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    對一道三棱錐外接球高考題的解法探究

    2020-04-07 09:52:24江西教育傳媒集團330038周瑜芽
    中學數(shù)學研究(江西) 2020年2期
    關鍵詞:球心棱錐三棱錐

    江西教育傳媒集團 (330038) 周瑜芽

    棱錐的外接球問題,特別是三棱錐的外接球問題,是高中各類考試中的常見題型,此類題型主要考查三棱錐外接球的體積或表面積的求解.解決這類題的關鍵在于求出三棱錐外接球的半徑,即找到球心所在的位置.筆者下面以一道2019年全國高考試題為例,探究三棱錐外接球問題的解法,供大家參考.

    一、題目 (2019年高考新課標Ⅰ卷理)

    已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為().

    二、解法探究

    法1:補形法

    如果三棱錐其中一個側面與底面垂直,還原不到特殊圖形中去,可以想到利用補形成為直棱柱,利用棱柱的性質(zhì)進行解題.常見的補形方法有:正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐,可將三棱錐補形成長方體或正方體;同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐,可將三棱錐補形成長方體或正方體;若已知棱錐含有線面垂直關系,則可將棱錐補形成長方體或正方體;若三棱錐的三個側面兩兩垂直,則可將三棱錐補形成長方體或正方體.

    圖1

    解析:如圖1,設PA=PB=PC=2x,在ΔPAC中,由余弦定理知cosA=

    點評:方法1是用余弦定理求得CE的長,通過勾股定理發(fā)現(xiàn)了共頂點的三條棱相互垂直,從而構造了正方體,這樣求外接球的表面積或體積更簡捷.

    法2:截面法

    解決與球有關的“切”“接”問題,一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面,把空間問題轉化為平面問題,從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系.利用長方體、三棱錐的性質(zhì)、三棱錐底面外心或側面外心、過三棱錐的底面上一邊作對棱的截面,則可簡化運算,巧妙探索外接球球心或半徑.

    圖2

    點評:方法2主要抓住PA=PB=PC的對稱幾何特征,選擇Rt△APO1所在平面為截面進行降維處理,利用Rt△PAQ這個特殊平面圖形結合射影定理求得球的半徑R,進而求球的體積.

    三、試題鏈接

    4.(2019·湖南長沙市實驗中學高三月考)《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球的球面上,則球O的表面積為( ).

    A.8πB.12πC.20πD.24π

    (參考答案:1.D;2.B;3.C;4.C)

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