“化歸法”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

涂媛媛

摘 要：化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。文章通過(guò)高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，探索化歸法在求極限、求導(dǎo)、求積分中的應(yīng)用，并闡明化歸法的類(lèi)型和使用原則。

關(guān)鍵詞：化歸法;高等數(shù)學(xué);應(yīng)用原則

一、引言

“化”代表轉(zhuǎn)化，“歸”代表歸結(jié)?；瘹w是一種解題思想，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式，在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，人們通常并不會(huì)直接按部就班往下寫(xiě)，而是通過(guò)巧妙地轉(zhuǎn)化或者變形等，使之往熟悉的內(nèi)容上靠攏，即將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。

匈牙利數(shù)學(xué)家羅莎曾對(duì)化歸法做過(guò)形象的解釋?zhuān)骸澳阆霟F(xiàn)有火柴、煤氣灶、水龍頭，還有水壺，應(yīng)怎么去做？”有人答：“打開(kāi)水龍頭，水壺接水，再用火柴點(diǎn)燃煤氣灶，最后放上裝滿水的水壺?！庇謫?wèn)：“若水壺中已經(jīng)裝滿水，其余條件不變，接下來(lái)該怎么辦？”有人答：“直接點(diǎn)燃煤氣將水壺放上?！绷_莎點(diǎn)了點(diǎn)頭說(shuō)道：“對(duì)，但這是物理學(xué)家的做法，數(shù)學(xué)家則會(huì)將水壺中的水倒掉，就回歸到了開(kāi)始的問(wèn)題?！绷_莎的舉例很清晰地展示了化歸法的實(shí)質(zhì)。

二、化歸法概述

化歸法運(yùn)用的范圍很廣，使用的方式千差萬(wàn)別，自然其分類(lèi)也多種多樣，不同的分類(lèi)也就有不同的用法。

首先，根據(jù)待解決問(wèn)題的屬性劃分，能夠分成證明中的化歸法和計(jì)算中的化歸法，還有構(gòu)建新科目體制中的化歸法，等等。

其次，根據(jù)使用的領(lǐng)域劃分，則有內(nèi)部和外部之分。內(nèi)部的化歸法即為兩類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題間的轉(zhuǎn)化，外部的化歸法則為實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。

再次，根據(jù)使用的廣度和維度劃分，則有單維、二維、多維和廣義之分。單維的化歸法指適用于單一學(xué)科體系內(nèi)的化歸;二維化歸法的變換為兩種相異數(shù)學(xué)支系間的轉(zhuǎn)化;多維的化歸法是橫跨諸多數(shù)學(xué)支系，為諸多學(xué)科體系所適用的化歸，像換元法、待定系數(shù)法等;廣義的化歸法則表示越過(guò)數(shù)學(xué)界限的化歸法，像數(shù)學(xué)建模法等。

最后，常見(jiàn)的化歸方法有瓜分法、求變法、映射法和極端化法等。

瓜分法就是將某個(gè)待解答的問(wèn)題瓜分為幾個(gè)簡(jiǎn)單、熟悉的小問(wèn)題，然后逐個(gè)求解這些小問(wèn)題的方法。

求變法是化歸法的一種重要手段，包括等價(jià)變形法、分步變形法、參數(shù)變形法、換元變形法等方法。

映射法就是通過(guò)映射把原來(lái)的問(wèn)題A轉(zhuǎn)化成問(wèn)題B，接著求得問(wèn)題B的解，然后利用逆映射解出原題。

極端化法是指解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)用極端的思維去考慮，使之得到易解決或已知的問(wèn)題，再推得原題的解的方法。此種問(wèn)題一般是多種情形的，單考慮原題并不能看出，需發(fā)揮聯(lián)想去建構(gòu)出。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸思想隨處可見(jiàn)。下面，筆者就高等數(shù)學(xué)教學(xué)在求極限、求導(dǎo)、求積分方面如何應(yīng)用化歸法作初步探索。

化歸的進(jìn)行并非是百無(wú)禁忌的，化歸流程應(yīng)依照下列原則。①熟悉化原則：將原題由陌生化為熟悉，從而變?yōu)槿藗兞?xí)慣的形式;②淺易化原則：將問(wèn)題由難化易、由復(fù)雜難懂化淺顯明了，使之更容易找到思路;③協(xié)調(diào)化原則：協(xié)調(diào)化代表和諧的一種體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的狀態(tài)。在解題時(shí)，可以依據(jù)題目的條件、結(jié)論等將其轉(zhuǎn)變?yōu)楦鼌f(xié)調(diào)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使之更合乎一般思維; ④直覺(jué)化原則：將不直觀的、模糊的、隱晦的問(wèn)題化成直覺(jué)的、詳盡的、顯而易見(jiàn)的題目，使之更易解答;⑤逆反原則：遇到難題從正面完全無(wú)法動(dòng)手時(shí)，就要考慮反向或逆向思考。逆水行舟，不進(jìn)則退，換個(gè)角度往往能發(fā)現(xiàn)新世界。

六、結(jié)語(yǔ)

化歸法對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的影響是深遠(yuǎn)的，沒(méi)有化歸思想的使用，高等數(shù)學(xué)中許多題目或許就是未解之謎，很多解答過(guò)程或許就是長(zhǎng)篇大論，很多理論體系或許將光怪陸離不再?lài)?yán)謹(jǐn)，很多公式也將無(wú)從得證……這便是化歸法的魅力所在，其影響顯著，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可或缺的地位。

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