剛性路面下自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)建模與分析

張振博,馬訓(xùn)鳴，李 揚(yáng)，姜海諜

(西安工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

高鐵中繼站的人工巡檢存在勞動強(qiáng)度大、監(jiān)測質(zhì)量分散、安全風(fēng)險(xiǎn)高等不足，為了滿足對中繼站無人值守和安全運(yùn)行的要求,基于四輪滑移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的高鐵中繼站自動巡檢裝置得以應(yīng)用。自動巡檢裝置通過控制左右車輪的轉(zhuǎn)速差,使車輪產(chǎn)生縱向和側(cè)向滑動來完成轉(zhuǎn)向[1]。自動巡檢裝置運(yùn)動學(xué)模型對研究其在空間內(nèi)實(shí)時(shí)位姿、運(yùn)動規(guī)律和運(yùn)動控制有重要意義，研究自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)建模,重點(diǎn)在于考慮車輪滑動時(shí)的滑移率估算。文獻(xiàn)[2-3]在車輪純滾動無滑移這一假設(shè)下進(jìn)行研究的,該情況下的滑移轉(zhuǎn)向誤差率大,難以滿足精度要求。文獻(xiàn)[4]提出根據(jù)縱向阻力和地面剪切變形模量的關(guān)系,估算履帶式轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的縱向滑移率,文獻(xiàn)[5-6]則采用了前者方法,并將其用于履帶式車輛的軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[7]把四輪滑移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)近似地視為履帶式滑移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu),采用文獻(xiàn)[4]的方法估算滑移率,但該方法僅適用于非剛性路面。文獻(xiàn)[8-10]則構(gòu)建滑模觀測器估算縱向滑移率,具有收斂速度快,軌跡精度高的優(yōu)點(diǎn),但該方法只適用于軌跡跟蹤控制的滑移參數(shù)估算。文獻(xiàn)[11-13]采用計(jì)算瞬心坐標(biāo)的方法估算滑移轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的實(shí)時(shí)位姿,使得運(yùn)動學(xué)建模問題大大簡化,但要求已知運(yùn)動軌跡、回轉(zhuǎn)角速度不能為零,適用性不強(qiáng)。

本文采用基點(diǎn)法,對自動巡檢裝置建立局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)變換對自動巡檢裝置質(zhì)心在全局坐標(biāo)系下廣義變量的描述,得出自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)模型。在此基礎(chǔ)之上,通過分析輪地作用力與附著率的關(guān)系,參考輪胎模型估算縱向滑移率,解微分方程得出質(zhì)心的速度和位姿數(shù)據(jù)。該方法雖然計(jì)算復(fù)雜,但針對剛性路面模型精度高、適用性強(qiáng)。

1 自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)建模

在對巡檢裝置進(jìn)行數(shù)學(xué)描述時(shí),做如下假設(shè):

1) 假設(shè)車輪與車架均是剛體,二者間僅存在相對軸向轉(zhuǎn)動關(guān)系;

2) 假設(shè)同側(cè)驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速相同, 車輪質(zhì)心位于旋轉(zhuǎn)中心上, 且4個(gè)輪子的幾何中心均布于同一平面;

3) 假設(shè)自動巡檢裝置質(zhì)量分布均勻,質(zhì)心與幾何形心重合,且僅在水平方向上旋轉(zhuǎn)或者平移。

1.1 自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)分析

巡檢裝置通過左右車輪轉(zhuǎn)速差和地面滑動摩擦的共同作用下產(chǎn)生不同轉(zhuǎn)彎半徑的滑移轉(zhuǎn)向,穩(wěn)態(tài)的滑移轉(zhuǎn)向運(yùn)動可近似理解為勻速圓周運(yùn)動?；妻D(zhuǎn)向時(shí)的輪胎滑移可分解為車體局部坐標(biāo)系下的縱向滑動和側(cè)向滑動,實(shí)際情況下滑移轉(zhuǎn)向是在車輪相對地面滾動和滑動的共同作用下產(chǎn)生的[14]。

圖 1 滑移轉(zhuǎn)向的運(yùn)動學(xué)分析Fig.1 Kinematics analysis of slip steering

規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)樽藨B(tài)角θ的正方向,則局部坐標(biāo)系下,自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)模型為

(1)

全局坐標(biāo)系下,自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)模型[7]為

(2)

1.2 自動巡檢裝置的動力學(xué)分析

滑移轉(zhuǎn)向時(shí)左右車輪的驅(qū)動力不一致而產(chǎn)生的橫擺力矩,會迫使自動巡檢裝置繞運(yùn)動平面的法線軸橫擺轉(zhuǎn)動[4]?；妻D(zhuǎn)向從初始到穩(wěn)態(tài)這一過程,自動巡檢裝置既有縱向和側(cè)向的加速度,又有橫擺角加速度。質(zhì)心絕對加速度既與局部坐標(biāo)系下的質(zhì)心速度的導(dǎo)數(shù)有關(guān),又受橫擺角速度影響[15]?；妻D(zhuǎn)向運(yùn)動的縱向滑移率和側(cè)向滑移率跟機(jī)構(gòu)質(zhì)量、牽引力、縱向阻力和側(cè)向阻力等力學(xué)因素有關(guān)。

穩(wěn)定滑移轉(zhuǎn)向狀態(tài)下,機(jī)構(gòu)繞瞬心ICR圓周運(yùn)動的切向加速度為0,此時(shí)機(jī)構(gòu)處于受力平衡狀態(tài)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,列出質(zhì)點(diǎn)系平衡方程

(3)

(4)

式中：Fi(i=1,2,3,4)為所對應(yīng)的車輪的牽引力,同側(cè)牽引力相同,F1=F2=FL,F3=F4=FR；Pi(i=1,2,3,4)為對應(yīng)車輪的側(cè)向阻力；Rx為縱向阻力的合力；Mr為側(cè)向阻力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動阻力矩；fc為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動慣性力。fc數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(5)

1.2.1 縱向阻力分析 縱向阻力Ri等于車輪所受支持力Ni與縱向動摩擦因數(shù)fr的乘積,表示為Ri=frNi,(i=1,2,3,4)。

圖 2 縱向阻力分析Fig.2 Longitudinal resistance analysis

圖2是自動巡檢裝置的豎直方向受力分析圖,NL和NR分別表示機(jī)構(gòu)左右車輪所受支持力的合力,h為質(zhì)心C距地面高度,列出受力平衡方程為

(6)

同側(cè)車輪所受支持力相等,N1=N2,N3=N4,縱向阻力表示為

(7)

1.2.2 側(cè)向力分析 自動巡檢裝置沿地面?zhèn)认蚧茣r(shí),地面對車輪有側(cè)向阻力Pi(i=1,2,3,4)。車輪與地面接觸面上各點(diǎn)所受側(cè)向力f(x)與到瞬心ICR的縱向距離x呈正相關(guān)[16],即f(x)=kx。

圖 3 側(cè)向力分析Fig.3 Lateral force analysis

圖3所示為左側(cè)兩輪的側(cè)向力分布圖,其中d是輪胎與地面接觸線的縱向長度?；妻D(zhuǎn)向的側(cè)向力分布關(guān)于車身縱軸對稱,即P1=P3,P2=P4,則4個(gè)輪子側(cè)向力表示為

(8)

總側(cè)向力等于重力與側(cè)向阻力系數(shù)的乘積,即P=μtW,則相關(guān)系數(shù)為

(9)

聯(lián)立式(8),(9)得

(10)

1.2.3 轉(zhuǎn)動阻力矩 巡檢裝置滑移轉(zhuǎn)向時(shí),側(cè)向力對瞬心的轉(zhuǎn)矩將阻礙機(jī)構(gòu)橫擺運(yùn)動,該轉(zhuǎn)矩稱為轉(zhuǎn)動阻力距,用符號Mr表示,可得以下關(guān)系式：

(11)

1.3 縱向滑移率和側(cè)向滑移率

1.3.1 縱向滑移率 輪胎與剛性路面縱向滑移率可通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型表示,Burckhardt等在大量的輪胎與路面實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上得出了一種半經(jīng)驗(yàn)的μ-s輪胎模型[17],模型表達(dá)式為

μi=c1(1-exp(-c2εi))-c3εi

(12)

式中:μi(i=1,2,3,4)為車輪附著率;縱向滑移率ε1=ε2=εL,ε3=ε4=εR；c1=1.197 3，c2=25.168，c3=0.537 3,為干混凝土地面辨識參數(shù)。附著率是縱向滑移率的函數(shù),且不論對驅(qū)動還是制動,其變化規(guī)律都是相同的[18]。在此特別指出,當(dāng)車輪處于牽引狀態(tài)時(shí),縱向滑移率取正值;反之處于制動狀態(tài),縱向滑移率取負(fù)值。

車輪附著率是驅(qū)動輪所受的切向力Fa與法向力Fz的比值[19-20],朱燕燕等[21]指出該關(guān)系式僅適用于直線運(yùn)動的情況,對于滑移轉(zhuǎn)向運(yùn)動而言,不能完全表達(dá)接觸力與附著率的關(guān)系,合理的滑移轉(zhuǎn)向車輪附著率表達(dá)式為

(13)

1.3.2 側(cè)向滑移率 側(cè)滑因子S與側(cè)向滑移率ξ存在數(shù)學(xué)關(guān)系ξ=2S/B,其數(shù)值和質(zhì)心的側(cè)向速度有關(guān),通過力學(xué)分析,將式(5),(7),(10),(11)代入式(4)可得自動巡檢裝置滑移轉(zhuǎn)向的側(cè)向滑移率為

(14)

2 運(yùn)動學(xué)模型驗(yàn)證

建立與高鐵中繼站自動巡檢裝置等效的虛擬樣機(jī),如圖4所示。

圖 4 自動巡檢裝置的虛擬樣機(jī)Fig.4 Virtual prototype of the automatic inspection equipment

虛擬樣機(jī)模型的地面—輪胎接觸力參數(shù)、機(jī)構(gòu)參數(shù)和輪地作用力參數(shù)見表1。

表 1 模型參數(shù)表Tab.1 Model parameters

2.1 運(yùn)動學(xué)模型求解與虛擬樣機(jī)仿真

針對運(yùn)動學(xué)模型,結(jié)合表1 數(shù)據(jù),時(shí)間跨度30 s,時(shí)間步長0.1 s,計(jì)算出不同時(shí)刻的理論實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。為驗(yàn)證運(yùn)動學(xué)模型的正確性,對虛擬樣機(jī)模型仿真得出表1 參數(shù)下的質(zhì)心軌跡、速度等仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2.2 誤差分析

為避免稀釋誤差率數(shù)據(jù),以一個(gè)完整的滑移轉(zhuǎn)向周期進(jìn)行分析,綜合對比運(yùn)動學(xué)模型與虛擬樣機(jī)的各項(xiàng)轉(zhuǎn)向特性數(shù)據(jù)。

圖 5 縱向速度與誤差率Fig.5 Longitudinal velocity and percen-tage error

圖 6 側(cè)向速度與誤差率Fig.6 Lateral velocity and percentage error

圖5中,加速階段運(yùn)動學(xué)模型和虛擬樣機(jī)的速度變化略有差異,穩(wěn)態(tài)階段二者速度基本保持一致。由圖6所示的側(cè)向速度曲線可以得知,運(yùn)動學(xué)模型速度曲線走勢平穩(wěn),虛擬樣機(jī)速度曲線則波動明顯。同樣,對比圖7姿態(tài)角速度曲線可以發(fā)現(xiàn),前者在整個(gè)滑移轉(zhuǎn)向周期內(nèi)有輕微的波動,后者則相對平穩(wěn)一些。本文中所建立的運(yùn)動學(xué)模型不考慮輪地摩擦產(chǎn)生的機(jī)械振動,而虛擬樣機(jī)在滑移轉(zhuǎn)向時(shí)受到輪地摩擦振動,在速度方向有振動位移,再者側(cè)向速度數(shù)值較小,所以波動明顯?？v向速度也存在數(shù)值波動,而縱向速度數(shù)值較大,波動較小,兩側(cè)縱向滑移率波動也較小,由于姿態(tài)角速度與縱向滑移率有關(guān),因此姿態(tài)角速所受影響相對要小很多。

圖 7 姿態(tài)角速度與誤差率Fig.7 Attitude angular velocity and per-centage error

表2是圖5～7中3個(gè)速度在滑移轉(zhuǎn)向加速階段(0～0.5 s)、穩(wěn)態(tài)階段(0.5～15.9 s)和完整周期內(nèi)的速度期望、平均誤差率和方差。

表 2 速度數(shù)據(jù)分析Tab.2 Analysis of velocity data

圖8為一個(gè)轉(zhuǎn)向周期內(nèi)的滑移轉(zhuǎn)向質(zhì)心軌跡對比,可近似看作為圓形,轉(zhuǎn)彎半徑約1.192 m,可見滑移轉(zhuǎn)向過程中二者差距不大,軌跡基本重合。相比虛擬樣機(jī),滑移轉(zhuǎn)向過程中運(yùn)動學(xué)模型的質(zhì)心軌跡始終在同一個(gè)方向上有偏移,但由于穩(wěn)態(tài)階段占整個(gè)滑移轉(zhuǎn)向周期的96.86%,并且該階段縱向速度誤差率極小,側(cè)向速度誤差率雖大但數(shù)值小,不足以造成圖中的所示的誤差量;再者考慮到軌跡偏移情況,說明虛擬樣機(jī)速度略大,其偏移狀態(tài)也正好與表2中數(shù)據(jù)吻合。

圖 8 質(zhì)心軌跡Fig.8 Centroid trajectories

圖9是一個(gè)滑移轉(zhuǎn)向周期內(nèi)位姿誤差和角位移的關(guān)系。Δθ，Δs分別表示全局坐標(biāo)系下,運(yùn)動學(xué)模型和虛擬樣機(jī)的姿態(tài)角誤差、二者質(zhì)心軌跡相對于初始點(diǎn)(0,0)的位移誤差。相比滑移轉(zhuǎn)向的穩(wěn)態(tài)階段,受摩擦振動干擾的非穩(wěn)態(tài)階段的初始速度小,加速時(shí)間短,即使速度誤差稍大,二者位移也相差不大,所以呈現(xiàn)出圖中Δθ，Δs曲線。整個(gè)滑移轉(zhuǎn)向周期內(nèi),位姿角最大誤差0.006 2 rad,平均誤差0.004 1 rad,方差1.63×10-6,由此可見姿態(tài)角誤差較為可靠;位移誤差則呈類正弦周期性變化,周期15.9 s,最大誤差0.015 4 m。

圖 9 位姿誤差 Fig.9 Pose errors

滑移轉(zhuǎn)向涉及內(nèi)容復(fù)雜,其中包含摩擦和振動等因素。上述內(nèi)容僅考慮在特定地面參數(shù)作用下的運(yùn)動狀態(tài),存在滑移摩擦產(chǎn)生的振動、轉(zhuǎn)動副摩擦等因素造成的誤差。但由于運(yùn)動學(xué)模型與虛擬樣機(jī)質(zhì)心位姿誤差在要求范圍之內(nèi),故認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)條件下,摩擦振動對滑移轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性的影響可以忽略不計(jì)。

3 結(jié) 語

1) 建立了針對剛性路面的高鐵中繼站自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)模型;對自動巡檢裝置進(jìn)行了動力學(xué)分析;搭建了高鐵中繼站巡檢裝置的虛擬樣機(jī)。

2) 利用Matlab解運(yùn)動學(xué)方程,得出滑移轉(zhuǎn)向的理論數(shù)據(jù)，利用Adams仿真虛擬樣機(jī),得出滑移轉(zhuǎn)向的仿真數(shù)據(jù)。分析了局部坐標(biāo)系下,運(yùn)動學(xué)模型和虛擬樣機(jī)的縱向速度、側(cè)向速度、姿態(tài)角速度誤差率;分析了全局坐標(biāo)系下,二者的位置誤差和姿態(tài)角誤差。結(jié)果表明:轉(zhuǎn)彎半徑1.192 m的穩(wěn)定滑移轉(zhuǎn)向運(yùn)動狀態(tài)下,姿態(tài)角誤差在0.006 2 rad以內(nèi),位移誤差在0.015 4 m以內(nèi),達(dá)到了高鐵中繼站自動巡檢裝置的運(yùn)動學(xué)模型精度要求。該運(yùn)動學(xué)模型可應(yīng)用于剛性路面下巡檢裝置滑移轉(zhuǎn)向的運(yùn)動軌跡估算。