時(shí)變時(shí)滯T-S模糊模型的穩(wěn)定性分析

毛晨斐，李江榮，李 琳

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

T-S模糊模型是我們所熟知的模糊模型之一，其常用在航天航空及船舶控制等領(lǐng)域，T-S模糊模型運(yùn)用模糊語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的局部模型線性化，再通過隸屬度函數(shù)整合眾多局部模型變?yōu)槿帜：Ｐ?，從而可以使用眾多的線性系統(tǒng)知識(shí)處理非線性系統(tǒng)的問題，為人們解決非線性系統(tǒng)相關(guān)問題另辟蹊徑。在實(shí)際系統(tǒng)里，經(jīng)常不可避免的存在一些時(shí)滯現(xiàn)象，并且時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯參數(shù)自由變化，而這一現(xiàn)象正是造成系統(tǒng)震蕩和性能惡化的原因所在?；谏衔乃觯芯繒r(shí)滯T-S模糊模型的穩(wěn)定性具有十分重要的意義和價(jià)值。這些年國(guó)內(nèi)外研究人員針對(duì)具有時(shí)滯的非線性系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究與工作，并且取得了眾多研究成果。文獻(xiàn)[1]通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆嵌蜭-K泛函，再結(jié)合隸屬函數(shù)，給出一則保守型比較低的穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[2]通過運(yùn)用Wirtinger積分不等式知識(shí)進(jìn)一步降低了判據(jù)的保守性。文獻(xiàn)[3]通過設(shè)計(jì)L-K泛函，并運(yùn)用貝塞爾不等式提出一個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[4]利用時(shí)滯劃分方法研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。針對(duì)帶有時(shí)變時(shí)滯的T-S系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)L-K泛函，然后加入一個(gè)積分項(xiàng)并結(jié)合文獻(xiàn)[5]里的引理2去處理求導(dǎo)所產(chǎn)生的積分部分，最后以數(shù)值例子證明了本文所提方法的可行性。

1 系統(tǒng)描述

研究具有如下模糊規(guī)則的T-S模糊模型：

Ri：如果k1(t)為Mi1并且…并且kc(t)為Mic，

(1)

其中，x(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量，x(t)=φ(t)表示初始狀態(tài)，Ai,Adi均表示系統(tǒng)矩陣；Miλ(i=1…r;λ=1…c)表示模糊集，r表示模糊規(guī)則數(shù)，c表示前件變量的維數(shù)；h(t)表示時(shí)變時(shí)滯項(xiàng)，其滿足0≤h(t)≤h,h(t)≤d2，h與d2均是已知標(biāo)量。

當(dāng)該系統(tǒng)經(jīng)過模糊融合，可得如下形式：

(2)

在上式中，πt(k(t))表示經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后的隸屬度函數(shù)，并且有

k(t)=[k1(t)…kc(t)]T，

引理1[5]假設(shè)存在一個(gè)正定矩陣R∈Rn和可導(dǎo)函數(shù)x(t)∈[c,d]→Rn，那么下式成立：

(3)

其中p=x(d)-x(c)。

(2)A<0；

2 相關(guān)結(jié)論

此部分將對(duì)(2)式所示系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并且以LMI形式給出穩(wěn)定性判斷條件，為了方便處理L-K函數(shù)求導(dǎo)所產(chǎn)生的積分部分，在此定義如下不等式：

(4)

h2R>0

(5)

(6)

其中：

證明設(shè)計(jì)如下所示的L-K泛函：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(7)

V1(t)=xT(t)Px(t)

(8)

(9)

(10)

現(xiàn)對(duì)V(t)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(11)

(12)

(13)

(1-d2)xT(t-h(t))Qx(t-h(t))

(14)

現(xiàn)將(4)式加入到(13)式中，再結(jié)合引理1可得下式：

R[x(t)-x(t-h(t))]

(15)

將(2)式代入到(11)與(15)式里，再令

G=xT(t)Qx(t)-

(1-d2)xT(t-h(t))Qx(t-h(t))-

[x(t)-x(t-h(t))]TR[x(t)-x(t-h(t))]+

xT(t)2P(Aix(t)+Adix(t-h(t)))，

Z=h2R，

結(jié)合上述不等式，那么穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為要求下式成立：

(16)

運(yùn)用引理2并令αT(t)=[xT(t)xT(t-h(t))]，上式要求可轉(zhuǎn)化為下式成立：

αT(t)μiα(t)<0

(17)

綜上所述，若式(5)與式(6)均成立，那么式(2)所描述的系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，證明完成。

注1：本文在處理由L-K函數(shù)求導(dǎo)所產(chǎn)生的積分部分時(shí)，引入了一個(gè)如(4)式所示的積分項(xiàng)，該式正確的處理了積分不等式的界限問題。文獻(xiàn)[7]在處理積分不等式界限問題時(shí)運(yùn)用了錯(cuò)誤的方法，若時(shí)滯為常數(shù)，則此文所述方法是有效的。

注2：相比于文獻(xiàn)[8，9]，定理1未引入過多自由權(quán)矩陣，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化運(yùn)算難度，提升運(yùn)算效率。

3 數(shù)值例子

例1 考慮下面所示的時(shí)滯T-S模糊系統(tǒng)：

R1：如果k1(x(t))為M11，那么

R2：如果k2(x(t))為M21，那么

上述規(guī)則的隸屬函數(shù)依次為：

π2(x(t))=1-π1(x(t))，

通過運(yùn)用MATLAB里的LMI工具箱，可求出當(dāng)d2=0.1時(shí)時(shí)滯上界h的值，并與文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9，10]所述方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 d2=0.1時(shí)h對(duì)應(yīng)的最大允許時(shí)滯上界

通過表1可以得出：定理1所給出的判據(jù)相比于文獻(xiàn)[8,9]具有更大的時(shí)滯上界和更小的保守性，證明了定理1的優(yōu)越性與可行性。文獻(xiàn)[9]中的N表示Legendre不等式的階數(shù)。

4 結(jié)論

文章針對(duì)帶有時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊模型，首先設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)腖-K泛函，然后給出一個(gè)積分不等式用于處理L-K泛函求導(dǎo)所產(chǎn)生的積分部分，最后以LMI的形式提出一則保守性比較小、決策變量比較少的系統(tǒng)穩(wěn)定條件，并且用數(shù)值例子分析了本文所述方法的優(yōu)越性與可行性。對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言，往往存在系統(tǒng)前件變量未知的這種情況，因此前件變量未知系統(tǒng)的輸出反饋控制是下一步研究的首要任務(wù)。