一種諧振式加速度計(jì)的穩(wěn)定性分析方法

李艷，曾浩軒，張帥印，朱周宇，周迅，周子強(qiáng)

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京 100083

諧振式加速度計(jì)是基于諧振式測(cè)量原理、直接輸出頻率量的加速度傳感器，其輸出主要取決于諧振敏感結(jié)構(gòu)(2根諧振梁組成)自身的機(jī)械諧振狀態(tài)，幾乎不受電路參數(shù)變化的影響，無(wú)須經(jīng)過(guò) A/D、V/F轉(zhuǎn)換。因此，相比于現(xiàn)有絕大多數(shù)傳感器具有性能穩(wěn)定可靠、精度高、易于計(jì)算機(jī)匹配的優(yōu)勢(shì)，近年來(lái)在航空航天及工業(yè)電子等領(lǐng)域的導(dǎo)航、制導(dǎo)及傳感方面得到廣泛關(guān)注。

為提高諧振式加速度計(jì)性能，研究人員在結(jié)構(gòu)優(yōu)化[1-5]、加工工藝[6]、封裝方法[7-8]、檢測(cè)裝置[9-11]、穩(wěn)定性分析[12-13]等方面做了大量工作。結(jié)構(gòu)優(yōu)化一定程度上能提高檢測(cè)精度，但只是基于結(jié)構(gòu)的參數(shù)和形式，并未從敏感機(jī)理上深入研究；在加工工藝精度不高的情況下，工藝偏差會(huì)加大機(jī)械耦合對(duì)精度的影響；真空封裝有助于品質(zhì)因數(shù)的提高，但同時(shí)會(huì)增加工藝難度和制作成本，降低器件長(zhǎng)期工作穩(wěn)定性；檢測(cè)裝置通過(guò)提高信噪比來(lái)提高加速度計(jì)性能，但不能從敏感本質(zhì)上解決問(wèn)題；現(xiàn)有穩(wěn)定性分析方法主要針對(duì)參數(shù)激勵(lì)條件下陀螺的穩(wěn)定性，但陀螺振動(dòng)特性與加速度計(jì)完全不同，其穩(wěn)定性分析方法不適用于加速度計(jì)。因此，如何既從敏感本質(zhì)和源頭上實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化又能提高檢測(cè)精度，是加速度計(jì)研究的重要考量。

針對(duì)諧振式加速度計(jì)的敏感結(jié)構(gòu)，理論振動(dòng)模型可通過(guò)一個(gè)等效的單自由度欠阻尼系統(tǒng)描述。實(shí)際檢測(cè)中，由于敏感結(jié)構(gòu)支撐端的約束，使其振動(dòng)時(shí)不能自由變形，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部附加與振動(dòng)位移成正比的內(nèi)應(yīng)力，造成固有頻率隨敏感結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值變化，從而產(chǎn)生振動(dòng)不穩(wěn)定的現(xiàn)象?，F(xiàn)有諧振式加速度計(jì)研究都是基于敏感結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)，忽略內(nèi)、外部綜合因素影響的不穩(wěn)定振動(dòng)和相關(guān)特征信息研究，這將嚴(yán)重影響加速度計(jì)的測(cè)試精度。

筆者以諧振式加速度計(jì)為研究對(duì)象，針對(duì)敏感結(jié)構(gòu)振動(dòng)穩(wěn)定性與結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題，深入開(kāi)展諧振式加速度計(jì)敏感結(jié)構(gòu)的振動(dòng)穩(wěn)定性研究，建立諧振式加速度計(jì)敏感結(jié)構(gòu)振動(dòng)穩(wěn)定性與結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)之間的紐帶，在滿足敏感結(jié)構(gòu)振動(dòng)穩(wěn)定性需求下提升檢測(cè)精度物理實(shí)現(xiàn)能力，為我國(guó)諧振式加速度計(jì)高精度測(cè)量技術(shù)的研究提供思路。

1 諧振式加速度計(jì)工作原理

圖1為諧振式加速度計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，主要由敏感結(jié)構(gòu)(包括2根諧振梁)、質(zhì)量塊、杠桿機(jī)構(gòu)、支撐梁構(gòu)成。其工作原理：加速度計(jì)受到一個(gè)外界加速度a時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律F=ma，經(jīng)過(guò)質(zhì)量塊產(chǎn)生軸向慣性力，再經(jīng)由杠桿機(jī)構(gòu)的放大作用，將放大的慣性力作用在諧振梁的軸向端，調(diào)制諧振梁的諧振頻率，使諧振梁的諧振頻率發(fā)生變化，頻率變化大小與加載的加速度成正比，通過(guò)信號(hào)拾振單元，可以解調(diào)出加載的加速度的大小。

圖1 加速度計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structuraldiagram of a resonant accelerometer

2 加速度計(jì)諧振梁的振動(dòng)模型

由諧振式加速度計(jì)的敏感機(jī)理可知，其振動(dòng)特性研究主要集中于敏感結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，因此加速度計(jì)振動(dòng)穩(wěn)定性研究也集中在對(duì)諧振梁振動(dòng)穩(wěn)定性的分析。

在軸向慣性力作用下，令諧振梁y方向的位移y=w(x，t)，則諧振梁自由振動(dòng)方程為

(1)

式中，E為彈性模量，Pa；I為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，mm4；F為軸向力，N；ρ為梁密度，kg/m3；A為梁橫截面積，m2。

假設(shè)諧振梁的振型函數(shù)為φ(x)，對(duì)應(yīng)隨時(shí)間的振動(dòng)變化規(guī)律為q(t)。利用分離變量法解方程(1)，可得

w(x，t)=φ(x)q(t)

(2)

將式(2)代入式(1)，則有

(3)

式(3)兩邊都乘以φ，再對(duì)x進(jìn)行積分，由分部積分法以及齊次邊界條件，簡(jiǎn)化可得

(4)

式中，q0為梁的一階固有頻率，Hz。

(5)

其中，加速度計(jì)的軸向激勵(lì)為周期力，即

F(t)=F(t+T)

(6)

式中，T為周期。

3 諧振式加速度計(jì)的穩(wěn)定性分析方法

諧振式加速度計(jì)諧振梁振動(dòng)模型的穩(wěn)定性區(qū)間為一系列離散區(qū)間，區(qū)間的分布呈現(xiàn)很強(qiáng)的非線性特性。如果加速度計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)處于不穩(wěn)定區(qū)間，諧振系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，導(dǎo)致進(jìn)入非線性振動(dòng)狀態(tài)甚至破壞其自身結(jié)構(gòu)。同時(shí)加速度計(jì)的工作過(guò)程又需要保證恰當(dāng)?shù)撵`敏度，參數(shù)的設(shè)計(jì)應(yīng)接近穩(wěn)定區(qū)的邊界，以保證敏感結(jié)構(gòu)能靈敏反應(yīng)參數(shù)的變化。合理設(shè)計(jì)諧振式加速度計(jì)參數(shù)是優(yōu)化諧振式加速度計(jì)設(shè)計(jì)的首要問(wèn)題。

3.1 諧振梁振動(dòng)模型的近似解

利用小參數(shù)攝動(dòng)法，假設(shè)諧振梁振動(dòng)模型的一般近似解為

u(t;ε)=u0(t)+εu1(t)+ε2u2(t)+…

(7)

δ(ε)=δ0+εδ1+ε2δ2+…

(8)

將式(7)和式(8)代入式(5)，并令同次項(xiàng)的系數(shù)相等，可得

(9)

(10)

(11)

根據(jù)Floquet理論，沿著過(guò)渡曲線，諧振梁振動(dòng)模型的一般解具有周期π或2π，因此式(9)的δ0解寫成

u0=a0cos(nt)+b0sin(nt)

(12)

式中，n是非零整數(shù)；a0和b0是任意常數(shù)。

因?yàn)橹C振梁振動(dòng)模型的每一個(gè)解都是周期為π或2π的解，所以式(9)中的δ0必須滿足

(13)

將式(12)代入式(9)消除式中的長(zhǎng)期項(xiàng)，可得

(14)

(15)

由式(14)和式(15)，可得

(16)

通常a0和b0滿足

(17)

將式(16)代入式(11)中，可得

(18)

其中，a1和b1是任意常數(shù)；NST代表不可能在u2中引起的長(zhǎng)期項(xiàng)。且有

(19)

(20)

(21)

若消除u2中的長(zhǎng)期項(xiàng)，則有

(22)

(23)

求解δ2需考慮δ1=0和δ1≠0的2種情況。

當(dāng)δ1=0時(shí)，δ1、α1n、β1n都為零，則式(22)和式(23)可簡(jiǎn)化為

(24)

當(dāng)δ1≠0時(shí)，a1和b1是未知數(shù)，系數(shù)矩陣的行列式為零，當(dāng)且僅當(dāng)滿足

(25)

此時(shí)，u2才可能有解。與此同時(shí)a0和b0不獨(dú)立，且按照式(17)相互關(guān)聯(lián)，則式(25)可寫成

β1n[(2δ1+α1n)y2-β1n]-

(2δ1+α1n)[(2δ1+α1n)y3-β1ny2]=0

(26)

此時(shí)求解可得δ2。

3.2 諧振梁的穩(wěn)定性分析

諧振式加速度計(jì)諧振梁軸向端受到周期性的壓力或拉力，調(diào)制諧振梁的諧振頻率，使其變化與周期力成正比，從而可以解調(diào)出加載的加速度的大小。此時(shí)，假設(shè)諧振梁軸向端受到的周期力為余弦函數(shù)和三角函數(shù)，諧振梁穩(wěn)定區(qū)域的求解方法如下：

(1) 周期力F(t)=F0cosωdt時(shí)，令

則諧振梁振動(dòng)模型式(5)轉(zhuǎn)換成

(27)

由諧振梁振動(dòng)模型的近似解求解方法，可得模型穩(wěn)定性區(qū)間的過(guò)渡曲線方程式為

(28)

周期力為余弦函數(shù)時(shí)的穩(wěn)定性曲線如圖2所示，圖中陰影部分是系統(tǒng)振動(dòng)不穩(wěn)定的參數(shù)取值區(qū)域，其余為系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定的參數(shù)取值區(qū)域。

圖2 周期力為余弦函數(shù)時(shí)的穩(wěn)定性曲線Fig.2 Stability curve of cosine function

(2)周期力F(t)=F(t+2l)，t∈(-∞,+∞)時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)

對(duì)此周期函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，則有

(29)

化簡(jiǎn)式(29)可得

(30)

(31)

由諧振梁振動(dòng)模型的近似解求解方法，可得模型穩(wěn)定性區(qū)間的過(guò)渡曲線方程式為

(32)

周期力為三角函數(shù)時(shí)的穩(wěn)定性曲線如圖3所示，圖中陰影部分為系統(tǒng)振動(dòng)不穩(wěn)定的參數(shù)取值區(qū)域，其余部分為系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定的參數(shù)取值區(qū)域。

圖3 周期力為三角函數(shù)時(shí)的穩(wěn)定性曲線Fig.3 Stability curve of trigonometric function

對(duì)于諧振式加速度計(jì)敏感結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型的解有界或無(wú)界、系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，都取決于模型參數(shù)。這種理論要求在參數(shù)空間內(nèi)將系統(tǒng)參數(shù)的取值分為穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域兩部分。由穩(wěn)定性曲線可知，隨著參數(shù)δ的增加，系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定的參數(shù)取值區(qū)域增大。如果結(jié)構(gòu)參數(shù)落入不穩(wěn)定區(qū)域即發(fā)生參數(shù)共振，系統(tǒng)響應(yīng)呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入非線性振動(dòng)狀態(tài)甚至破壞結(jié)構(gòu)。因此，在設(shè)計(jì)諧振式加速度計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)，應(yīng)保證所設(shè)計(jì)的參數(shù)位于系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性的區(qū)域。

4 實(shí) 驗(yàn)

為了驗(yàn)證加速度計(jì)穩(wěn)定性分析方法的可行性，依據(jù)以上穩(wěn)定性分析結(jié)論，設(shè)計(jì)取值與系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定區(qū)域的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1，同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)的加速度計(jì)進(jìn)行1g靜態(tài)翻滾實(shí)驗(yàn)。

表1 加速度計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)

由于重力加速度最容易獲得，并能精確測(cè)定其大小和方向，具有實(shí)驗(yàn)方便和結(jié)果準(zhǔn)確特點(diǎn)，是各種加速度計(jì)性能測(cè)試的主要實(shí)驗(yàn)之一。本實(shí)驗(yàn)加速度計(jì)1g翻滾實(shí)驗(yàn)的測(cè)試范圍限制在重力加速度±1g以內(nèi)。在實(shí)驗(yàn)中，將加速度計(jì)樣件固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上，保持轉(zhuǎn)臺(tái)至固定角度，加速度計(jì)處于不同角度時(shí)，測(cè)量靜態(tài)敏感重力加速度分量，由信號(hào)采集模塊進(jìn)行數(shù)據(jù)采集與處理，可得加速度計(jì)的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型及其靈敏度。

進(jìn)行加速度計(jì)翻滾實(shí)驗(yàn)時(shí)，輸入的加速度按正弦規(guī)律變化，輸出值也相應(yīng)以正弦規(guī)律變化。由于各方面原因，其輸出值為一個(gè)周期函數(shù)，不完全按正弦規(guī)律變化，如果將實(shí)際輸出的周期函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解，通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)可以換算成模型方程式的各項(xiàng)系數(shù)。

通常模型方程為

(33)

式中，U為加速度計(jì)的輸出；K0為偏值；K1為靈敏度；K2為二階非線性系數(shù)；K3為三階非線性系數(shù)。

圖4所示為加速度計(jì)1g靜態(tài)翻滾實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)。由于加工、封裝等誤差，加速度計(jì)的機(jī)械零位和電輸出零位往往有偏差。將加速度計(jì)安裝在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，分度頭主軸分別在0°和180°附近反復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)，直至找到2個(gè)位置θ0和θ0+180°，使得U(θ0)=U(θ0+180°)，將θ0的位置作為加速度計(jì)的機(jī)械零位。

圖4 加速度計(jì)1g靜態(tài)翻滾實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.4 Static rolling test in 1 g gravitational field for the accelerometer

圖5 加速度計(jì)的靈敏度測(cè)試曲線Fig.5 Detection sensitivity curve of the accelerometer

理論上，通過(guò)測(cè)量±1g的2個(gè)位置加速度計(jì)輸出值可得加速度計(jì)的線性模型。實(shí)際上，為了測(cè)量的準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便，通常會(huì)選擇特殊角度進(jìn)行多點(diǎn)法測(cè)量。本實(shí)驗(yàn)選取36個(gè)位置，即從加速度計(jì)的機(jī)械零位開(kāi)始，使其順時(shí)針單向精確地依次轉(zhuǎn)到0°，10°，20°，…，360°，每1個(gè)位置在規(guī)定時(shí)間內(nèi)記錄5個(gè)讀數(shù)，并取其平均值；然后，再逆時(shí)針單向精確地依次轉(zhuǎn)到360°，350°，340°，…，0°，同樣，每1個(gè)位置在規(guī)定時(shí)間內(nèi)記錄5個(gè)讀數(shù)，并取其平均值。為提高測(cè)量精度，測(cè)量時(shí)每個(gè)角度位置停留的時(shí)間應(yīng)相等。重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)4次，得到4次測(cè)量平均值作為輸出值，并對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可得加速度計(jì)的模型式(34)，靈敏度曲線如圖5所示。

(34)

靈敏度曲線表明，加速度計(jì)系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定，輸出特性線性化良好。設(shè)計(jì)加速度計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)，依據(jù)穩(wěn)定分析方法得到系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定參數(shù)取值范圍，有效縮小參數(shù)取值空間，避免參數(shù)取值在系統(tǒng)振動(dòng)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定的邊界處，對(duì)加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有理論指導(dǎo)意義。

5 結(jié) 論

(1) 構(gòu)建諧振式加速度計(jì)敏感結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，利用小參數(shù)攝動(dòng)法求解模型的一般近似解，為諧振梁的振動(dòng)穩(wěn)定性分析提供理論基礎(chǔ)。

(2) 針對(duì)2種典型的作用在諧振梁軸向端周期力，利用諧振梁振動(dòng)模型的近似解求解方法，得到穩(wěn)定性區(qū)間的過(guò)渡曲線。

(3) 由穩(wěn)定性分析結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)參數(shù)與穩(wěn)定區(qū)域成正比；結(jié)構(gòu)參數(shù)處于穩(wěn)定性區(qū)間時(shí)，諧振梁具有良好的振動(dòng)穩(wěn)定性；結(jié)構(gòu)參數(shù)處于不穩(wěn)定區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入非線性振動(dòng)甚至破壞結(jié)構(gòu)。

(4) 由加速度計(jì)1g靜態(tài)翻滾實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，穩(wěn)定性分析方法對(duì)加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有理論指導(dǎo)意義。