一種地面用靜電懸浮加速度計的誤差分析及仿真

賀曉霞，李嬌嬌，李海霞，韓豐田，劉云峰

(清華大學(xué)精密儀器系導(dǎo)航技術(shù)工程中心，北京 100084)

靜電懸浮加速度計是一種利用靜電力實現(xiàn)多自由度支承、進(jìn)行加速度檢測的慣性儀表。目前靜電加速度計廣泛應(yīng)用于低過載環(huán)境，常用于星載微重力測量[2]、空間基礎(chǔ)物理實驗等領(lǐng)域，如等效實驗的驗證[2-4]，引力波的探測[5]等。尋求小型化、低成本的面向?？罩亓y量的高精度靜電懸浮加速度計方案，是提升我國慣性導(dǎo)航系統(tǒng)、重力測量系統(tǒng)整體精度的重要途徑。法國 ONERA 研發(fā)第一代加速度計CACTUS，敏感質(zhì)量塊采用鉑銠合金制成球狀體，由于球的幾何形狀以及電極缺陷導(dǎo)致該加速度計的精度并不高。后續(xù)陸續(xù)研制ASTRE、STAR、Super-Star和GRADIO 系列加速度計，均采用長方體結(jié)構(gòu)敏感質(zhì)量塊，實現(xiàn)了六自由度加速度的測量但降低了量程[6]。美國研制的MESA 加速度計進(jìn)行了敏感探頭從圓筒型到立方體的改進(jìn)，主要面向空間微加速度測量[7]；蘭州物理所從2000年左右開始靜電加速度計相關(guān)研究，主要用于重力測量衛(wèi)星的無拖曳控制、重力梯度衛(wèi)星[8]；華中科技大學(xué)已研制了空間加速度計樣機(jī)，并開展了空間搭載實驗及基礎(chǔ)物理實驗[9]。國內(nèi)其它研究單位也對空間靜電加速度計開展過一些理論研究和設(shè)計分析，比如清華大學(xué)[10]，中國空間技術(shù)研究院[11]，南昌航空大學(xué)[12]等。

本文提出了一種適合地面應(yīng)用環(huán)境的高精度三軸靜電加速度計方案，該加速度計方案中，中心固定有一薄法蘭盤的空心薄壁圓筒敏感質(zhì)量，圓筒內(nèi)外側(cè)與法蘭盤兩側(cè)布置檢測和加力電極。本文對此敏感質(zhì)量存在加工中的典型誤差時如圓盤上下表面平行度誤差、圓盤與圓柱垂直度誤差進(jìn)行了位移測量誤差、力耦合誤差的分析，為設(shè)計和后續(xù)建模提供依據(jù)。本文基于MATLAB/Simulink，建立了一套三軸靜電懸浮加速度計控制系統(tǒng)仿真模型，設(shè)計了加速度計的控制參數(shù)，并比較分別采用盤面電極與柱面電極作為敏感質(zhì)量位移與姿態(tài)檢測的測量電極時，典型誤差源對加速度計標(biāo)度因數(shù)的影響程度。

1 靜電懸浮加速度計的結(jié)構(gòu)

靜電懸浮加速度計主要包括五個部分：敏感質(zhì)量與電極板結(jié)構(gòu)、電容檢測電路、濾波解調(diào)電路、數(shù)字控制電路以及高壓放大加力電路。加速度計是一種閉環(huán)力平衡型加速度計，其一個軸的工作原理如圖1 所示。

圖1 單自由度加速度計系統(tǒng)組成示意圖Fig.1 System composition diagram of single degree of freedom accelerometer

系統(tǒng)的核心部件是敏感質(zhì)量與電極板結(jié)構(gòu)部分。中心的正方形代表敏感質(zhì)量，兩塊電極板位于敏感質(zhì)量的上下兩端。當(dāng)外界沒有加速度輸入時，敏感質(zhì)量利用由上下極板提供的靜電力懸浮于系統(tǒng)的零點位置（圖中虛線處），其標(biāo)稱間隙為d0。

當(dāng)外界的加速度發(fā)生變化，由于慣性力的影響，敏感質(zhì)量與兩側(cè)極板的間隙發(fā)生變化，產(chǎn)生位移x，間隙電容（C1,C2）發(fā)生變化產(chǎn)生差值，經(jīng)由電容檢測電路轉(zhuǎn)化為與UM同頻的高頻信號Ud。隨后經(jīng)過濾波和解調(diào)電路，產(chǎn)生能夠表征位移變化的信號UDEM。通過控制算法，輸出控制信號Uc至高壓加力放大電路中，生成高壓控制信號Ub。Ub通過電極板調(diào)整靜電力的大小，將敏感質(zhì)量塊拉回平衡位置。此時反饋信號產(chǎn)生的靜電力與慣性力相等，其大小和極性即可表征所測量的加速度輸入的數(shù)值和方向。

1.1 大表面積質(zhì)量比的敏感質(zhì)量及電極結(jié)構(gòu)

地面用靜電懸浮加速度計的瓶頸問題為所需支承電壓高，同時獲得大過載能力和高精度較困難，因此最大限度地提高敏感質(zhì)量的表面積質(zhì)量比，將有助于減小支承電壓幅值，從而折衷過載能力與精度的矛盾。因此設(shè)計了如圖2 所示的中心固定有一薄法蘭盤的空心薄壁圓筒的敏感質(zhì)量，兼具加工工藝簡單及表面積質(zhì)量比較大的特點。電極結(jié)構(gòu)如圖3 所示，圓筒內(nèi)外側(cè)與法蘭盤兩側(cè)布置檢測和加力電極。

圖2 敏感質(zhì)量結(jié)構(gòu)Fig.2 The test mass structure

圖3 圓盤方向和外圓柱方向的電極結(jié)構(gòu)Fig.3 Electrode structure in the direction of disk and outer cylinder

表1 敏感質(zhì)量結(jié)構(gòu)參數(shù)最終設(shè)計值Tab.1 Final design value of structural parameters of the test mass

敏感質(zhì)量結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1、表2 所示。設(shè)計的間隙為圓盤方向30 μm，圓柱方向40 μm，盤面方向1g重力場中無支承墊情況下所需最大支承電壓有效值為150 V，正常工作狀態(tài)下抗過載能力的理論值為4g。

表2 電極面積及電容設(shè)計值Tab.2 Electrode area and capacitance design value

1.2 電容檢測電極分配方案

由于敏感質(zhì)量繞Z 軸是幾何對稱的，因此，設(shè)計方案中不對繞Z 軸的旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行位移測量和控制。其它5 自由度的位移和姿態(tài)檢測有兩種方案，第一種是5 自由度均采用盤面電容進(jìn)行檢測；第二種是盤面電容用于Z 方向檢測、柱面電容用于其它4 個自由度檢測。

具體來說，第一種方法的Z 方向位移使用變間隙式C1和C1′差動電容；X 方向位移使用變面積式的（C6//C′6）和（C8//C′8）差動電容，Y 方向位移使用變面積式的（C7//C′7）和（C9//C′9）差動電容，沿Y 軸旋轉(zhuǎn) 自由度θ方向位移使用變間隙式（C2//C′4）和（C4//C′2）差動電容，沿X 軸旋轉(zhuǎn)自由度φ方向位移使用變間隙式 (C3//C5′)和 (C5//C3′)差動電容。

第二種方法Z 方向位移采用上下盤面的差動電容，X、Y、θ、φ方向利用該方向內(nèi)外圓柱電極的全部4 個柱面差動電容。

為最大限度地降低支承所需電壓，選取的加力電極方案為：每一軸的平動都利用該方向的全部4 通道的電極，轉(zhuǎn)動自由度利用面積乘以力臂最大的方案，即利用圓柱面上的對應(yīng)電極。兩種位移測量方法的各自由度的電極分配匯總見表3 所示。

表3 各自由度的電極分配Tab.3 Distribution of electrodes per degree of freedom

方案1 可復(fù)用于電容檢測高頻激勵信號的注入電極包括柱面電極和部分盤面電容，位移檢測電路激勵信號較大，但由于位移測量所用電極面積較小，位移測量電路靈敏度降低；方案2 可利用盤面電極C2～C9作為高頻檢測信號的注入電極，位移檢測電路激勵信號較小，但位移測量所用電極面積較大，易獲得較高的位移測量電路靈敏度。選擇這兩種方案中的哪一種，除了要考慮上述工程特點外，還取決于這兩種方案對應(yīng)的加速度計標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性、零位穩(wěn)定性對誤差源的敏感度，下面，對敏感探頭典型誤差源進(jìn)行分析。

2 敏感質(zhì)量誤差對加速度計性能影響分析

敏感質(zhì)量圓盤上下表面平行度誤差、圓盤與圓柱的垂直度誤差是敏感探頭加工中的典型誤差，會帶來位移測量誤差、力耦合誤差，從而影響加速度計的性能，下面逐一進(jìn)行分析。

2.1 敏感質(zhì)量圓盤上下表面平行度誤差

下面給出敏感質(zhì)量圓盤上下表面有平行度誤差δ時，在敏感質(zhì)量不同的位移情況下對各自由度位移測量的影響。

（1）敏感質(zhì)量圓盤上下表面平行度誤差

圖4 敏感質(zhì)量圓盤上下表面不平行示意圖Fig.4 Schematic diagram of non parallel upper and lower surfaces of the test mass disk

不失一般性，假定敏感質(zhì)量盤面的上表面與定電極平行，下表面與定電極之間最大不平行角度為δ，如圖4 所示。敏感質(zhì)量在Z 軸方向發(fā)生小量平移時，由于Z 自由度位移敏感電極是一個整圓周，因此不平行度不對電容差產(chǎn)生影響，電容差表達(dá)式仍為：

其中ε0為真空介電常數(shù)，ε0≈ 8.85 ×10-12F /m；εr間隙介質(zhì)的相對介電常數(shù)，真空下εr≈ 1；A1為C1電極板的有效面積。

（2）對XY 自由度測量的影響

圖5 是敏感質(zhì)量圓盤上下表面不平行時計算變面積位移測量示意圖。

圖5 敏感質(zhì)量圓盤上下表面不平行時計算變面積位移測量示意圖Fig.5 Schematic diagram of calculating variable area displacement measurement when the upper and lower surfaces of the test mass disk are not parallel

如圖5 所示情況下，上極板的電容值不變，下極板的電容值會變化。

此時下極板的電容表達(dá)式為：

其中，

ρ1（φ） =，ρ2（φ） =R5；R5，R6分別為圓盤外環(huán)電極內(nèi)半徑、外半徑；φp為外環(huán)電極的弧度角；β為不平行度δ相對于X 軸的偏移角，如圖6 所示。

圖6 變面積位移測量示意圖Fig.6 Schematic diagram of variable area displacement measurement

（3）對 ,θ φ 自由度測量的影響

當(dāng)表面不平行的敏感質(zhì)量沿X 軸順時針旋轉(zhuǎn)角度φ，同時沿Y 軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ時，下電極板的電容為：

其中，κ′(α) =φsinα- (δ+θ)cosα；R3，R4分別為圓盤中環(huán)電極內(nèi)半徑、外半徑，R3≤r≤R4；α為中環(huán)電極的弧度角。

積分后并與電極板C2的電容求差可得不平行度δ對電容變化的影響為：

可見差動電容與cosβ相關(guān)，即隨敏感質(zhì)量圓周方向的位置不同而變化。

（4）對Z 方向靜電力的影響

圖7 是敏感質(zhì)量圓盤不平行時的Z 方向受靜電力示意圖。

圖7 敏感質(zhì)量圓盤上下表面不平行時受力圖Fig.7 Force diagram of the test mass disk when its upper and lower surfaces are not parallel

根據(jù)靜電力公式：

其中，

式中Vr為預(yù)載電壓的幅值，Vb為控制電壓的幅值，通常Vr≥Vb；Um為檢測信號，ω為檢測信號的頻率；U1、為C1電極在Z 自由度的控制電壓；U2、為C2～5電極在Z 自由度的控制電壓；A2為C2～5電極板的有效面積。

可得敏感質(zhì)量受到的所有上極板的合靜電力和下極板的合靜電力均為：

但下極板的合靜電力沿X、Y 方向具有分力，分別為：

可見，不平行度對Z 方向的加力的幅值沒有影響，但由于圓盤不平行，此力的方向并不是沿Z 方向，而是同時有沿盤面法線方向在電極坐標(biāo)X、Y 平面內(nèi)投影方向的分力。因此，盤面不平行時，對Z 方向的加力影響為：對X、Y 方向產(chǎn)生力耦合誤差，此力耦合誤差隨著敏感質(zhì)量旋轉(zhuǎn)而改變。

2.2 圓盤與圓柱垂直度誤差

當(dāng)敏感質(zhì)量圓盤與圓柱有垂直度誤差ε并位移x時，會影響圓柱電極與敏感質(zhì)量之間的電容和力。以其中一塊電極板為例，計算得到間隙電容變?yōu)椋?/p>

其中Ri為圓柱內(nèi)電極的半徑；Rj為圓柱外電極的半徑；L為電極板的長度；ρ為敏感質(zhì)量位移x后的解析表達(dá)式：

式(8)進(jìn)行積分、泰勒級數(shù)展開可得：

分別計算其余七塊電極板的間隙電容可得：

式中d0為敏感質(zhì)量與圓柱內(nèi)電極的間隙；為敏感質(zhì)量與圓柱外電極的間隙?？梢?，垂直度誤差ε對電容變化不產(chǎn)生影響。

對力耦合的影響分析：

圖8 是敏感質(zhì)量圓盤與圓柱有垂直度誤差ε時敏感質(zhì)量所受靜電力示意圖。

圖8 敏感質(zhì)量圓盤與圓柱有垂直度誤差時受力圖Fig.8 Force diagram of the test mass disk and cylinder with perpendicularity error

經(jīng)過計算，得到敏感質(zhì)量受到的合力為：

其中，

式中Ai、Aj分別為圓柱內(nèi)外電極的面積；Ui1n、Uout1分別為圓柱內(nèi)外電極的控制電壓。

則合力可寫為：

可見垂直度誤差對加力幅值不會產(chǎn)生影響，卻會帶來沿Z 方向的力耦合分量。但在垂直度誤差不大的條件下，可通過調(diào)節(jié)位移測量零位使得圓柱相對于柱面電極平行，使得垂直度誤差帶來的力耦合影響降到最低。

綜上，典型誤差源對加速度計的影響為：當(dāng)敏感質(zhì)量圓盤上下表面有平行度誤差時，對Z 方向的電容測量不產(chǎn)生影響；當(dāng)采用方法1 的位移測量方案時，對X、Y、θ、φ自由度位移測量均有影響，且影響大小隨敏感質(zhì)量繞圓柱軸線的旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)；對X、Y 方向產(chǎn)生力耦合誤差，此力耦合誤差隨著敏感質(zhì)量旋轉(zhuǎn)而改變。

當(dāng)敏感質(zhì)量圓盤與圓柱有垂直度誤差時，會產(chǎn)生沿Z 敏感軸方向的力耦合，但可通過調(diào)節(jié)位移測量零位使得垂直度誤差對力耦合影響降到最低。

因此，敏感質(zhì)量加工時應(yīng)提高盤面平行度、盤面與柱面垂直度的制造精度。

3 靜電支承回路仿真設(shè)計

為更好的對比兩種方案對加速度計性能的影響，設(shè)計了一套控制系統(tǒng)仿真軟件。首先，在無誤差情況下，設(shè)計了控制系統(tǒng)PID 參數(shù)，其次，引入誤差后仿真各誤差源對加速度計標(biāo)度因數(shù)、零位的影響。

3.1 控制器模型

以Z 方向為例，整體的控制系統(tǒng)框圖如圖9 所示。

圖9 支承控制系統(tǒng)整體框圖Fig.9 Overall block diagram of support control system

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

系統(tǒng)剛度的表達(dá)式為

設(shè)計時，首先根據(jù)表4 計算各自由度靜電加力系數(shù)。根據(jù)表5 計算各自由度靜電負(fù)剛度，然后根據(jù)支承系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)計PID 控制器，使PID 控制器的參數(shù)兼顧動態(tài)與靜態(tài)性能指標(biāo)要求，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性及具有足夠的剛度。

表4 靜電加力系數(shù)表達(dá)式Tab.4 The expression of electrostatic applied force coefficient

表5 靜電負(fù)剛度表達(dá)式Tab.5 Electrostatic negative stiffness expression

根據(jù)表4、5 及結(jié)構(gòu)參數(shù)，計算得到Z 自由度的參數(shù)如表6 所示。

表6 系統(tǒng)參數(shù)Tab.6 System parameter

控制采用PID 控制器，硬件條件為：位移檢測電路帶寬為20 kHz，高壓放大電路帶寬10 kHz，數(shù)字控制器采樣周期和運行時間延遲分別為50 μs 和25 μs，以此構(gòu)建其滯后環(huán)節(jié)模型。控制電壓輸出范圍±5 V，放大倍數(shù)Kb為100。所設(shè)計的控制器為：

Kctrl=300,T1=1/0.85,T2=1/500,T3=1/700,T4=1/30000。

仿真所得回路主要性能參數(shù)如表7 所示?？梢钥吹?，開環(huán)相位裕量在47.1 °，具有穩(wěn)定性保證，支承剛度是固有負(fù)剛度的2.74 倍。

表7 各回路主要性能參數(shù)Tab.7 Main performance parameters of each circuit

3.2 閉環(huán)控制回路的Simulink 模型

根據(jù)加速度計工作原理和誤差源對位移測量和加力的影響，建立了如圖10 所示的Simulink 仿真模型。其工作流程如圖11 所示。

圖10 閉環(huán)控制的Simulink 建模流程Fig.10 Simulink modeling process of closed loop control

圖11 閉環(huán)控制的Simulink 模型Fig.11 Simulink model of closed loop control

在無誤差源的情況下，從1g重力場下起支到Z自由度方向上階躍輸入，θ、φ自由度方向上階躍輸入為時，兩種檢測方案的敏感質(zhì)量Z 自由度位置與反饋電壓變化仿真結(jié)果，如圖12-13所示。

圖12 理想狀態(tài)下敏感質(zhì)量位置與反饋電壓變化Fig.12 Position of sensitive mass and change of feedback voltage in ideal state

圖13 理想狀態(tài)下反饋電壓變化Fig.13 Feedback voltage change in ideal state

在不考慮檢測電路噪聲的情況下，當(dāng)控制達(dá)到穩(wěn)定時，穩(wěn)態(tài)誤差為 1.7 ×10-17m，說明控制器能夠滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性的要求。

4 典型誤差源下不同測試方案的仿真

針對盤面電極和柱面電極兩種位移姿態(tài)檢測方案進(jìn)行了仿真。

對敏感質(zhì)量圓盤不平行角度誤差δ=0.01°，圓盤與圓柱無垂直度誤差情況、圓盤與圓柱垂直角度誤差ε= 0.01°，圓盤無不平行度誤差兩種情況分別進(jìn)行仿真，Z 自由度方向上的輸入從-1g到1g，分別計算存在誤差源時兩種測量方案下的標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性，結(jié)果如圖14-16 所示。

圖14 δ= 0.01 °, ε = 0°盤面電極測量方案標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性Fig.14 δ= 0.01 °, ε = 0°Stability of scale factor of disk electrode measurement scheme

圖15 δ= 0.01 °, ε = 0°柱面電極測量方案標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性Fig.15 δ= 0.01 °, ε = 0°Stability of scale factor of cylindrical electrode measurement scheme

圖16 δ= 0 °, ε = 0.01°盤面電極測量方案標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性Fig.16 δ= 0 °, ε = 0.01°Stability of scale factor of disk electrode measurement scheme

圖17 δ= 0 °, ε = 0.01°柱面電極測量方案標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性Fig.17 δ= 0 °, ε = 0.01°Stability of scale factor of cylindrical electrode measurement scheme

可見存在敏感質(zhì)量圓盤不平行度誤差δ時，采用柱面電容檢測方案可獲得更優(yōu)良的標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性，標(biāo)度穩(wěn)定性可達(dá)10-9V/g量級，比采用盤面電極提高了一個數(shù)量級。存在圓柱垂直度誤差ε時，同時可通過調(diào)節(jié)位移測量零位使垂直度產(chǎn)生的影響降到最低，獲得更優(yōu)良的標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性。綜上所述，在工程中選擇柱面電極作為敏感質(zhì)量位移與姿態(tài)檢測的測量電極。

5 結(jié) 論

本文針對加速度計地面應(yīng)用的迫切需求，提出了一種適合地面應(yīng)用環(huán)境的高精度三軸靜電加速度計方案，并基于MATLAB/Simulink，建立了一套三軸靜電懸浮加速度計控制系統(tǒng)仿真模型，比較了分別采用盤面電極與柱面電極作為敏感質(zhì)量位移與姿態(tài)檢測的測量電極時，典型誤差源對加速度計標(biāo)度因數(shù)的影響程度。仿真結(jié)果表明，采用柱面電極用于位移測量，可獲得更優(yōu)良的標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性，因此在工程中選擇柱面電極作為敏感質(zhì)量位移與姿態(tài)檢測的測量電極。

未來的工作中將開展靜電懸浮加速度計的地面試驗研究和性能評估。