(xiàn)水錘作用對(duì)輸出功率的影響。因此，取n=1來模擬“水錘現(xiàn)象”對(duì)模型的影響。

1.2 液壓伺服系統(tǒng)模型及發(fā)電機(jī)模型

水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)水門的液壓伺服系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為

Gs(s)=1/[(T1s+1)(T2s+1)]

(5)

式(5)中:T1為水門伺服電機(jī)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)；T2為液壓機(jī)構(gòu)的時(shí)間常數(shù)。

水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中與水輪機(jī)連接的同步發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)模型為

Gp(s)=1/(Hs+D)

(6)

式(6)中：H為發(fā)電機(jī)傳動(dòng)慣量時(shí)間系數(shù)；D為阻尼系數(shù)。

1.3 水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)模型

以緊水灘水力發(fā)電廠水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)為模型。緊水灘水力發(fā)電廠發(fā)電機(jī)總裝機(jī)容量6×50 MW，單管引水系統(tǒng)，混流式水輪機(jī)。根據(jù)運(yùn)行數(shù)據(jù)，通過參數(shù)辨識(shí)得到水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)G(s)的標(biāo)稱參數(shù)為：Te=0.5，Tw=4，T1=0.5，T2=0.02，H=10，D=1[9]。由式(1)、式(4)、式(5)所構(gòu)成的水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)G(s)如圖2所示。

u(s)為控制器的輸出，Δo(s)為水門開度變化量，ΔP(s)為水輪機(jī)輸出功率變化量，Δw(s)為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速變化量圖2 水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)模型Fig.2 Hydraulic turbine governor system model

2 控制策略

2.1 PID控制

PID控制作為一種成熟的控制策略，具有原理簡(jiǎn)單、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)。PID控制器的傳遞函數(shù)為

(7)

式(7)中:δp、Ti、Td分別為比例帶、積分時(shí)間和微分時(shí)間。PID參數(shù)整定方法有臨界震蕩法、Z-N法等?，F(xiàn)使用臨界震蕩法，根據(jù)1.2節(jié)中G(s)的標(biāo)稱參數(shù)整定PID參數(shù)，得到臨界比例帶δk和臨界周期Tk，根據(jù)表1中的經(jīng)驗(yàn)公式，得到控制器的傳遞函數(shù)如式(8)所示。

表1 臨界振蕩法參數(shù)整定經(jīng)驗(yàn)公式Table 1 Empirical formula for parameter tuning of critical oscillation method

(8)

2.2 模糊內(nèi)?？刂?/h3>

內(nèi)模控制(internal model control, IMC)是一種基于過程模型的控制策略，具有易設(shè)計(jì)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[10]。但是內(nèi)模控制的可調(diào)參數(shù)少，在復(fù)雜的不確定控制系統(tǒng)中性能較差。

模糊內(nèi)?？刂?fuzzy internal model control, FIMC) 通過模糊邏輯推理對(duì)內(nèi)?？刂浦袨V波器參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)整，解決了失配情況下系統(tǒng)控制品質(zhì)變壞的問題[11]。采用將內(nèi)?？刂婆cMamdani二維模糊控制相結(jié)合的控制策略，以根據(jù)誤差e和誤差變化率de作為Mamdani二維模糊控制器的輸入變量，計(jì)算內(nèi)模控制器中低通濾波器的增益修正值Δk，實(shí)現(xiàn)在線修正。控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)模糊內(nèi)模控制Fig.3 Fuzzy internal model control of hydraulic turbine governor system

圖3中，M(s)為過程模型；G(s)為水輪機(jī)模型；M-1(s)為M(s)中最小相位部分的逆；f(s)是低通濾波器，傳遞函數(shù)如式(9)所示，其中λ=13，增益k=1+Δk；Δk為濾波器增益的修正值，取值范圍為[-0.8,0.8]；經(jīng)過二維模糊規(guī)則修正過Δk的f(s)與M-1(s)構(gòu)成了模糊內(nèi)?？刂破鱃FIMC。

(9)

模糊規(guī)則建立的依據(jù)是：低通濾波器的增益k數(shù)值越大，響應(yīng)越快，但是模型越容易失配，魯棒性越差，越容易引起系統(tǒng)震蕩。當(dāng)誤差e較大時(shí)，為了盡快減小誤差，增益k應(yīng)當(dāng)較大；當(dāng)誤差e較小并且誤差變化率較大時(shí)(即系統(tǒng)有出現(xiàn)超調(diào)的趨勢(shì)時(shí))，為防止系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象并縮短過渡時(shí)間，增益k應(yīng)當(dāng)取適中的值；當(dāng)誤差e較小并且誤差變化率較小時(shí)(即系統(tǒng)緩慢趨近于設(shè)定值時(shí))，增益k應(yīng)當(dāng)取較小的值。

將輸入e和de的語言論域都設(shè)定為{NB,NS,Z,PS,PB}，依次代表{負(fù)大,負(fù)小,零,正小,正大}；定義Δk的語言論域?yàn)閧NVB,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB,PVB}，代表{極小,小,較小,偏小,零,偏大,較大,大,極大}。二維模糊控制器所采用的模糊規(guī)則如表2所示。

表2 模糊規(guī)則Table 2 Fuzzy rules

3 系統(tǒng)魯棒性評(píng)估

3.1 概率魯棒

蒙特卡洛是以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的模擬計(jì)算方法，將數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域的問題與相應(yīng)的概率模型聯(lián)系，進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，進(jìn)而求出所需要的統(tǒng)計(jì)值作為所求解的近似值[12]。

以一個(gè)閉環(huán)單入單出控制系統(tǒng)為例：設(shè)G(q)為系統(tǒng)的被控對(duì)象，q=[q1,q2,…,qn]為被控對(duì)象G(q)的n維隨機(jī)參數(shù)向量且在給定的參數(shù)域中有界；隨機(jī)參數(shù)向量q的概率密度函數(shù)為f(q)；控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)為J(q)；對(duì)于性能水平j(luò)，J(q)

累計(jì)頻率曲線是將頻率直方圖的部分分段頻率進(jìn)行逐段積累，從而得到大于或小于某數(shù)值的概率。通過繪制性能指標(biāo)J(q)的累計(jì)頻率曲線，可以在給定的性能水平j(luò)下，得到累計(jì)頻率曲線上某點(diǎn)的性能可接受概率。通過比較不同控制系統(tǒng)在相同性能水平下的性能可接受概率，從而衡量控制系統(tǒng)魯棒性的優(yōu)劣。

概率魯棒分析的主要方法是：使用蒙特卡洛方法依照概率密度函數(shù)f(q)對(duì)參數(shù)向量q進(jìn)行N次抽樣；仿真生成N組系統(tǒng)性能指標(biāo)J(q)的值；繪制J(q)的累積頻率曲線并計(jì)算統(tǒng)計(jì)量；給定系統(tǒng)的性能水平j(luò)，對(duì)應(yīng)累積頻率曲線上的某點(diǎn)即為性能可接受概率P=P[J(q)

對(duì)給定的精度χ和置信水平δ，此時(shí)能夠保證：

(10)

成立的抽樣次數(shù)N需要滿足以下條件：

(11)

3.2 概率魯棒分析的基本步驟

實(shí)際應(yīng)用中，概率魯棒分析的步驟如下[13-14]：

(1) 構(gòu)建被評(píng)價(jià)系統(tǒng)的仿真模型，包括控制系統(tǒng)的被控對(duì)象、控制器等。

(2) 確定被控對(duì)象的隨機(jī)參數(shù)向量q及其概率密度函數(shù)f(q)，選擇參與魯棒性評(píng)價(jià)的系統(tǒng)性能指標(biāo)J(q)。

(3) 確定精度χ和置信水平δ的值，通過式(9)計(jì)算抽樣次數(shù)的最小值Nmin從而進(jìn)一步確定抽樣次數(shù)N。

(4) 對(duì)被評(píng)價(jià)系統(tǒng)進(jìn)行N次蒙特卡洛抽樣仿真，得到N組系統(tǒng)性能指標(biāo)J(q)的值，繪制J(q)的累計(jì)頻率曲線并計(jì)算樣本均值μ和樣本標(biāo)準(zhǔn)差S。

(5)確定性能水平j(luò)，根據(jù)J(q)的累計(jì)頻率曲線計(jì)算對(duì)應(yīng)性能水平j(luò)下性能可接受概率的估計(jì)值，通過性能可接受概率的估計(jì)值及樣本均值μ、樣本標(biāo)準(zhǔn)差S對(duì)控制系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行綜合地評(píng)價(jià)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了評(píng)價(jià)PID控制和模糊內(nèi)?？刂苾煞N控制策略在水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)上的魯棒性，應(yīng)用概率魯棒方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真：模型的實(shí)際參數(shù)在標(biāo)稱參數(shù)附近以均勻分布發(fā)生±15%的攝動(dòng)，選擇調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量σ作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)魯棒性的性能指標(biāo)；取精度χ=0.01，置信水平δ=0.01，通過式(11)計(jì)算得到抽樣次數(shù)的最小值Nmin=459，取抽樣次數(shù)N=600。將使用PID控制的水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)稱為控制系統(tǒng)A；將使用模糊內(nèi)?？刂频南到y(tǒng)稱為控制系統(tǒng)B。表3為水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)模型參數(shù)及參數(shù)攝動(dòng)范圍。

對(duì)控制系統(tǒng)A及控制系統(tǒng)B分別進(jìn)行蒙特卡洛抽樣仿真，得到水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)控制系統(tǒng)A和控制系統(tǒng)B的階躍響應(yīng)曲線簇，分別如圖4、圖5所示。

表3 水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)模型參數(shù)及參數(shù)攝動(dòng)范圍Table 3 Model parameters and parameter perturbation range of turbine governing system

圖4 控制系統(tǒng)A階躍響應(yīng)曲線簇Fig.4 Control system A step response curve cluster

圖5 控制系統(tǒng)B階躍響應(yīng)曲線簇Fig.5 Control system B step response curve cluster

通過圖4和圖5中的階躍響應(yīng)曲線簇可以直接看出，在標(biāo)稱參數(shù)發(fā)生±15%攝動(dòng)的情況下，控制器A和控制器B都能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性且控制器B的動(dòng)態(tài)性優(yōu)于控制器A。但僅通過曲線簇只能定性的比較控制系統(tǒng)的魯棒性，無法給出一個(gè)定量的評(píng)估結(jié)果。因此，這里通過比較不同控制系統(tǒng)的在相同性能水平下的性能可接受概率來定量評(píng)估。系統(tǒng)A和系統(tǒng)B的穩(wěn)定時(shí)間和超調(diào)量的累積頻率曲線分別如圖6、圖7所示。

圖6 調(diào)節(jié)時(shí)間累積頻率曲線Fig.6 Cumulative frequency curve of settling time

從圖6和圖7可以看出，對(duì)于調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量而言，控制器B的累積頻率曲線整體在控制器A的左側(cè)且橫軸跨度也小于控制器A，表示其魯棒性要優(yōu)于控制器A。另外，采用累積頻率曲線對(duì)系統(tǒng)的魯棒性指標(biāo)分別進(jìn)行評(píng)價(jià)，相比階躍響應(yīng)曲線簇而言更加細(xì)致且直觀。表4為應(yīng)用概率魯棒的方法對(duì)控制器A和控制器B的魯棒性進(jìn)行定量對(duì)比。其中，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)選擇調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量σ；選擇特定性能水平下的可接受概率、樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為定量對(duì)比的指標(biāo)。

由表4中可以看出，在相同可接受概率下，控制器B在調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量、均值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)上都明顯優(yōu)于控制器A，說明控制器B的魯棒性要優(yōu)于控制器A。除此之外，通過可接受概率和性能指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)量，可實(shí)現(xiàn)定量比較不同控制系統(tǒng)魯棒性的目的，驗(yàn)證了本文研究?jī)?nèi)容的可靠性。

圖7 超調(diào)量的累積頻率曲線Fig.7 Cumulative frequency curve of overshoot

表4 魯棒性對(duì)比數(shù)據(jù)Table 4 Robustness comparison data

5 結(jié)論

采用了基于概率魯棒的控制律魯棒性評(píng)估方法，通過累計(jì)頻率曲線得到系統(tǒng)在任意性能水平下的可接受概率，結(jié)合系統(tǒng)性能指標(biāo)可以對(duì)不同控制律的魯棒性進(jìn)行定量的評(píng)價(jià)。以緊水灘水力發(fā)電廠水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)為研究對(duì)象，所做工作如下：①設(shè)計(jì)了PID控制器和模糊內(nèi)模控制器；②應(yīng)用概率魯棒的方法對(duì)兩種控制器的魯棒性進(jìn)行定量評(píng)估。得到如下結(jié)論。

(1)從控制品質(zhì)角度可以看出，模糊內(nèi)?？刂破饔兄玫聂敯粜?；與基于概率魯棒法的定量評(píng)估結(jié)果相一致。

(2)驗(yàn)證了概率魯棒在控制律魯棒性定量評(píng)估方面的有效性。

(3)對(duì)水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)設(shè)計(jì)了模糊內(nèi)?？刂破?，填補(bǔ)了模糊內(nèi)?？刂圃谒啓C(jī)調(diào)速器控制領(lǐng)域應(yīng)用的空白。