立足“PME”理論：發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”

任天峰

摘? 要：學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，概括起來(lái)主要有三個(gè)方面的內(nèi)容，即“抽象”“推理”和“模型”。立足于“PME”理論，探尋“核心素養(yǎng)”時(shí)代背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要不斷研究培養(yǎng)學(xué)生抽象、推理和建模的素養(yǎng)。通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究，有助于推動(dòng)數(shù)學(xué)課程改革向縱深推進(jìn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);“PME”理論;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)研究是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)基礎(chǔ)性領(lǐng)域。國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)“PME”）迄今為止已經(jīng)成功舉辦了40屆，第44屆大會(huì)將于2020年在北京師范大學(xué)舉行。國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究大會(huì)研究的內(nèi)容非常豐富，而其出發(fā)點(diǎn)都是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理。本文立足于“PME”理論，探尋“核心素養(yǎng)”時(shí)代背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，重塑學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)。通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究，助推數(shù)學(xué)課程改革向縱深推進(jìn)。

一、立足“PME”理論：培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)

“PME”理論認(rèn)為，學(xué)生的抽象思維水平，從心理上看主要分為三種不同的水平，首先是“能在情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能主動(dòng)對(duì)特例進(jìn)行歸納形成命題，對(duì)所學(xué)方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的模仿性運(yùn)用”;其次是“能在情境中抽象出一般概念和規(guī)則，將數(shù)學(xué)命題進(jìn)行推廣”;再次是“能在情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，能在已有數(shù)學(xué)結(jié)論基礎(chǔ)上歸納形成新的命題”。

PME研究認(rèn)為，學(xué)生抽象學(xué)習(xí)心理是從具體表象到本質(zhì)概括，從符號(hào)表征到深層遷移的逐步深化過(guò)程。教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生抽象思維形成特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象。數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程是一個(gè)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過(guò)程。抽象的方式很多，概括起來(lái)講主要有“弱抽象”“強(qiáng)抽象”“表征性抽象”“建構(gòu)性抽象”以及“原理性抽象”等。比如教學(xué)“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”（蘇教版六上），筆者從倒數(shù)的本質(zhì)——“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”出發(fā)，充分運(yùn)用學(xué)生思維的直觀性心理特質(zhì)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)“長(zhǎng)為1、寬為1”“長(zhǎng)為2、寬為■”“長(zhǎng)為3、寬為■”的長(zhǎng)方形，學(xué)生直觀地看到，一個(gè)數(shù)越大，它的倒數(shù)就越小;一個(gè)數(shù)越小，它的倒數(shù)就越大。同時(shí)，充分運(yùn)用學(xué)生思維具體性的心理特質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生求出一些分?jǐn)?shù)單位的倒數(shù)、整數(shù)的倒數(shù)、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)以及大于1的假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)等，從而歸納、概括、抽象出這整數(shù)倒數(shù)的特征。

數(shù)學(xué)抽象可以幫助學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。英國(guó)數(shù)學(xué)家斯根普、施瓦茨等人認(rèn)為，個(gè)體數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)生包含了識(shí)別、整合和建構(gòu)三個(gè)階段，其中建構(gòu)是關(guān)鍵。從PME視角看學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程教學(xué)，通過(guò)剝離數(shù)學(xué)知識(shí)的非本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生逐步識(shí)別數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，進(jìn)而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的概念、意義等。

二、立足“PME”理論：培養(yǎng)學(xué)生的推理素養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)推理，概括起來(lái)主要有兩個(gè)方面的內(nèi)容，即“演繹推理與合情推理”。所謂“合情推理”，一般是指“從特殊到一般的推理（其形式主要有歸納推理、類(lèi)比推理）”;所謂“演繹推理”，一般是指“從一般到特殊的推理（形式主要有演繹）”。波利亞認(rèn)為，合情推理一般用于猜想，而演繹推理一般用于論證?！癙ME”理論認(rèn)為，學(xué)生的推理水平，從心理上看主要分為三種不同的水平，“水平一”為“能在情境中用歸納或類(lèi)比法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系”;“水平二”為“能在情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用語(yǔ)言表達(dá)，能用歸納、類(lèi)比法提出數(shù)學(xué)命題”;“水平三”為“在情境中用數(shù)學(xué)眼光打量研究對(duì)象，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題”。

根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理心理特質(zhì)，教師在教學(xué)中要為學(xué)生搭建“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理。比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”（蘇教版四下），可以放手讓學(xué)生進(jìn)行探究。不同思維水平、心理特質(zhì)的學(xué)生形成不同的推理。比如有學(xué)生通過(guò)測(cè)量、剪拼，形成銳角三角形的內(nèi)角和是180°、直角三角形的內(nèi)角和是180°、鈍角三角形的內(nèi)角和是180°之后，完全歸納出三角形的內(nèi)角和是180°。有學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是180°，沿著長(zhǎng)方形對(duì)角線將長(zhǎng)方形分成兩個(gè)直角三角形，從而演繹推理出直角三角形的內(nèi)角和是180°;接著，學(xué)生沿著高分別將一個(gè)銳角三角形、鈍角三角形分成兩個(gè)直角三角形，從而演繹推理出任意一個(gè)銳角三角形和鈍角三角形，其內(nèi)角和都是180°。在此基礎(chǔ)上，完全歸納出三角形的內(nèi)角和是180°。學(xué)生的推理能力發(fā)展不是一朝一夕的事，它需要教師的悉心培育。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將合情推理與演繹論證融合起來(lái)，不斷提升學(xué)生的推理素養(yǎng)，讓師生的推理教與學(xué)走向高效。

推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。在“PME”理論看來(lái)，學(xué)生的推理貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。作為教師，應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生年齡、心理特征等，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特質(zhì)等引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理。通過(guò)推理，讓學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系以及表面特征背后的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、本質(zhì)等。

三、立足“PME”理論：培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、推理，最終都是為了建立數(shù)學(xué)模型。所謂“數(shù)學(xué)模型”，是指“對(duì)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程”。在“PME”理論看來(lái)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模從心理水平上看也分為三種不同的水平，即模型理解、模型運(yùn)用和模型創(chuàng)新。所謂“模型理解”，是指“對(duì)知識(shí)模型本質(zhì)、類(lèi)屬以及與其他知識(shí)的聯(lián)系的理解”;所謂“模型遷移”，是指“學(xué)生能根據(jù)已有建模經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)等同化或順應(yīng)新知識(shí)的過(guò)程”;所謂“模型創(chuàng)新”，是指“對(duì)新知識(shí)的把握和領(lǐng)悟”。立足PME”理論，可以培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“數(shù)學(xué)模型”，不僅包括“公式模型”，而且包括“方程模型”“集合模型”“函數(shù)模型”等。比如教學(xué)“圓柱的體積”（蘇教版六下），在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)圓柱進(jìn)行平均分割，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體（模型理解），得出了圓柱體的體積計(jì)算模型后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知，將長(zhǎng)方體的體積公式、正方體的體積公式與圓柱體的體積公式進(jìn)行比較，從而歸納出直柱體的體積公式模型“V=Sh”。借助這個(gè)體積公式模型，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中還畫(huà)出了“三棱柱”“四棱柱”“五棱柱”等，從而進(jìn)行“模型遷移”“模型推廣”。通過(guò)“模型遷移”“模型推廣”，不斷發(fā)展、提升學(xué)生的建模素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，教師要揣摩學(xué)生的建模心理，引導(dǎo)學(xué)生靈活辨別、選擇，從而引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模思想。這是“PEM”理論視野下小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的根本價(jià)值和意義指向。

數(shù)學(xué)模型是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。從某種意義上說(shuō)，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。作為教師，要研究學(xué)生的建模心理，遵循學(xué)生數(shù)學(xué)建模的心理規(guī)律、特質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、推理的過(guò)程，從而提煉、概括出數(shù)學(xué)模型。作為教師，要主動(dòng)研究“PEM”理論，從而不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu)、模型遷移、模型運(yùn)用、模型創(chuàng)新，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生命不斷生長(zhǎng)的力量。