一類含參數(shù)的Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程正解的唯一性

張 金， 汪 娜

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，上海 201418)

相較于整數(shù)階微分方程,分?jǐn)?shù)階微分方程有較大的優(yōu)勢。分?jǐn)?shù)階微分方程對于事物變化規(guī)律的描述更為靈活與準(zhǔn)確。因此,在實際生活中分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用廣泛。但是由于分?jǐn)?shù)階微分方程的初值較為復(fù)雜,它們具備的某些物理意義也沒有被普遍認(rèn)可,以至于分?jǐn)?shù)階微分方程理論的發(fā)展依然處于起步階段。分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題中對導(dǎo)數(shù)有限制,這對其研究造成了一定的難度。但由于其廣泛的實際應(yīng)用價值、重要的理論意義以及開闊的研究前景,分?jǐn)?shù)階微分方程理論成為當(dāng)下眾多學(xué)者研究的熱點[1-4]。

早在300年前，分?jǐn)?shù)階微積分就已被提出。分?jǐn)?shù)階微分方程的研究需要綜合運用不同數(shù)學(xué)知識, 如實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、積分變換、泛函分析、線性代數(shù)等。因此分?jǐn)?shù)階微分方程的研究具有一定的難度和綜合性[5-6]。此外, 分?jǐn)?shù)階微分方程與其他多種學(xué)科的聯(lián)系逐漸緊密, 分?jǐn)?shù)階微分方程在運用于不同領(lǐng)域的同時, 其內(nèi)容也變得越來越豐富。眾多學(xué)者對分?jǐn)?shù)階微分方程及其應(yīng)用進行了不少研究, 收獲頗豐。

分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究最多,馮子鑫等[7]研究了一類無窮區(qū)間上具有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題。作者先構(gòu)造格林函數(shù), 討論其相關(guān)性質(zhì), 再利用壓縮映象原理及單調(diào)迭代法, 研究此類邊值問題正解的存在性, 建立了若干正解存在的定理。在數(shù)值計算領(lǐng)域,劉寶強[8]基于變分迭代和DNA序列運算, 設(shè)計了一種改進的分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解析算法優(yōu)化了算法的性能。在復(fù)雜流體研究領(lǐng)域,潘明陽[9]首次建立了含有空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的流動控制方程的相似變換公式, 研究了壁面射流和斗板繞流問題。

當(dāng)前主要的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的類型有Caputo型、Riesz型、Riemann-Liouville型等分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。其中Caputo型和Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)因為有廣闊應(yīng)用背景且計算相對簡便, 所以應(yīng)用更為廣泛。目前分?jǐn)?shù)階微分方程理論的研究逐年遞增, 其中關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性的研究最多, 而不動點定理是研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解存在的常用工具。但關(guān)于Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程復(fù)雜邊值問題正解的存在性研究卻較少, 其原因在于：① Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題中對錐和算子的構(gòu)造相對比較困難; ② 適合算子拉伸、壓縮的不等式證明, 以及算子在拉伸或壓縮過程中體現(xiàn)其對正解存在性的影響的結(jié)果不易得到。

近期,Zhai等[10]研究了含參數(shù)的非線性Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

(1)

式中:1<α≤2，0≤ξ≤η≤1且0≤μ1，μ2≤1，λ>0是一個參數(shù)；f(t,x):[0,1]×R+→R+是連續(xù)的，x對于t∈[0,1]是增函數(shù)。通過運用凹算子不動點定理，得到該問題存在唯一正解的充分條件。

賈建梅等[11]考慮了帶積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題：

(2)

受文獻[10-11]的啟發(fā)，本文研究一類含參數(shù)的Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程

(3)

式中：n+1<α≤n+2且n∈N，λ>0是一個參數(shù)；p≥0，q≥0，p+q≠0；0<μ

本文將運用凹算子不動點定理得到邊值問題式(3)存在唯一正解的存在定理。

1 預(yù)備知識與研究工具

定義1函數(shù)φ:[0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville型積分定義為[12]

其中α>0，等式右邊在(0,+∞)上是逐點定義的。

Caputo型分?jǐn)?shù)階微分定義可用Riemann-Liouville型積分算子Iα給出如下定義:

定義2函數(shù)φ:[0,+∞)→R的α階Caputo型微分定義為[12]

cDαφ(x)=In-αDnφ(x)=

其中α>0；[α]是指取實數(shù)α的整數(shù)部分；Γ函數(shù)對于n∈N，具有性質(zhì)Γ(n)=(n-1)!。

定義3設(shè)D是E中的一個凸子集[13]。如果算子A:D→E滿足

A(tx+(1-t)y)≥tAx+(1-t)Ay,x,y∈D,t∈[0,1]

則稱A是凹算子。

定義4設(shè)是實Banach空間E中的錐并且e∈P/θ。集合Ee={x∈E:存在λ>0，使得 -λe≤x≤λe}，且

‖x‖e=inf{λ>0: -λe≤x≤λe}, ?x∈Ee.

易見Ee是范數(shù)為‖·‖e的賦范線性空間，其中 ‖x‖e稱為元素x的e—范數(shù)。

引理3[15]設(shè)錐P是正規(guī)的，則以下結(jié)論成立：

(1)Ee是具有e—范數(shù)的Banach空間，則存在常數(shù)m>0使得m‖v‖e,?v∈Ee；

(2)Pe=Ee∩P是Ee中的正規(guī)錐，且Pe={v∈Ee：存在τ=τ(v)>0使得v≥τe}。

引理4[16]設(shè)P是正規(guī)錐且算子A:P→P是凹的。假設(shè)Aθ?θ。則下列結(jié)論成立：

(1)存在0<λ?∞使得方程

v=λAv

(4)

在P中存在唯一解v(λ)，0≤λ<λ*；當(dāng)λ≥λ*，則方程(4)在P中無解。

(2)對任意v0∈P，設(shè)v0(λ)=v0，vn(λ)=Avn-1(λ)，n=1,2,…，則當(dāng)n→∞時，對0≤λ<λ*，有vn(λ)→v(λ)；

(3)v(·):[0,λ*)→P連續(xù)且強遞增(即，0≤λ1<λ2<λ*?v(λ1)?v(λ2))。而且對0≤λ<λ*，有v(tλ)≤tv(λ)，0≤t≤1；

(4)若存在v0∈P且λ0>0使得λ0Av0≤v0，則λ*>λ0。

引理5[16]若A:P→P是凹的，則A是遞增的。

引理6[16]設(shè)P是正規(guī)體錐且算子A:P0→P0是遞增的。若存在常數(shù)0

A(tv)≥trAv, ?v∈P0, 0

記vλ是方程Av=λv(λ>0)在P0中的唯一解，則

(1)vλ是強遞減的(即，0≤λ1<λ2<λ*?vλ1?vλ2)；

(2)vλ連續(xù)(λ→λ0(λ0>0)?‖vλ-vλ0‖→0)；

(3)limλ→∞‖vλ‖=0, limλ→0+‖vλ‖=∞。

引理7設(shè)φ(x)∈C[0,1]；n+1<α≤n+2且n∈N；p≥0，q≥0，p+q≠0；0<μ

(5)

其中ψ(t)=(n+1)p+n(n+1)q-μξn+1(1-t)。

證明由定義1及引理2，(5)中方程cΔαv(x)+h(x)=0等價于

(6)

由(4)中條件v(0)=v′(0)=…=v(n-1)(0)=v(n+1)(0)=0，得

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(11)代入式(7)得

(12)

當(dāng)0≤x<ξ≤1時，有

當(dāng)0≤ξ

故引理3得證。

引理8設(shè)n+1<α

(3)ψ(t)>0，且ψ(t)在[0,1]上為增函數(shù)；

(4)G(x,t)≥0,?x∈(0,1)。

證明當(dāng)0≤t≤x≤ξ≤1時，有

α(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2-(n+1)μxn(ξ-t)α}=

(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t-(n-1)μxnCα(1-t)α-1}≥

且

α(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2-(n+1)μxn(ξ-t)α}=

(n+1)μxn(ξ-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≤

當(dāng)0≤ξ≤t≤x≤1時，

(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-1+(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≥

且

(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-1+(α-1)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≤

當(dāng)0≤x≤t≤ξ≤1時，有

(n+1)μxnξα(1-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≥

(n+1)μxnξn+1(1-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≥

且

(n+1)μxn(ξ-t)α+(α2-α)(n+1)qxn(1-t)α-2t}≤

當(dāng)0≤ξ≤x≤t≤1時，有

且

因此引理8(1)-(2)得證。由ψ(t)的表達式容易證明引理4(3)成立。由引理8(1)易見(4)成立。綜上引理8得證。

2 正解存在性

定理1假設(shè)f(x,·)是凹的，且存在常數(shù)α,β>0使得

f(x,0)≥0,f(x,1)≤β, ?x∈[0,1]

(13)

和

f(x,v)≤vf(x,1)-(v-1)f(x,0)≤βv

故對v∈P，有