含非線性阻尼二維Navier-Stokes方程的全局吸引子維數(shù)估計

劉文婧，姜金平，李 晨，熊坤翠，李 強

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

全局吸引子的結(jié)構(gòu)是比較復(fù)雜的，而維數(shù)的概念是研究幾何性質(zhì)的重要特征量，故很多學(xué)者致力于全局吸引子維數(shù)理論的研究。文獻[1]證明了無界域上的二維Navier-Stokes方程的存在性并進行維數(shù)估計；2000年趙春山在文獻[2]中研究了無界域上含線性阻尼的N-S方程的全局吸引子的存在性及維數(shù)估計；2015年姜金平在文獻[3]中研究了無界域上的含線性阻尼的二維g-N-S方程的全局吸引子的維數(shù)估計問題；文獻[4]中曹伯芳證明了帶非線性阻尼的二維N-S方程的指數(shù)吸引子的存在性，由于全局吸引子包含在指數(shù)吸引子之中[5]，所以全局吸引子必存在。本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上，研究了帶有非線性阻尼項的二維N-S方程的全局吸引子維數(shù)估計問題。

本文討論下面二維Navier-Stokes方程：

(1)

這里的Ω表示R2中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，u=u(x,t)∈R2和P(x,t)∈R表示速度和壓力，μ>0，c|u|βu為阻尼項，β≥0，c>0是兩個常數(shù)。

1 預(yù)備知識

本文中我們記

H上的內(nèi)積為(u,v)=?u·vdx,?u,v∈H，

?u,v∈V，

若u(x,t)是方程(1)的一個光滑解，對(1)中第一式在Ω上用v做內(nèi)積得：

=(f,v)，

(1.1)

其中B(u)=B(u,u);〈B(u),v〉=b(u,u,v)。

其中B：V×V→V*，V*是V的對偶空間。

定義一個線性stokes算子A：V→V*，(Au,v)=

((u,v))，v∈V且Au=-p△u，其中p是從(L2(Ω))2到H上的投影，令G(u)=Pc|u|βu改寫(1)所對應(yīng)的方程為：

(1.2)

u|t=τ=uτ,τ∈R。

(1.1)等價于V*中如下算子形式：

?t>0，

(1.3)

假設(shè)Poincare不等式成立：

引理1.1 (Gronwall’s Inequality)令x(t)∈滿足不等式

x(t)≤x(0)exp[G(t)]+

引理1.2 (Young’s Inequality)如果a,b≥0，p,q>1,p-1+q-1=1，

引理1.3 解半群s(t)滿足(1.2)，則半群s(t)在v中存在指數(shù)引子A′。此引理按文獻[4]的滿足條件c的方法給出證明，這里從略。

由于全局吸引子包含在指數(shù)吸引子之中，所以全局吸引子A存在。

下面給出方程(1.2)解的先驗估計[6]，兩邊與u做內(nèi)積

(1.4)

其中λ1是-P△的第一特征值，所以

(1.5)

(1.6)

應(yīng)用引理1.1得

|u(t)|2≤|u0|2e-μλ1t+

(1.7)

取β=min(μλ1,2μ)則

(1.8)

2 全局吸引子的維數(shù)估計

下面我們對A的Hausdorff和Fractal維數(shù)進行估計?u0∈A，方程(1.3)在u(t)=s(t)u0的線性化方程為

v(0)=φ，

(2.1)

對?Ψ∈H，易知方程(2.1)存在唯一解。

v(x,t)∈L∞(τ,T;H)∩L2(τ,T;v),?T>0，為方便起見，記

F′(u)v=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-B(v,u)，

則(2.1)簡記為

v(0)=φ，

(2.2)

?φ1，…φm∈H線性無關(guān)，方程(2.2)以v(0)=φi(i=1，…，m)為初值的解記vi(t)(i=1，…，m)，φi(i=1，…，m)為span{v1(t)，…，vm(t)}中的一組標準正交基，Qm(t):H→span(φ1(t)，…，φm(t)}為正交投影算子，記

(2.3)

引理2.1[6]設(shè)A為方程(1)的全局吸引子，且存在N>0，使得qN<0，則A的Hausdorff維數(shù)為dH(A)≤N，其Fractal維數(shù)滿足

(2.4)

下面我們估計Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))：

Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))=

B(φ,u),φi〉=

(|φi|=1)，

(2.5)

(2.6)

由Lieb-Thirring不等式[7]

故Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))≤

由(1.5)得

所以

定理2.1 半群{S(t)}t≥0的全局吸引子的Hausdorff及Fractal維數(shù)估計如下：