李雅普諾夫分支定理的新結(jié)果

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(1. 桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西桂林541004；2. 四川省廣元市職業(yè)高級中學(xué)校，四川廣元628017)

平面向量場的分支問題是常微分方程定性理論研究中一個十分重要的內(nèi)容。 對于平面向量場中的分支理論，人們最為關(guān)注的是極限環(huán)分支，也就是研究當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生微小變化時，極限環(huán)的產(chǎn)生與消失問題。

數(shù)學(xué)大師龐加萊曾預(yù)言極限環(huán)在微分方程定性理論中將扮演“一個重要的角色”。經(jīng)過100多年的蓬勃發(fā)展，它已經(jīng)成為從事許多學(xué)科和尖端技術(shù)研究的不可缺少的數(shù)學(xué)工具，它的思想和技巧已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)以及其它許多分支，包括自動控制理論[1-4]、航天技術(shù)[5-6]、生物學(xué)[7-10]、醫(yī)學(xué)[11-12]、經(jīng)濟(jì)學(xué)[13-15]等，近期的一些研究成果見文獻(xiàn)[16-17]。

目前，Lienard系統(tǒng)極限環(huán)的研究已經(jīng)取得了大量的成果，如張芷芬等[18]極限環(huán)的唯一性定理等，更多研究見文獻(xiàn)[19-20]。對一般系統(tǒng)極限環(huán)的存在性及個數(shù)問題還有待于進(jìn)一步研究。

重述李雅普諾夫分支定理[19]：考慮系統(tǒng)

(1)

其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。設(shè)參數(shù)λ=0時，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點；參數(shù)λ>0且λ→0時，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點。 則對充分小的λ>0，系統(tǒng) (1) 在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

記系統(tǒng) (1) 在λ=0時對應(yīng)的系統(tǒng)為

(2)

本文得到以下結(jié)果。

定理1考慮系統(tǒng) (1)，其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。系統(tǒng) (2) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點，λm>λm-1>…>λ2>λ1，且滿足

參數(shù)λ→λi(1≤i≤m)時，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點，則對充分接近λi的λ，系統(tǒng) (1)在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

注1λ→λi(1≤i≤m)包含λ→(λi)+和λ→(λi)-2個方面，這意味著對系統(tǒng) (1) 作變換λ=γ+λi時，定理中的條件轉(zhuǎn)化為γ→0+與γ→0-，顯然該條件比李雅普諾夫分支定理中的條件λ>0且λ→0稍微弱化一些，這也說明了不能僅僅通過一個簡單的變換λ=γ+λi得到定理的結(jié)論。

定理2考慮系統(tǒng) (1)，其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。系統(tǒng)(2) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點，在xoy平面任意有界范圍內(nèi)有關(guān)于λ的一致收斂

且當(dāng)參數(shù)λ→+∞時，系統(tǒng) (1) 以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點，則存在M>0，使得當(dāng)λ>M時，系統(tǒng) (1) 在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

1 定理1的證明

在證明定理1之前，先證明引理1。

引理1考慮系統(tǒng)(1)，其中P與Q是關(guān)于(x,y,λ)的解析函數(shù)。若系統(tǒng)(2) 以(0, 0)為中心型穩(wěn)定(不穩(wěn)定)焦點，λ1>0且滿足

參數(shù)λ>0且λ→λ1時，系統(tǒng)(1)以(0, 0)為不穩(wěn)定(穩(wěn)定)焦點，則對充分接近λ1的λ，系統(tǒng)(1)在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的極限環(huán)。

證明因為(0, 0)是系統(tǒng)(2)的中心型平衡點，所以存在可逆線性變換

可將系統(tǒng)(2)化為以下形式

(3)

經(jīng)過同一個線性變換，系統(tǒng)(1)化為

(4)

對系統(tǒng)(4)證明定理1的結(jié)論，這里只證括號外面的結(jié)論， 括號內(nèi)的證明類似。因為(0, 0)是系統(tǒng)(2)的中心型穩(wěn)定焦點，所以(0, 0)也是系統(tǒng)(4)的中心型穩(wěn)定焦點，根據(jù)判斷中心的形式級數(shù)法，一定存在函數(shù)

F(u,v)=u2+v2+F3(u,v)+…+F2k(u,v)

沿著方程(3)的軌線有

其中o(u,v)表示關(guān)于u、v的高于2k次的項之和, 常數(shù)C0>0。將上式改寫為

(5)

而右端第2項

(6)

總之，當(dāng)|λ-λ1|<λ0時，在環(huán)形區(qū)域H內(nèi)

注2為了證明的完整性, 本文保留了文獻(xiàn)[9]中李雅普諾夫分支定理的一部分證明過程；對于定理的括號內(nèi)的情形可知存在C0<0滿足以上表達(dá)式。

作為引理1的推廣，容易得到定理1的證明，在此略去。

對于參數(shù)λ，系統(tǒng)以(0, 0)為平衡點。系統(tǒng)右端函數(shù)在(0, 0)處的導(dǎo)算子為

其特征值為

當(dāng)λ>0且λ→1時，(0, 0)是不穩(wěn)定焦點。當(dāng)λ=0時，考慮李雅普諾夫函數(shù)F(x,y)=x2+y2。顯然有

而x=0或y=0都不是整條軌線，所以(0, 0)是穩(wěn)定的焦點。由定理1可知，對充分接近1的λ，系統(tǒng)在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定的極限環(huán)。

推論1已知系統(tǒng)

其中m,ki∈Ν+(1≤i≤m)。則對充分接近j(1≤j≤m)的λ，系統(tǒng)在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定極限環(huán)。

2 定理2的證明

總之，當(dāng)λ>M時，在環(huán)形區(qū)域H內(nèi)

對于參數(shù)λ，系統(tǒng)以(0, 0)為平衡點。系統(tǒng)右端函數(shù)在(0, 0)處的導(dǎo)算子為

其特征值為

當(dāng)λ?M時，(0,0)是不穩(wěn)定焦點。當(dāng)λ=0時，考慮李雅普諾夫函數(shù)F(x,y)=x2+y2。顯然有

而x=0或y=0都不是整條軌線，所以(0, 0)是穩(wěn)定的焦點。由定理2可知，對充分大的λ，系統(tǒng)在(0, 0)附近至少有一個穩(wěn)定的極限環(huán)。

3 結(jié)論