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    一類雙調(diào)和方程邊值問題的正徑向解研究

    2020-04-08 11:16:58鐘金標(biāo)
    關(guān)鍵詞:有界邊值問題不動點

    鐘金標(biāo), 方 興, 王 花

    (安慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

    0 引 言

    源于流體力學(xué)與固體力學(xué)等物理問題建立的多調(diào)和方程邊值問題一直是偏微分方程領(lǐng)域重要研究問題之一。文獻(xiàn)[1]利用Schaude-Tychonoff不動點定理證明了一類R2上奇異非線性雙調(diào)和方程正徑向解的存在定理,并討論了解的部分性質(zhì);文獻(xiàn)[2]利用變分方法研究了一類帶有雙臨界指數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題的非平凡解;文獻(xiàn)[3]通過建立一個嵌入定理,結(jié)合山路引理證明了一類漸近線性雙調(diào)和問題非平凡解的存在性;文獻(xiàn)[4]利用Schaefer不動點定理證明了半線性雙調(diào)和問題解的存在性與唯一性,該問題為:

    文獻(xiàn)[5]利用上下解方法、不動點定理在洞型區(qū)域內(nèi)研究了一類雙調(diào)和方程邊值問題弱解的存在性,該問題為:

    其中,Γ1、Γ2為區(qū)域Ω的內(nèi)、外邊界。

    文獻(xiàn)[1-5]分別對雙調(diào)和方程的不同類型探討了解的存在性;文獻(xiàn)[6]討論了半線性橢圓型方程組邊值問題解的存在性、唯一性,該問題為:

    本文考察雙調(diào)和邊值問題:

    (1)

    其中,B為球心在坐標(biāo)原點的單位球,B∈Rn。

    本文通過變量代換將雙調(diào)和邊值問題(1)式轉(zhuǎn)換為橢圓型方程組邊值問題,再利用不動點定理討論正徑向有界解的存在性。文獻(xiàn)[1]中研究的問題是在R2區(qū)域上進(jìn)行的;本文是在Rn區(qū)域中球心在原點的單位球上討論的。本文問題(1)中非線性項函數(shù)與文獻(xiàn)[1]中問題的非線性項滿足的條件不同,2個問題所屬類型不同,證明相應(yīng)定理使用的方法也不同;與文獻(xiàn)[2-5]所研究的方法、所證解的類型及非線性項范圍也不同。

    在(1)式中,令-Δu=v,則(1)式轉(zhuǎn)化為方程組問題:

    (2)

    (2)式的徑向形式為:

    (3)

    給定如下假設(shè)條件H1、H2。

    H1:f(s,t)關(guān)于s與t是連續(xù)單增的,且f(s,t)≥0。

    1 解的存在性

    定理1 若H1成立,則若(2)式有解,必是正解。

    證明因為f(u,v)≥0,x∈B,所以有:

    -Δv≥0,x∈B。

    由上調(diào)和函數(shù)極值原理可知:v≥0,x∈B。

    又因為-Δu=v≥0,再利用上調(diào)和函數(shù)極值原理知u≥0,從而(2)式的解為正解。

    定理2 假定H1、H2成立,則(3)式的解必有界。

    證明由(3)式中方程可得:

    則有:

    (4)

    由H1知v′(r)≤0,因此v(r)單減。因為

    所以u(r)單減。

    因此

    rv(r)≤-nu′(r)。

    因為u′(0)=0,u′(r)連續(xù),所以存在r1∈(0,1),使得:

    |nu′(r)|<1,r∈(0,r1]

    (5)

    由(3)式有:

    因為v′(0)=0,v′(r)連續(xù),所以存在r2∈(0,1],使得:

    |nv′(r)|≤1,r∈(0,r2]

    (6)

    取r0=min{r1,r2},則當(dāng)r∈(0,r0]時,(5)式、(6)式同時成立,即

    |rf(u(r),v(r))|<1,

    |rv(r)|<1,r∈(0,r0]。

    因為

    所以

    v(0)=v(r0)+

    故v(0)有限。又因為

    所以u(0)有限。

    由u(r)與v(r)的單減性,結(jié)合定理1可知,(3)式若有解必為有界正解。

    引理1[7](不動點定理) 設(shè)X是一個Banach空間,B是X的一個閉凸子集。若T是B到B的一個緊映射,R為一個正常數(shù),使對滿足‖V‖=R的任意V∈B,有V≠tT(V)(0≤t≤1),則T有1個不動點V∈B且‖V‖≤R。

    定理3 設(shè)H1、H2成立,則(3)式存在1個有界的正徑向解。

    (7)

    設(shè)B={(u,v)|(u,v)∈X且u(1)=v(1)=0,u′(0)=v′(0)=0},則B是X的一個閉凸子集,且T:B→B是全連續(xù)的[8]。取常數(shù)R=τ>0充分小。

    下面證明對滿足‖(u,v)‖∞=R=τ>0的任意(u,v)∈B,有(u,v)≠tT(u,v)(0≤t≤1),并且有:

    ‖(u,v)‖∞=max{‖u‖∞,‖v‖∞},

    假設(shè)存在(u,v)∈B,使得(u,v)=tT(u,v),則有:

    從而有:

    (1) 若‖(u,v)‖∞=τ=‖u‖∞,則有:

    矛盾。

    (2) 若‖(u,v)‖∞=τ=‖v‖∞,則由H2知,當(dāng)τ充分小時,有

    τ=‖v‖∞=

    矛盾。

    因此,由引理1知,T有1個不動點且有界,該不動點即為(3)式的有界正徑向解。

    例1 考察問題:

    (8)

    因此,f(s,t)滿足H1、H2。由定理3知,(8)式存在1個有界正徑向解。

    2 解的唯一性

    一般雙調(diào)和方程邊值問題或非線性方程組解的唯一性不易得到,通常需要在保證解存在性條件下,通過附加適當(dāng)條件得到解的唯一性。

    給定以下假設(shè)條件H3。

    定理4 若H3成立,則(2)式的解唯一。

    證明設(shè)(u1,v1)、(u2,v2)為(2)式的2組解,則有:

    從而有:

    -Δ(u1-u2)=v1-v2

    (9)

    -Δ(v1-v2)=f(u1,v1)-f(u2,v2)

    (10)

    在(9)式兩邊乘以(u1-u2)、(10)式兩邊乘以(v1-v2)后在Ω內(nèi)積分,并利用Green恒等式與Poincare不等式可得:

    (11)

    (12)

    (11)式、(12)式相加可得:

    u1=u2,v1=v2。

    因此,(2)式解唯一。

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