高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探討

韋志仁

摘要：高中數(shù)學(xué)包括數(shù)與方程、函數(shù)、數(shù)列、幾何等復(fù)雜的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的思維、運(yùn)算、觀察、空間感知等能力具有很高的要求。高中教師在教學(xué)過程中，必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和對(duì)數(shù)學(xué)模型的敏感度。數(shù)形結(jié)合作為一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，用圖形的方式轉(zhuǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)，有利于學(xué)生接受和理解抽象的數(shù)學(xué)數(shù)列。本文以人教版教材為例，探討數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）11-0162

高中數(shù)學(xué)作為我國高中生必須學(xué)習(xí)的一門學(xué)科，其重要程度可想而知。高中數(shù)學(xué)在某些方面具有極強(qiáng)的規(guī)律性，例如一元二次方程固定的求解公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等，這些數(shù)學(xué)問題可以通過固有公式和計(jì)算方法進(jìn)行求解。但相應(yīng)地，高中數(shù)學(xué)也存在某些無法用公式來表達(dá)規(guī)律的數(shù)學(xué)問題，如線性規(guī)劃、空間幾何等，這些數(shù)學(xué)問題需要通過輔助線、數(shù)軸、函數(shù)圖像等圖形來進(jìn)一步分析。因此，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來進(jìn)行教學(xué)，不僅順應(yīng)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，還有助于教學(xué)質(zhì)量的提升。

一、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教育中的意義

數(shù)形結(jié)合將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何形式，把數(shù)學(xué)符號(hào)用圖像的方式解構(gòu)又重組，在數(shù)學(xué)教育中具有以下幾方面意義。1.在教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能使數(shù)學(xué)概念更加直觀，便于教師授課與學(xué)生理解。例如在講解概率問題（高中數(shù)學(xué)必修三，人教版）時(shí)，教師可以通過畫“樹狀圖”的方式，讓學(xué)生直觀地看到事件“發(fā)生”的途徑，從而計(jì)算出相應(yīng)的概率。2.對(duì)于學(xué)生來說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過將圖形與數(shù)學(xué)聯(lián)合的方式來思考，有助于轉(zhuǎn)變思維和提升空間想象能力。例如在講解“正弦函數(shù)y=sinx（對(duì)稱軸：x=kπ+π/2（k∈z）對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈z））”（高中數(shù)學(xué)必修四，人教版）時(shí)，可以結(jié)合函數(shù)圖像和坐標(biāo)軸，將y=sinx的關(guān)系通過圖形來呈現(xiàn)。3.數(shù)形結(jié)合開辟了看待數(shù)學(xué)問題的新角度，為解題提供了新的方向，有效地?cái)U(kuò)充了解題方法，提升解題速率。

二、數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.數(shù)、集合與數(shù)軸

數(shù)學(xué)是研究由數(shù)字構(gòu)成的一系列式子的規(guī)律的科學(xué)，可以說“數(shù)”是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，在數(shù)與集合（高中數(shù)學(xué)必修一，人教版）的問題中，總是需要結(jié)合數(shù)軸來分析集合的意義，將集合與集合的“交”“并”“包含”等關(guān)系通過在數(shù)軸上繪圖的方式展現(xiàn)出來。這不僅使集合與集合間的關(guān)系一目了然，還使得在分析該數(shù)學(xué)問題時(shí)思路更加有層次。

2.函數(shù)圖像與方程

在高中數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容中，函數(shù)問題占有非常大的比例，是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一個(gè)版塊，也是最具有多樣性的一個(gè)部分。而在概念上，函數(shù)與方程也具有緊密聯(lián)系：方程體現(xiàn)了兩個(gè)式子的關(guān)系，而函數(shù)體現(xiàn)了兩個(gè)變量（自變量與因變量）的關(guān)系?；诜匠膛c函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，在面對(duì)復(fù)雜的方程時(shí)，教師可以利用函數(shù)圖像來幫助學(xué)生理解方程的意義。例如：在“二次函數(shù)與一元二次方程”（高中數(shù)學(xué)必修一，人教版）的問題中，就可以用函數(shù)與坐標(biāo)軸的“交點(diǎn)”和函數(shù)圖像的“開口”方向來確定一元二次方程“根”的數(shù)量。

3.等式、不等式與線性規(guī)劃

在講解“線性規(guī)劃”（高中數(shù)學(xué)必修五，人教版）問題時(shí)，面對(duì)多個(gè)不等式或等式組成的條件，如果用解等式和不等式的方式來解答線性規(guī)劃問題，是非常耗費(fèi)時(shí)間且不明智的方法。如：設(shè)變量x，y滿足以下條件，x-y≦10；0≦x+y≦20；0≦y≦15，則2x+3y的最大值為多少？在解決這個(gè)問題時(shí)，先將各項(xiàng)式子化為函數(shù)形式得到：y≧x-10；y≦20-x；y≧-x；y≧0；y≦15，然后畫出以上幾個(gè)式子的圖像，根據(jù)不等式的要求找到幾個(gè)集合的交匯，從而找出正確的答案。

4.解析幾何

（1）平面幾何

數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何發(fā)展的基礎(chǔ)，例如在“解三角形”（高中數(shù)學(xué)必修五，人教版）的過程中，需要用到正弦定理、余弦定理等知識(shí)，但是在純文字的敘述下，學(xué)生很難找到角與角的關(guān)系和角與邊的關(guān)系。因此，可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合題目要素，畫出三角形并標(biāo)明角與邊，然后結(jié)合圖形，找到三角形角與角的關(guān)系、角與邊的關(guān)系和邊與邊的關(guān)系，最后通過輔助線和運(yùn)算公式計(jì)算出正確的答案?；蛘?，還可以構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，通過向量法來求解三角形。

（2）立體幾何

立體幾何對(duì)于學(xué)生的空間感知能力要求比較高，學(xué)生需要在復(fù)雜的線與交錯(cuò)的面之間來尋找線與線的關(guān)系、面與面的關(guān)系、線與面的關(guān)系等。在這個(gè)過程中，可以選取適合的點(diǎn)為基礎(chǔ)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后用坐標(biāo)結(jié)合向量來進(jìn)行計(jì)算。

三、結(jié)束語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教會(huì)學(xué)生利用圖像表達(dá)數(shù)學(xué)式子和數(shù)學(xué)問題，是非常重要的。數(shù)形結(jié)合非常巧妙地將數(shù)字世界與圖形世界連接起來，以新的角度來詮釋數(shù)學(xué)問題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，這不僅有利于教學(xué)質(zhì)量的提升，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題抽絲剝繭，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開發(fā)學(xué)生的大腦與思維。

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（作者單位：廣西南寧市馬山縣馬山中學(xué)530600）