基于灰色馬爾科夫模型的瀝青磨耗層長(zhǎng)期性能預(yù)測(cè)

柳子暉, 李 穎， 聶 文, 熊春龍

(1.廣州北環(huán)高速公路有限公司,廣東 廣州 510507; 2.廣州肖寧道路工程技術(shù)研究事務(wù)所有限公司,廣東 廣州 510641)

0 引 言

隨著車輛荷載與氣候環(huán)境因素的作用,路面結(jié)構(gòu)在運(yùn)營(yíng)過程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)坑槽、開裂和抗滑性能不足等病害。薄層罩面作為一種預(yù)防性養(yǎng)護(hù)技術(shù),在延長(zhǎng)路面的使用壽命、改善道路行駛質(zhì)量、修補(bǔ)道路表面缺陷、提高行車安全特性(包括提高抗滑與排水)及降低行駛噪音等方面具有良好的效果,因而得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。

目前,霧封層、微表處和NovaChip超薄磨耗層等各類薄層罩面養(yǎng)護(hù)技術(shù)在公路養(yǎng)護(hù)項(xiàng)目中得以較大規(guī)模地實(shí)施和應(yīng)用,一定程度上達(dá)到了延緩路面大中修期限、節(jié)約養(yǎng)護(hù)成本的技術(shù)目的[3-5]。然而,也有部分工程同樣實(shí)施了薄層罩面卻未能達(dá)到預(yù)期的養(yǎng)護(hù)效果,出現(xiàn)了罩面性能衰減過快、壽命低于預(yù)期等問題。各類薄層罩面的使用壽命與長(zhǎng)期性能變化規(guī)律目前尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)知,因此,基于現(xiàn)有薄層罩面性能變化規(guī)律,尋找一種科學(xué)有效的性能預(yù)測(cè)模型,預(yù)估各類薄層罩面的長(zhǎng)期性能,為公路養(yǎng)護(hù)部門的決策提供依據(jù)迫在眉睫。

薄層罩面的性能變化受自然條件、社會(huì)環(huán)境及人為因素等多方面的影響,表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性和動(dòng)態(tài)性?；疑R爾科夫模型的特點(diǎn)是在預(yù)測(cè)變化趨勢(shì)較為明顯的時(shí)間序列中針對(duì)隨機(jī)變化的系統(tǒng)具有比較好的預(yù)測(cè)性能,且精度較高,這為薄層罩面使用性能的預(yù)測(cè)提供了一種新的有效方法[6]。本文根據(jù)廣東某高速公路水泥混凝土橋面板上采用的3種不同類型薄層罩面跟蹤觀測(cè)數(shù)據(jù),采用灰色馬爾科夫模型對(duì)其進(jìn)行長(zhǎng)期性能預(yù)測(cè),以期為尋找科學(xué)有效的薄層罩面壽命預(yù)估模型提供參考。

1 灰色馬爾科夫理論

1.1 GM(1,1)模型

在灰色系統(tǒng)理論中,根據(jù)系統(tǒng)信息已知程度的不同將系統(tǒng)分為3種,分別是白色系統(tǒng)、灰色系統(tǒng)、 黑色系統(tǒng)。若系統(tǒng)的信息均已知,則將該系統(tǒng)稱為“白色系統(tǒng)”;若系統(tǒng)信息部分已知、部分未知,則將該系統(tǒng)稱為“灰色系統(tǒng)”; 若系統(tǒng)信息均為未知,則將該系統(tǒng)稱為“黑色系統(tǒng)”。對(duì)于薄層罩面使用性能預(yù)測(cè)問題,系統(tǒng)信息包含薄層罩面使用性能的歷史資料、交通荷載因素、環(huán)境影響因素、人為因素等諸多信息，該系統(tǒng)信息部分已知、部分未知,構(gòu)成了一個(gè)較為復(fù)雜的灰色系統(tǒng),因此薄層罩面使用性能的預(yù)測(cè)問題可以采用灰色系統(tǒng)理論來進(jìn)行求解[7-8]。

灰色系統(tǒng)理論建模的基本思想是:將白色信息序列按照一定規(guī)律組成動(dòng)態(tài)、非動(dòng)態(tài)的白色模塊,再通過一定的算法求解將來的灰色模型?；疑Ｐ偷那蠼膺^程是一個(gè)系統(tǒng)白度不斷提高的過程,隨著系統(tǒng)白度不斷提高,其發(fā)展變化規(guī)律也會(huì)逐漸顯現(xiàn)?；疑碚撃Ｐ褪墙⒃诎央x散的時(shí)間序列擬合為一階線性微分方程基礎(chǔ)之上的。GM(1,1)模型的變量只有1個(gè),較為簡(jiǎn)單,容易被人們理解和接受,在灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測(cè)模型中是應(yīng)用得比較廣泛的一種。在建模過程中,GM(1,1)模型并不是對(duì)系統(tǒng)中的所有因素進(jìn)行分析擬合,而是對(duì)系統(tǒng)中的主要因素進(jìn)行分析擬合并預(yù)測(cè),以生成的函數(shù)作為預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。GM(1,1)模型所采用的建模數(shù)據(jù)是通過累加變換得到的新的數(shù)據(jù)序列,而不是所收集的原始?xì)v史數(shù)據(jù)序列。具體建模過程和運(yùn)算步驟如下。

收集歷史資料構(gòu)造原始數(shù)據(jù)序列,即

X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)}

(1)

處理原始數(shù)據(jù)序列X(0)得到數(shù)據(jù)序列X(1):

X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}

(2)

原始數(shù)據(jù)通常會(huì)有一定的波動(dòng)性和隨機(jī)性,這樣的數(shù)據(jù)不利于模型的建立,這里采用累加處理的方式來解決此問題。在生成序列的基礎(chǔ)上求解得到生成函數(shù),據(jù)此建立被研究對(duì)象的模型。建立新數(shù)據(jù)序列的GM(1,1)模型,通過線性擬合得到一階白化方程,再進(jìn)一步求解就可以得到模型的預(yù)測(cè)值。

(3)

其中,a、m為待求解的系數(shù)。

[am]T=(NTN)-1NTM,

M=[X(0)(2)X(0)(3) …X(0)(n)]T,

(4)

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫預(yù)測(cè)模型是一種隨機(jī)的、變化的數(shù)學(xué)過程,建模的核心在于掌握系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律。馬爾科夫概率預(yù)測(cè)模型的基本思想是分析研究系統(tǒng)現(xiàn)狀,利用馬爾科夫鏈求解得出系統(tǒng)將來可能變化所至的某特定狀態(tài)的概率[9-10]。因?yàn)樵摂?shù)學(xué)過程有一定的隨機(jī)離散特性,所以需要采用數(shù)學(xué)概率來定量表述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性大小。

定義St為系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài),若在t=i時(shí)刻的狀態(tài)Si為已知,則在未來的某個(gè)t=i+1時(shí)刻系統(tǒng)所能達(dá)到的某種狀態(tài)Si+1只與t=i時(shí)刻的狀態(tài)Si有關(guān),而與之前的狀態(tài)沒有關(guān)系,即馬爾科夫鏈可以看成是一種無后效性的離散隨機(jī)過程。定義Pij為系統(tǒng)由狀態(tài)Si經(jīng)過1次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率,當(dāng)系統(tǒng)存在n種狀態(tài),把這些狀態(tài)組合在一起后所構(gòu)成的矩陣P稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

(5)

1.3 灰色馬爾科夫模型

(1) 通過對(duì)收集的已知?dú)v史數(shù)據(jù)的處理,將累加得到的數(shù)據(jù)序列代入GM(1,1)模型,求解模型可以得到系統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)值：

(6)

(2) GM(1,1)模型的計(jì)算結(jié)果可能與已知的實(shí)際值不一致,即可能存在一定的偏差,定義偏差的數(shù)值為殘差Q,殘差和實(shí)際值的比值為殘差比率q，即

(7)

(8)

(3) 根據(jù)殘差數(shù)值的正負(fù)情況和數(shù)值的大小劃分若干狀態(tài)區(qū)間,y:[lg,lh],其中y表示所劃分的殘差狀態(tài)區(qū)間,lg、lh分別為所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間上、下限。

(4) 通過馬爾科夫模型計(jì)算殘差轉(zhuǎn)移矩陣,殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率計(jì)算公式為:

(9)

其中,nijC為殘差狀態(tài)yi經(jīng)過1次轉(zhuǎn)移到殘差狀態(tài)yj所出現(xiàn)的次數(shù);ni C為殘差狀態(tài)yi發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移的次數(shù)。PijC所構(gòu)成的殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣PC為：

(10)

確定殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣后,根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以得出未來某個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)間點(diǎn)的殘差狀態(tài),即可以按一定的概率確定由之前GM(1,1)模型所得預(yù)測(cè)值的偏差。

(11)

2 薄層罩面使用性能的預(yù)測(cè)

2.1 預(yù)測(cè)指標(biāo)的選取

通過對(duì)廣東某高速公路水泥混凝土橋面板上使用的微表處、高黏度乳化瀝青(high-viscosity emulsified asphalt,HVE)超黏磨耗層、NovaChip超薄磨耗層3種養(yǎng)護(hù)技術(shù)進(jìn)行不同時(shí)期的性能跟蹤檢測(cè),現(xiàn)場(chǎng)發(fā)現(xiàn)薄層罩面表面瀝青及集料的磨耗較為明顯,且部分路段有輕微轍痕,考慮到廣東省地處亞熱帶季風(fēng)氣候,常年高溫,以此確定了對(duì)薄層罩面使用性能影響最大的2個(gè)指標(biāo),即表面摩擦系數(shù)和車轍深度[11-15]?，F(xiàn)場(chǎng)薄層罩面表面抗滑衰減和轍痕情形如圖1所示。

圖1 現(xiàn)場(chǎng)薄層罩面表面抗滑衰減和轍痕情形

2.2 GM(1,1)模型

收集廣東省某高速公路2016—2019年的水泥混凝土橋面上的薄層罩面使用性能數(shù)據(jù),選取摩擦系數(shù)值和車轍深度值分別作為原始數(shù)據(jù)序列,其中以2016—2018年的摩擦系數(shù)和車轍深度數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù),2019年摩擦系數(shù)和車轍深度數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。2016—2018年廣東某高速公路薄層罩面摩擦系數(shù)BPN值和車轍深度數(shù)據(jù)分別如圖2、圖3所示。

圖2 摩擦系數(shù)BPN值歷史數(shù)據(jù)

圖3 車轍深度歷史數(shù)據(jù)

以NovaChip超薄磨耗層罩面為例,運(yùn)用Matlab進(jìn)行計(jì)算,得到的計(jì)算結(jié)果分別為:

因此,摩擦系數(shù)和車轍深度指標(biāo)GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列分別為:

本次研究中的相關(guān)數(shù)據(jù)需接受SPSS21.0軟件包分析,患者計(jì)數(shù)資料為n(%),并接受X2檢驗(yàn),患者計(jì)量資料需要利用(±s),并利用t值進(jìn)行驗(yàn)算。若兩組患者數(shù)據(jù)比較后結(jié)果顯示P<0.05,即為存在明顯意義。

計(jì)算得到摩擦系數(shù)、車轍深度原始數(shù)列的預(yù)測(cè)值分別為:

由各年份摩擦系數(shù)和車轍深度預(yù)測(cè)值的計(jì)算結(jié)果可得到各年份的摩擦系數(shù)和車轍深度預(yù)測(cè)值以及所對(duì)應(yīng)的Q、q殘差比率,通過馬爾科夫鏈對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的修正。

2.3 用馬爾科夫鏈修正預(yù)測(cè)值

根據(jù)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值和摩擦系數(shù)、車轍深度實(shí)際值的相對(duì)誤差大小以及符號(hào)的不同,可以將殘差劃分為3種不同的狀態(tài),見表1所列。NovaChip超薄磨耗層摩擦系數(shù)預(yù)測(cè)值、Q及所屬狀態(tài)見表2所列,車轍深度預(yù)測(cè)值、Q及所屬狀態(tài)見表3所列。

表1 殘差狀態(tài)分布

表2 NovaChip超薄磨耗層摩擦系數(shù)預(yù)測(cè)值、Q及所屬狀態(tài)

表3 NovaChip超薄磨耗層車轍深度預(yù)測(cè)值、Q及所屬狀態(tài)

殘差的狀態(tài)有3種,不同年份的殘差狀態(tài)有不同的轉(zhuǎn)移規(guī)律,nijC結(jié)果見表4所列。

表4 殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移nijC結(jié)果

根據(jù)表4，相應(yīng)的1次轉(zhuǎn)移殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時(shí)，s次狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算公式為：

l=1,2,…,s。

由此可得2、3次狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣分別為：

由表2、表3可知,摩擦系數(shù)和車轍深度在2018年8月都處于狀態(tài)1,因此確定2019年GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值的殘差狀態(tài)時(shí),考慮選擇(P(1))2第1行所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量作為2019年殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量。2019年GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量中概率最大值見表5所列。

表5 2019年預(yù)測(cè)值殘差狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量最大概率值

注：表中為NovaChip超薄磨耗層的結(jié)果。

由表5可知,2019年摩擦系數(shù)和車轍深度的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值殘差處于3種狀態(tài)的概率是不一樣的,2019年預(yù)測(cè)值殘差所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量中,殘差狀態(tài)處于狀態(tài)1的概率最大為0.5,因此選擇狀態(tài)1所對(duì)應(yīng)的誤差區(qū)間[0.5%,1.5%]的中值1.0%對(duì)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正,修正方式按(11)式,修正后得到的2019年NovaChip超薄磨耗層罩面摩擦系數(shù)預(yù)測(cè)值為52.9,車轍深度預(yù)測(cè)值為5.51 mm?；疑R爾科夫模型2019年的預(yù)測(cè)結(jié)果見表6所列。

表6 NovaChip超薄磨耗層2019年預(yù)測(cè)結(jié)果

注:車轍深度單位為mm。

同理,可計(jì)算得到微表處、HVE超黏磨耗層灰色馬爾科夫模型2019年的預(yù)測(cè)結(jié)果,見表7所列。

表7 微表處、HVE超黏磨耗層 2019年預(yù)測(cè)結(jié)果

注:車轍深度單位為mm。

從表6可以看出,灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型下的NovaChip超薄磨耗層摩擦系數(shù)與車轍深度的q值均較小,兩者預(yù)測(cè)結(jié)果均為“狀態(tài)2”。由表7可知,不論是微表處還是HVE超黏磨耗層,馬爾科夫預(yù)測(cè)模型下的摩擦系數(shù)與車轍深度預(yù)測(cè)結(jié)果均較為準(zhǔn)確。由此可見,馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確度和精度都較高。

2.4 不同養(yǎng)護(hù)措施長(zhǎng)期性能預(yù)測(cè)結(jié)果

應(yīng)用馬爾科夫預(yù)測(cè)模型,對(duì)3種薄層罩面類型的長(zhǎng)期使用性能進(jìn)行預(yù)測(cè),以獲得不同薄層罩面長(zhǎng)期路用性能的發(fā)展及衰變規(guī)律,預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 不同薄層罩面摩擦系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果

圖5 不同薄層罩面車轍深度預(yù)測(cè)結(jié)果

由圖4可知,不同薄層罩面的摩擦系數(shù)即抗滑性能在2019—2020年有較為明顯的下降,在2020—2021年,3種薄層罩面的摩擦系數(shù)下降趨勢(shì)開始放緩,逐漸趨于平穩(wěn)。由圖5可知,不同薄層罩面的車轍深度均隨著時(shí)間增加呈現(xiàn)較為明顯的增長(zhǎng),且2020—2021年的增長(zhǎng)幅度明顯要大于2019—2020年。

從以往幾年的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及長(zhǎng)期使用性能預(yù)測(cè)結(jié)果看,NovaChip超薄磨耗層抗滑性能最為穩(wěn)定,隨著時(shí)間的增長(zhǎng)下降幅度最小,長(zhǎng)遠(yuǎn)來看,在抗滑性能上NovaChip超薄磨耗層比微表處和HVE超黏磨耗層更有優(yōu)勢(shì)。此外,可以明顯發(fā)現(xiàn),NovaChip超薄磨耗層的車轍深度最小,且隨著時(shí)間增加其車轍深度也沒有出現(xiàn)較為劇烈的增長(zhǎng),而微表處的車轍深度一直較大,且增長(zhǎng)趨勢(shì)較明顯,由此可見,NovaChip超薄磨耗層具有較好的抗車轍能力,微表處抗車轍能力較差。

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用灰色馬爾科夫鏈路面使用性能預(yù)測(cè)模型,對(duì)廣東省某高速公路水泥混凝土橋面上使用的3種養(yǎng)護(hù)技術(shù)(微表處、HVE超黏磨耗層、NovaChip超薄磨耗層)的摩擦系數(shù)與車轍深度指標(biāo)進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析,得出如下結(jié)論:

(1) 路面使用性能的預(yù)測(cè)受到各方面不同因素的影響,具有隨機(jī)性和波動(dòng)性。在具有一定歷史數(shù)據(jù)的條件下,通過建立灰色馬爾科夫模型,借助Matlab計(jì)算求解,驗(yàn)證了該模型能夠達(dá)到比較高的預(yù)測(cè)精度。

(2) 灰色馬爾科夫模型是基于馬爾科夫鏈對(duì)灰色模型進(jìn)行修正,實(shí)例表明經(jīng)過馬爾科夫鏈修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確度較高,實(shí)用性較強(qiáng)。

(3) 在實(shí)際工程中,采用灰色馬爾科夫模型對(duì)高速公路水泥混凝土橋面板上薄層罩面的使用性能進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的,本文雖然以摩擦系數(shù)和車轍深度預(yù)測(cè)為例,但也適用于薄層罩面路用性能其他指標(biāo)的預(yù)測(cè)。實(shí)例證明這一模型具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

(4) NovaChip超薄磨耗層抗滑性能最穩(wěn)定,隨時(shí)間下降程度最小,在后期抗滑性能與HVE超黏磨耗層和微表處相比具有較大優(yōu)勢(shì);NovaChip超薄磨耗層車轍深度最小,具有較好的抗車轍能力,微表處抗車轍能力較差。