廣義Iε類凸半無(wú)限規(guī)劃的最優(yōu)性

蘇紫洋，王榮波

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

考慮下列半無(wú)限規(guī)劃問(wèn)題(SIP)

minf(x)，

s.t.g(x,u)≤0,x∈X0?Rn,u∈U。

其中f:X0→R是局部Lipschitz函數(shù)，g:X0×U→R對(duì)于?u∈U關(guān)于x是局部Lipschitz函數(shù)，U∈Rm是一個(gè)無(wú)限參數(shù)集，

記:X={x∈X0|g(x,ui)≤0,ui∈U?Rm}。

I(x*)={i|g(x*,ui)=0，x*∈X0,ui∈U},

Λ={λi|λi≥0,i∈△，且僅有有限個(gè)λi≠0}。

設(shè)U*={ui∈U|g(x,ui)≤0,x∈X0,i∈△,△是的任意可數(shù)子集}是U的任意可數(shù)子集。

△={i|g(x,ui)≤0,x∈X0,ui∈U}。

對(duì)于凸函數(shù)凸性和廣義凸性的研究近年來(lái)一直是一個(gè)熱點(diǎn)話題，凸函數(shù)在許多領(lǐng)域扮演著重要的角色，如最優(yōu)化理論、經(jīng)濟(jì)和工程等方面。文獻(xiàn)[1,2]將文獻(xiàn)[3]引入的Ⅰ類和Ⅱ類不變凸函數(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步推廣和應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]利用Minch[5]對(duì)稱梯度的概念，提出了Is類凸，擬Is類凸，偽Is類凸，擬偽Is類凸和偽擬Is類凸的概念，同時(shí)在這些廣義凸性的條件下得到了一類半無(wú)限規(guī)劃的最優(yōu)性條件。本文受文獻(xiàn)[4]的啟迪，利用Clarke廣義梯度，定義了Is,c類凸、擬Is,c類凸、偽Is,c類凸、擬偽Is,c類凸等廣義凸函數(shù)，并且通過(guò)討論研究得到了若干個(gè)相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)性理論結(jié)果。

1 主要定義

定義1[6]對(duì)于在x處滿足局部Lipschitz條件的函數(shù)f.Clarke定義了在x0∈Rn沿方向d∈Rn的廣義方向?qū)?shù)和廣義梯度:

?f(x)={Y∈Rn|〈Y,d〉≤f0(x;d),?d∈Rn}。

定義2 若對(duì)?x∈X0，?ε,εi>0，存在正實(shí)數(shù)函數(shù)α，βi:X0×X0→R+/{0}及向量函數(shù)η:X0×X0→Rn，使得:

f(x)-f(x0)≥α(x,x0)η(x,x0)Tξ+ε，

?ξ∈?f(x)；

-g(x0,ui)≥βi(x,x0)η(x,x0)Tζi+εi，

?ζi∈?g(x0,uj)。

則稱(f,g)在x0∈X0處是Is,c類凸的，若(f,g)在X0中的任意一點(diǎn)都是Is,c類凸的，則稱(f,g)在X0上是Is,c類凸的。當(dāng)x≠x0時(shí)，第一個(gè)不等式是嚴(yán)格不等式，則稱(f,g)在x0∈X0處或在X0上是半嚴(yán)格Is,c類凸的。

定義3 若對(duì)?x∈X0，?ε,εi>0及λi∈Λ存在正實(shí)數(shù)函數(shù)α,βi:X0×X0→R+/{0}及向量函數(shù)

η:X0×X0→Rn，使得:

α(x,x0)(f(x)-f(x0))≤0?

η(x,x0)Tξ+ε≤0,?ξ∈?f(x);

則稱(f,g)在x0∈X0處是擬Is,c類凸的，若(f,g)在X0中的任意一點(diǎn)都是擬Is,c類凸的，則稱(f,g)在x0∈X0上是擬Is,c類凸的。當(dāng)x≠x0時(shí)，第一個(gè)公式中的第二個(gè)不等式是嚴(yán)格的，則稱(f,g)在x0∈X0處或在X0上是半嚴(yán)格擬Is,c類凸的。

定義4 若對(duì)?x∈X0，?ε,εi>0及λi∈Λ存在正實(shí)數(shù)函數(shù)α，βi:X0×X0→R+/{0}及向量函數(shù)η:X0×X0→Rn，使得:

η(x,x0)Tξ+ε≥0?

α(x,x0)(f(x)-f(x0))≥0,?ξ∈?f(x)；

則稱(f,g)在x0∈X0處是偽Is,c類凸的，若(f,g)在X0中的任意一點(diǎn)都是偽Is,c類凸的，則稱(f,g)在X0上是偽Is,c類凸的。當(dāng)x≠x0時(shí)，第二個(gè)公式中的第二個(gè)不等式是嚴(yán)格的，則稱(f,g)在x0∈X0處或在X0上是半嚴(yán)格偽Is,c類凸的。

定義5 若對(duì)?x∈X0,?ε,εi>0及λi∈Λ存在正實(shí)數(shù)函數(shù)α,βi:X0×X0→R+/{0}及向量函數(shù)η:X0×X0→Rn，使得：

α(x,x0)(f(x)-f(x0))≤0?

η(x,x0)Tξ+ε≤0，?ξ∈?f(x)；

則稱(f,g)在x0∈X0處是擬偽Is,c類凸的，若(f,g)在X0中的任意一點(diǎn)都是擬偽Is,c類凸的，則稱(f,g)在X0上是擬偽Is,c類凸的。當(dāng)x≠x0時(shí)，第二個(gè)公式中的第二個(gè)不等式是嚴(yán)格的，則稱(f,g)在x0∈X0處或在上是半嚴(yán)格擬偽Is,c類凸的。

定義6 若對(duì)?x∈X0，?ε,εi>0及λi∈Λ存在正實(shí)數(shù)函數(shù)α,βi:X0×X0→R+/{0}及向量函數(shù)η:X0×X0，使得：

η(x,x0)Tξ+ε≥0?

α(x,x0)(f(x)-f(x0))≥0，?ξ∈?f(x)；

則稱(f,g)在x0∈X0處是偽擬Is,c類凸的，若(f,g)在X中的任意一點(diǎn)都是偽擬Is,c類凸的，則稱(f,g)在X0上是偽擬Is,c類凸的。當(dāng)x≠x0時(shí)，第一個(gè)公式中的第二個(gè)不等式是嚴(yán)格的，則稱(f,g)在x0∈X0處或在X0上是半嚴(yán)格偽擬Is,c類凸的。

2 最優(yōu)性條件

定理1 假設(shè)x0∈X0，如果

(b)對(duì)于函數(shù)α>0，βi>0，f(g)在X上為Is,c類凸的(或者半嚴(yán)格Is,c類凸的)。

則x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解。

證明根據(jù)條件(b)可得，對(duì)?x∈X0，?ε,εi>0及存在正實(shí)數(shù)函數(shù)α,βi:X0×X0→R+/{0}及向量函數(shù)η:X0×X0，使得:

f(x)-f(x0)≥α(x,x0)η(x,x0)Tξ+ε，

?ξ∈?f(x)。

-g(x0,ui)≥βi(x,x0)η(x,x0)Tζi+εi，

?ζi∈?g(x0,ui)。

(1)

(2)

由(1)式和(2)式可得

(3)

這與(3)式矛盾，所以x0是規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解。

定理2 假設(shè)x0∈X0，如果

(b)對(duì)于函數(shù)α>0，βi>0，f(g)在X上為擬Is,c類凸的(或者半嚴(yán)格擬Is,c類凸的)。

則x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解。

(4)

定理3 假設(shè)x0∈X0，如果

(b)對(duì)于函數(shù)α>0，βi>0，(f,g)在X上為半嚴(yán)格偽Is,c類凸的。

則x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解。

(5)

定理4 假設(shè)x0∈X0，如果

(b)對(duì)于函數(shù)α>0，βi>0，(f,g)在X上為半嚴(yán)格擬偽Is,c類凸的。

則x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解。

(6)

定理5 假設(shè)x0∈X0，如果

(b)對(duì)于函數(shù)α>0，βi>0，(f,g)在X上為偽擬Is,c類凸的(或者半嚴(yán)格偽擬Is,c類凸)。

則x0為規(guī)劃(SIP)的最優(yōu)解。

(7)

另一方面，當(dāng)i∈I(x0)時(shí)，g(x0,ui)=0；當(dāng)i?

(8)

將(7)式和(8)式相加可得

(9)

所以(9)等價(jià)于