普通物理光學(xué)教學(xué)的重要脈絡(luò)
——光程差

李 多，劉大禾

（北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875）

普通物理光學(xué)教學(xué)的重要脈絡(luò)
——光程差

李 多，劉大禾

（北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875）

論述了光程和光程差在普通物理光學(xué)教學(xué)中的主要作用.通過討論和分析指出，光程和光程差是貫通整個光學(xué)教學(xué)的重要脈絡(luò).在光學(xué)教學(xué)中從始至終突出、強(qiáng)調(diào)這條脈絡(luò)是非常必要的.

光學(xué)；光程；光程差

普通物理包括5門主要課程：力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)和原子物理學(xué).其中，力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)和原子物理學(xué)都有相應(yīng)的后續(xù)理論課程，即：理論力學(xué)、電動力學(xué)、熱力學(xué)和統(tǒng)計物理以及量子力學(xué).而光學(xué)在本科教學(xué)階段卻沒有相應(yīng)的后續(xù)理論課程.盡管電動力學(xué)中涉及到一些光學(xué)現(xiàn)象［1］，但畢竟不是專門討論光學(xué)的.因此，如何在光學(xué)教學(xué)中給學(xué)生打下堅實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生掌握系統(tǒng)的光學(xué)知識就成為一個十分重要的問題.

普通物理光學(xué)教材是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的［2，3］.教學(xué)內(nèi)容更多地是對主要實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋和分析.這使得光學(xué)教材表面上看起來系統(tǒng)性不強(qiáng)，實(shí)際上，如果掌握了“光程差”這一重要脈絡(luò)，普通物理光學(xué)中的很多問題都可以迎刃而解.但就我們所了解的情況，在一些學(xué)校的光學(xué)教學(xué)中，只在干涉和衍射兩部分強(qiáng)調(diào)光程差，并未將光程差這一重要脈絡(luò)貫穿到整個光學(xué)教學(xué)中，由此造成了一些學(xué)生概念上的混亂.我們認(rèn)為在光學(xué)教學(xué)中從始至終突出、強(qiáng)調(diào)這條脈絡(luò)是非常必要的.

普通物理光學(xué)分為物理光學(xué)和幾何光學(xué)兩大部分.下面，我們分別論述.

1 物理光學(xué)

這里需要指出，物理光學(xué)教學(xué)中所講述的問題通常是兩束光或多束光傳播到同一觀察點(diǎn)（可沿同一路徑或不同路徑）時產(chǎn)生的現(xiàn)象.主要包含干涉、衍射及偏振.這幾部分內(nèi)容中，幾乎都涉及一個量---相位差.相位差由下式確定：其中，δ=nL是光程差，n為介質(zhì)折射率，L為光在介質(zhì)中傳播時所產(chǎn)生的幾何路程差.可見，解決物理光學(xué)問題時，一個非常重要的步驟就是確定光程差.

1.1 干涉

在干涉問題中，不同的干涉裝置其光程差有不同的表示式.但無論對于何種干涉裝置，最終的問題都?xì)w結(jié)為求形成亮條紋和暗條紋的條件：亮條紋為波長暗條紋為波長例如，在邁克耳孫干涉儀中，需要測量干涉條紋的移動或干涉級數(shù)的變化，相應(yīng)的光程差公式為 δ=jλ，則可通過觀察移動了多少個條紋來確定光程差的變化，從而確定干涉儀一臂長度的改變.

另外，描述時間相干性可以使用相干長度、相干時間或單色性.其中，相干長度是最常用的量.我們必須使學(xué)生清楚，在使用相干長度時，所表達(dá)的核心內(nèi)容是：我們所分析的光程差不能大于相干長度.否則，不能觀察到干涉現(xiàn)象.

1.2 衍射

在光學(xué)教學(xué)中，求衍射光強(qiáng)分布，計算光程差是關(guān)鍵.討論菲涅耳衍射問題的方法---半波帶法，就是以半個波長為單位來計算光程差，并由此進(jìn)行深入的討論.

對于夫朗禾費(fèi)單縫衍射，我們通常關(guān)心的是各級極小（特別是第一級極?。┑奈恢?這個位置由下面公式?jīng)Q定：

a為縫寬，a sin θ就是縫上下端點(diǎn)到觀察點(diǎn)的光程差.

對于衍射光柵，我們通常是關(guān)心各級極大的位置，這些位置由光柵方程決定.以正入射情況為例，光柵方程為

d為相鄰縫對應(yīng)點(diǎn)的距離，而光柵方程中的 d sin θ正是相鄰縫對應(yīng)點(diǎn)到觀察點(diǎn)的光程差.這決定了光柵的特性.

1.3 偏振

有關(guān)偏振的教學(xué)中，波片是一個極為重要的問題.其中，最常遇到的是半波片和四分之一波片.所謂半波片或四分之一波片就是o光和e光在通過雙折射介質(zhì)后產(chǎn)生的光程差是半個波長還是四分之一個波長.這個光程差由公式δ=（no-ne）l確定，式中l(wèi)為雙折射介質(zhì)的厚度.凡涉及到橢圓偏振光或圓偏振光的問題，通常都會用到四分之一波片.在現(xiàn)代光學(xué)中的重要研究領(lǐng)域非線性光學(xué)和晶體光學(xué)中大量涉及的相位匹配問題，實(shí)際就是o光和e光的光程匹配問題.

對于物理光學(xué)中另外一些相關(guān)問題，如散射，實(shí)際上也是與光程密切相關(guān)的.判斷一個散射系統(tǒng)是強(qiáng)散射還是弱散射，就是由光在這個系統(tǒng)中的平均自由程決定的.而平均自由程正是光在系統(tǒng)中的平均散射光程.

2 幾何光學(xué)

幾何光學(xué)通常是討論一束光在傳播過程中的行為.在普通物理光學(xué)教學(xué)中，幾何光學(xué)尚未涉及到光程.這是因?yàn)樵谄胀ㄎ锢砉鈱W(xué)教學(xué)中并未從波動光學(xué)出發(fā)來統(tǒng)一認(rèn)識光的各種傳播規(guī)律.而在光學(xué)的經(jīng)典理論體系中［4］，幾何光學(xué)與光程是密切相關(guān)的.在本文中，我們不做詳細(xì)的分析，只做一個簡單的論述.設(shè)介質(zhì)中的電場為

Ψ（r）為一標(biāo)量實(shí)函數(shù)，稱為程函，它是一個距離的函數(shù).利用麥克斯韋方程組可以證明，程函滿足梯度方程：

或

這就是程函方程，它是幾何光學(xué)的基本方程.而Ψ（r）=const被稱為幾何波振面.由程函方程可進(jìn)一步得到光線方程

式中，r為光線上某點(diǎn)的位置矢量，s為光線弧長.由此，我們可以得到光線軌跡，可深入討論光的折射定律、反射定律及費(fèi)馬原理，并可以進(jìn)一步討論成像過程.例如：由程函方程可以得到坡印廷矢量的時間平均值為

及

式中s是S的單位矢量，〈w〉為場的總能量密度的時間平均值，v為坡印廷矢量的速度.這表明，平均坡印廷矢量的方向與幾何波振面垂直，平均能量密度以速度v=c／n傳播，這正是光速.我們知道，幾何光學(xué)的討論以光線為基礎(chǔ)，因而要比一般波動光學(xué)簡單.這種簡單性正是基于宏觀場的微小局部行為可用平面波來描述，而平面波恰恰是波動光學(xué)中最簡單的特例.

又如，由式（7）經(jīng)推導(dǎo)可得

這是矢量形式的光線微分方程.在均勻介質(zhì)中，n=const，式（10）簡化為

因此有r=sa+b，即，在均勻介質(zhì)中，光以直線傳播.

再如，利用由波動光學(xué)導(dǎo)出的菲涅耳公式，我們可以詳細(xì)地討論反射定律、折射定律、全反射現(xiàn)象等幾何光學(xué)中的重要規(guī)律，以及反射和折射產(chǎn)生的偏振（包括布儒斯特角）.仔細(xì)地分析，就可以發(fā)現(xiàn)光程（相位）在其中的作用.菲涅耳公式是大家熟知的，這里我們不再贅述.

上面的介紹表明，光程在幾何光學(xué)中同樣起著重要作用，盡管在普通物理中尚未重點(diǎn)講授這方面的內(nèi)容.

在我校的光學(xué)教學(xué)中，曾長時間使用我校自編的教材［5］，在該教材中，首先講衍射，然后講干涉，幾何光學(xué)部分被看作是波長趨于零的極限情況而放在衍射和干涉之后講授.這是我系試圖把光程作為重要脈絡(luò)貫穿到整個光學(xué)教學(xué)中的一個嘗試.一些進(jìn)修教師在聽完全部課后，普遍反映，這樣的講法新穎，前后貫通，對光學(xué)課的整體認(rèn)識提高了.

3 舉例

根據(jù)上面的討論我們可以得出結(jié)論，只要抓住了光程差（或光程），許多看似非常復(fù)雜的問題往往可以很容易地得到解決.下面，給出一個討論復(fù)雜光柵問題的例子.

例 光柵如圖1所示.1、1′、2、2′均是寬度為 a的平面鏡，它們與A、A′面的夾角均為 γ.1、2和 2、3對應(yīng)點(diǎn)之間的間隔為b.波長為λ的單色平行光垂直于平面鏡入射，在透鏡后焦平面上觀察衍射圖樣.試求：后焦平面上任一點(diǎn)P的光強(qiáng)度，并做討論.

圖1 反射式閃躍光柵

這是一個反射式閃躍光柵的問題.由于光柵面與單縫面（反射鏡表面）不是同一個平面，使得這一問題看起來比較復(fù)雜.求解此題最簡單而有效的方法，就是從分析光程差入手.這也是對大多數(shù)光柵問題應(yīng)采用的方法.下面，我們做詳細(xì)的分析.

光柵的強(qiáng)度分布公式為只要能找出α和β，光柵的特性就迎刃而解.

首先分析單縫衍射因子α.由圖2（a）看出，對于每一個平面鏡（等效單縫），光是正入射，入射光的光程差為零.衍射角即為衍射光線與入射光線（即單縫法線）的夾角為φ，單縫兩端衍射光所對應(yīng)的光程差為Δ=a sin φ，所以

其次，再分析干涉因子 β.由圖2（b）看出，對于光柵來說，光線是斜入射，入射角為 γ，衍射角為衍射光線與光柵法線的夾角θ，由于是斜入射，相鄰縫對應(yīng)點(diǎn)入射光的光程差為 Δ′1=b sin γ，相鄰縫對應(yīng)點(diǎn)出射光的光程差為 Δ′2=b sin θ，衍射光和入射光在法線同側(cè)，故總的光程差為

圖2 光在等效單縫和光柵上的衍射

所以

則

由圖可見，φ=θ-γ，所以

根據(jù)這個公式我們作如下討論.

1）單縫衍射中央極大的角位置：要求α=0，即

現(xiàn)在入射角為 0，所以 φ=0，就是說在垂直于單縫（平面鏡）平面的方向上得到衍射最大.

2）光柵衍射的譜線（干涉主極大）的角位置.

0級主極大，要求β=0，即

所以θ=-γ.我們發(fā)現(xiàn)，單縫衍射中央極大與光柵衍射的0級譜線不重合.在單縫衍射中中央極大的角位置上，即θ=γ處，對應(yīng)的光柵衍射（干涉）主極大的條件為

即高級譜線與單縫衍射0級重合.我們知道單縫衍射的能量絕大部分集中在0級，而光柵衍射級數(shù)越高，分辨本領(lǐng)越大，一般透射式光柵的高級衍射譜雖然分辨本領(lǐng)較大，但能量極小.而閃耀光柵把單縫0級的高能量轉(zhuǎn)移到有較大分辨本領(lǐng)的高級衍射光譜上，這對譜線的測量帶來了很大的方便.

由公式2b sin γ=Pλ，角度γ稱為閃耀光柵的閃耀角，滿足此式的波長 λB稱為閃耀波長.例如對600線／mm的光柵，若 γ=9.5°，則 λB=546.1 nm，如果在第一級（P=1）閃耀波長為λB，則在第二級和第三級的閃耀波長分別為λB／2和λB／3.

由上例我們看到，抓住了光程差這一關(guān)鍵，這個看似復(fù)雜的題，只要思路清晰，解決起來并不困難.

［1］ 郭碩鴻.電動力學(xué)［M］.3版.北京：高等教育社出版，2009.

［2］ 趙凱華，鐘錫華.光學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2004.

［3］ 郭永康.光學(xué)［M］.2版.北京：高等教育社出版，2012.

［4］ 玻恩，沃爾夫.光學(xué)原理［M］.7版.北京：電子工業(yè)出版社，2009.

［5］ 張阜權(quán)，唐衛(wèi)國，孫榮山.光學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1985.

第十六屆全國電動力學(xué)研討會會訊

經(jīng)教育部高等學(xué)校物理學(xué)類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會同意，由全國電動力學(xué)研究會主辦、衡陽師范學(xué)院承辦的第十六屆全國電動力學(xué)研討會于2016年8月15-18日在衡陽召開，共有來自北大等35所高校的53名代表參加了會議.會議圍繞電動力學(xué)課程的教學(xué)理念、教學(xué)手段與方法、教學(xué)內(nèi)容選擇、教材建設(shè)以及與高中物理的教學(xué)聯(lián)系等方面的改革與研究進(jìn)行了研討，中科院張肇西院士等15位老師做了大會報告.大會同時為教育部高等學(xué)校物理學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會電動力學(xué)教學(xué)改革項目的申報組織了答辯和評審，確定了15個項目給予立項資助.

會議期間召開了全國電動力學(xué)研究會的理事會議，研究決定了如下議題：1）增選理事時將以書面文本形式通知候選成員所在單位，結(jié)合單位推薦意見和理事會工作需要來決定；2）討論并確定第十七屆全國電動力學(xué)研討會將于2018年8月中下旬在蘇州召開，由蘇州大學(xué)高雷教授負(fù)責(zé)會議籌備工作；3）決定于2017年8月中下旬在湖北黃石召開理事會工作會議，由湖北師范學(xué)院劉堂昆教授負(fù)責(zé)籌備工作；4）探討了電動力學(xué)研究會今后的工作重點(diǎn)，重申了本研究會宗旨是通過大會研討等形式為促進(jìn)全國電動力學(xué)課程與教學(xué)研究、切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量做好服務(wù)和支持工作.在鄭漢青理事長的提議下，理事會一致認(rèn)為，鼓勵、協(xié)調(diào)適合不同學(xué)校及專業(yè)特點(diǎn)的教材和教學(xué)案例開發(fā)及共享應(yīng)成為今后研究會的重點(diǎn)工作之一.

本次大會的成功召開，得到了衡陽師范學(xué)院和高等教育出版社的大力支持和贊助.會議全體代表對衡陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院為大會所做的精心籌備及周到細(xì)致的服務(wù)工作表示衷心的感謝.

（北京工業(yè)大學(xué) 曾定方）

The main channel in the course teaching of optics---Path difference

LI Duo，LIU Da-he
（Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The important significance of the path and path difference in course teaching of optics is discussed.Through analysis and discussion，it is pointed out that the path difference is the main channel for teaching optics.To address this main channel from the beginning to the end in teaching optics is very important and necessary.

optics；path；path difference

O 435；O436

A

1000-0712（2016）11-0005-04

2015-09-28；

2016-01-14

李多（1972-），女，黑龍江伊春人，北京師范大學(xué)物理系高級實(shí)驗(yàn)師，碩士，主要從事普通物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)和研究工作.