含關(guān)節(jié)間隙的并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差分析

張旭祥,沈丹峰,劉夏軒德,張國(guó)英

(西安工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)緊湊、精度高和承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),可以很好的改善機(jī)構(gòu)特性,提高機(jī)構(gòu)運(yùn)行精度[1-2]。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,由于制造裝配誤差及磨損等原因,會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生間隙,降低機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度[3-4]。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙的機(jī)械系統(tǒng)分析過(guò)程中,主要有3種建模方法[5]。其中,彈簧阻尼法是用彈簧伸縮表示運(yùn)動(dòng)副元件的擠壓變形,彈簧阻尼法更加接近現(xiàn)實(shí)[6-7]。對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行模擬,有學(xué)者基于改進(jìn)彈性基礎(chǔ)模型,建立了一種新的旋轉(zhuǎn)鉸間隙非線性混合碰撞力模型[8],并與傳統(tǒng)的L-N非線性彈簧阻尼碰撞力模型[9]進(jìn)行了比較,得出其優(yōu)越性[10-11]。Parenti Castelli等[12]采用虛功原理對(duì)空間機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)間隙進(jìn)行分析,提出一種更加靈活和完整的方法用來(lái)分析間隙在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)條件下的影響。Khemili[13]運(yùn)用Adams對(duì)柔性構(gòu)件曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真測(cè)試,得出間隙關(guān)節(jié)柔性是影響機(jī)構(gòu)性能的關(guān)鍵因素。隨著對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度的要求不斷提高,以上對(duì)機(jī)構(gòu)誤差的分析,對(duì)提高機(jī)器人軌跡規(guī)劃與路徑規(guī)劃的精度研究提供一定參考[14-16]。因此,對(duì)于含關(guān)節(jié)間隙機(jī)構(gòu)的誤差分析是提高機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)精度的有效方法。

本文以平面冗余并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象,忽略機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)誤差的影響[17-18],引入彈簧阻尼法理論基礎(chǔ)建立含關(guān)節(jié)間隙的運(yùn)動(dòng)模型。基于獨(dú)立支鏈系統(tǒng)進(jìn)行含轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)間隙的運(yùn)動(dòng)誤差分析,采用Adams仿真分析與數(shù)值理論計(jì)算相結(jié)合的方法,得出含關(guān)節(jié)誤差對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)含關(guān)節(jié)間隙模型

平面冗余二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1(a)所示，圖1(b)為該并聯(lián)機(jī)器人的虛擬樣機(jī)模型。

(a) 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

(b) 虛擬樣機(jī)模型圖 1 二自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)Fig.1 2-DOF parallel robot mechanism

圖1(a)中,并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動(dòng)關(guān)節(jié)點(diǎn)為A1(0,250),A2(433,0),A3(433,500),Bi(xi,yi)(i=1,2,3)為從動(dòng)關(guān)節(jié)點(diǎn),P(x0,y0)是其末端執(zhí)行點(diǎn)。連桿Li1(i=1,2,3)是主動(dòng)桿,連桿Li2(i=1,2,3)是從動(dòng)桿,且Li1=Li2=l=244 mm。定義關(guān)節(jié)角θi1(i=1,2,3)是對(duì)應(yīng)主動(dòng)桿與x軸正向夾角,關(guān)節(jié)角θi2(i=1,2,3)是對(duì)應(yīng)從動(dòng)桿與x軸正向夾角,逆時(shí)針為正。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有空間對(duì)稱性,其所含獨(dú)立支鏈系統(tǒng)等效于平面串聯(lián)二連桿機(jī)構(gòu),本文選擇冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)順時(shí)針位形中的任意兩支鏈為研究對(duì)象,選取其中一獨(dú)立支鏈建立其模型,如圖2(a)所示。要得出轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙誤差對(duì)機(jī)構(gòu)主要運(yùn)動(dòng)參數(shù)的影響,則需建立含轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的數(shù)學(xué)模型。圖2(b)是含間隙的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)副示意圖。設(shè)Δei1(i=1,2)是主動(dòng)桿AiBi與從動(dòng)桿BiP連接點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的誤差值(即該處的偏移量);Δei2(i=1,2)是從動(dòng)桿BiP與并聯(lián)機(jī)構(gòu)連接末端點(diǎn)P處轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的誤差值;Δpi是i支鏈在含有間隙誤差Δei1與Δei2時(shí)末端點(diǎn)P的軌跡曲線偏移量。間隙誤差Δei1與Δei2是任意的,為了分析不同的轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)末端點(diǎn)P的位置影響,本文選取Δei1與Δei2分別為0 mm,0.5 mm,1 mm,1.5 mm,2 mm,依次討論在含不同關(guān)節(jié)間隙的誤差時(shí),Δei1與Δei2的實(shí)際變化值對(duì)末端點(diǎn)P的軌跡曲線影響。

2 含關(guān)節(jié)間隙獨(dú)立支鏈系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析

獨(dú)立支鏈AiBiP正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解,即已知電機(jī)的角度位置θi1,求并聯(lián)機(jī)構(gòu)連桿末端P(x0,y0)所在位置。依據(jù)圖2(a),由幾何關(guān)系得

(1)

式中:θi1+Δθie(i=1,2)為i支鏈在含Δei1與Δei2情況下的角度。

(a) 獨(dú)立支鏈簡(jiǎn)圖

(b) 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙圖圖 2 支鏈簡(jiǎn)圖及轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙圖Fig.2 Diagram of branching and rotating pair clearance

由圖1(a)所示,根據(jù)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特殊性,P(x0,y0)為3支鏈共同執(zhí)行點(diǎn),由此約束得

(2)

令 [MNQ]T=

由式(1),(2)可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解,即末端執(zhí)行點(diǎn)P(x0,y0)位置坐標(biāo)為

(3)

由式(3)可知,并聯(lián)機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)中,末端位置P(x0,y0)僅為其主動(dòng)關(guān)節(jié)角θi1的函數(shù)。

結(jié)果顯示，干預(yù)1學(xué)年后，兒童進(jìn)行休閑性體力活動(dòng)時(shí)間明顯增加(469.31±345.89 min vs 563.10±345.88 min，P=0.005)。體力活動(dòng)水平不足(<180 min/周)的比例明顯下降(P=0.003)。尤其是每周體力活動(dòng)時(shí)間≥300min的比例明顯增加(P=0.029)。見表2。但干預(yù)前后屏幕時(shí)間差異無(wú)顯著性，7.00±50419 vs 6.13±5.838, P=0.085。

3 運(yùn)動(dòng)仿真

3.1 模型建立

利用Adams/View建立如圖1(b)所示的含有不同間隙的并聯(lián)機(jī)器人模型。由于View約束庫(kù)中缺少間隙約束類型,為達(dá)到與實(shí)際工況相近的含間隙仿真需要將含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的作用機(jī)理與軟件可供選擇的約束類型相結(jié)合,建立與之等效的間隙約束。實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)之間的轉(zhuǎn)動(dòng)特性由軸外徑與軸套內(nèi)徑非線性接觸約束,因此在仿真環(huán)境中需模擬這種運(yùn)動(dòng)約束。將含間隙時(shí)軸與軸套接觸替換為同一平面上線與線之間的接觸,用以替代兩關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)副的約束[19-20]。

設(shè)定末端點(diǎn)P(x0,y0)執(zhí)行半徑20 mm的勻速圓周運(yùn)動(dòng),在10 s,100 step的仿真條件下進(jìn)行不同Δei的運(yùn)動(dòng)仿真。

3.2 不含關(guān)節(jié)間隙的運(yùn)動(dòng)仿真

當(dāng)Δei1=Δei2=0 mm時(shí),獨(dú)立支鏈系統(tǒng)是理想的冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)。由式(3)可知,末端點(diǎn)位置影響因子僅與θi1相關(guān),故只需在冗余運(yùn)動(dòng)仿真下得θ11,θ21,θ31的變化規(guī)律,如圖3所示。

(a) θ11隨t變化曲線

(b) θ21隨t變化曲線

(c) θ31隨t變化曲線圖 3 主關(guān)節(jié)角θi1隨t變化曲線Fig.3 The changing curves of active joint angle with time

3.3 支鏈A1B1P存在關(guān)節(jié)誤差時(shí)運(yùn)動(dòng)仿真

在樣機(jī)支鏈A1B1P中添加從動(dòng)關(guān)節(jié)間隙Δe11與Δe12,進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,依次分析僅Δe11和僅Δe12間隙獨(dú)立影響，以及同時(shí)有Δe11與Δe12時(shí)的實(shí)際Δe11，Δe12間隙變化,如圖4所示。

(a) Δe11=0.5 mm或Δe12=0.5 mm間隙曲線

(b) Δe11=Δe12=0.5 mm間隙曲線

(c) Δe11=1.0 mm或Δe12=1.0 mm間隙曲線

(d) Δe11=Δe12=1.0 mm間隙曲線

(e) Δe11=1.5 mm或Δe12=1.5 mm間隙曲線

(f) Δe11=Δe12=1.5 mm間隙曲線

(g) Δe11=2.0 mm或Δe12=2.0 mm間隙曲線

(h) Δe11=Δe12=2.0 mm間隙曲線圖 4 Δe11與Δe12變化曲線Fig.4 The changing curves of Δe11and Δe12

圖4中,縱坐標(biāo)是機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同關(guān)節(jié)誤差引起的該關(guān)節(jié)處軸與軸套的實(shí)際偏移量。圖4(a),(c),(e),(g)分別為Δe11，Δe12單獨(dú)作用時(shí)的關(guān)節(jié)間隙偏移量變化曲線;圖4(b),(d),(f),(h)為Δe11，Δe12同時(shí)作用的關(guān)節(jié)間隙偏移量變化曲線。由于同一關(guān)節(jié)處的間隙偏移量在單一誤差下的變化規(guī)律與在兩間隙同時(shí)作用時(shí)的變化規(guī)律不同,因此仍然需要分析2個(gè)關(guān)節(jié)的偏移量,得到2個(gè)關(guān)節(jié)同時(shí)作用時(shí)的各關(guān)節(jié)偏移量的兩條曲線(圖4)。

由于各關(guān)節(jié)處軸與軸套偏移量的存在,使得轉(zhuǎn)動(dòng)角度產(chǎn)生誤差,因此間隙直接引起的是轉(zhuǎn)角誤差。故進(jìn)一步仿真得到獨(dú)立支鏈A1B1P中含不同Δei時(shí)，與其對(duì)應(yīng)主動(dòng)關(guān)節(jié)角θ11隨時(shí)間t的變化規(guī)律,如圖5所示。圖5中，“Δe11+Δe12”表示2個(gè)關(guān)節(jié)間隙同時(shí)存在且相等。

(a) 不同Δe11時(shí)，θ11隨t變化曲線

(b) 含Δe11+Δe12時(shí)，θ11隨t變化曲線圖 5 不同關(guān)節(jié)間隙的θ11隨t變化曲線Fig.5 The changing curves of θ11 in joint clearance with time

圖5中,由于運(yùn)動(dòng)支鏈存在Δe11,Δe12間隙,在仿真條件下,當(dāng)滿足末端點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡,則支鏈A1B1P在不同間隙情況下的主動(dòng)關(guān)節(jié)角會(huì)出現(xiàn)一定偏差。

(a) 不同Δe11時(shí)P點(diǎn)軌跡

(b) 不同Δe12時(shí)P點(diǎn)軌跡

(c) 含Δe11+Δe12時(shí)P點(diǎn)軌跡圖 6 含關(guān)節(jié)間隙的P點(diǎn)軌跡Fig.6 The locus of P-point with joint clearance

經(jīng)理論計(jì)算可以看出,支鏈A1B1P在Δe11與Δe12存在時(shí),P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡不能保證理想的圓周運(yùn)動(dòng),出現(xiàn)不規(guī)則變化的封閉曲線。

4 仿真結(jié)果分析

同理,計(jì)算統(tǒng)計(jì)出支鏈A2B2P中各軌跡曲線的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表 1 支鏈A1B1P含間隙時(shí)P點(diǎn)軌跡曲線σ值Tab.1 Standard deviation of P-point trajectory curves in branch A1B1P with clearance

表 2 支鏈A2B2P含間隙時(shí)P點(diǎn)軌跡曲線σ值Tab.2 Standard deviation of P-point trajectory curves in branch A2B2P with clearance

為直觀反映支鏈AiBiP中不同Δei1,Δei2對(duì)末端點(diǎn)P的軌跡影響規(guī)律,由表1,2中標(biāo)準(zhǔn)差σ繪制含Δei1,Δei2時(shí),P點(diǎn)軌跡相對(duì)于Δei1=Δei1=0 mm時(shí)的P點(diǎn)軌跡偏移量,如圖7所示。

(a) A1B1P軌跡與σ值

(b) A2B2P軌跡與σ值圖 7 支鏈A1B1P與A2B2P的σ值Fig.7 The values of σ of branch A1B2P and A2B2P

5 結(jié) 論

1) 平面冗余并聯(lián)結(jié)構(gòu)對(duì)某一支鏈而言,單一關(guān)節(jié)間隙誤差對(duì)末端點(diǎn)的影響規(guī)律小于2個(gè)關(guān)節(jié)間隙共同作用時(shí)的影響。

2) 冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)中某一獨(dú)立支鏈中2個(gè)關(guān)節(jié)間隙誤差引起的軌跡偏差小于各間隙誤差單獨(dú)作用的累加。

3) 轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)中間隙越大,導(dǎo)致其運(yùn)行時(shí)末端點(diǎn)偏離標(biāo)準(zhǔn)軌跡的機(jī)率越大,同時(shí)偏差峰值也越來(lái)越大,嚴(yán)重降低機(jī)構(gòu)運(yùn)行精度。