高效2 n 并行快速FIR 算法及其實(shí)現(xiàn)方法

胡劍浩，曾維棋，費(fèi) 超，陳杰男

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 611731)

FIR 又稱為非遞歸型濾波器，是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中最基本的模塊之一。FIR 濾波器在通信、雷達(dá)、圖像、模式識(shí)別等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。某些應(yīng)用領(lǐng)域如光通信、5G 通信系統(tǒng)、高速遙感衛(wèi)星接收機(jī)等，對(duì)濾波器的速率要求越來(lái)越高，而移動(dòng)設(shè)備、手持終端等領(lǐng)域?qū)υO(shè)備的功耗有著嚴(yán)格的要求[3]。

文獻(xiàn)[3]的研究表明，并行技術(shù)可以提高濾波器的信息吞吐率，同時(shí)降低設(shè)備功耗。然而傳統(tǒng)的并行處理方式會(huì)使硬件復(fù)雜度隨并行度線性增加，并行濾波器的硬件效率并沒(méi)有得到改善，難以支持高并行度的應(yīng)用。FFA 能打破傳統(tǒng)并行方式的這種局限性[3-6]，可僅用約2L?1 個(gè)N/L 抽頭的子濾波器實(shí)現(xiàn)L 并行N 抽頭的FIR 濾波器[3]。文獻(xiàn)[7]提出了基于FFA 的2 和4 并行FIR 濾波器的理論形式與結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[8]介紹了基于FFA 的8 并行FIR 濾波器，文獻(xiàn)[9]改進(jìn)了基于FFA 的3 并行FIR 濾波器，文獻(xiàn)[10]給出了基于FFA 的16 并行FIR 濾波器的ASIC 實(shí)現(xiàn)方式。然而，目前的研究工作沒(méi)有給出基于FFA 的2n并行FIR 濾波器的通用算法。

此外，在高速FIR 濾波器或?yàn)V波器組濾波等應(yīng)用場(chǎng)合[11-12]，對(duì)FIR 濾波器并行度的要求達(dá)到了160 并行甚至更高。目前基于FFA 的算法沒(méi)有提出針對(duì)高并行濾波器的設(shè)計(jì)架構(gòu)，很多工程實(shí)踐仍然采用傳統(tǒng)并行FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)方式，造成了很大的硬件資源浪費(fèi)。

對(duì)此，本文根據(jù)已有的基于FFA 的2、4、8 并行FIR 濾波器的理論形式，提出了通用的2n并行FFA，并給出了其相應(yīng)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步給出了160 并行FFA 的實(shí)現(xiàn)架構(gòu)。通過(guò)硬件復(fù)雜度評(píng)估和算法分析，本文提出的算法和實(shí)現(xiàn)架構(gòu)，可以滿足高并行度FIR 的設(shè)計(jì)要求，并且算法復(fù)雜度和硬件效率較傳統(tǒng)方法有顯著改善。

1 基于FFA 的2、4 與8 并行FIR 濾波器

文獻(xiàn)[8]已經(jīng)推導(dǎo)出了基于FFA 的2、4 與8 并行FIR 濾波器的理論形式。本節(jié)主要對(duì)上述理論形式進(jìn)行整理，方便后面進(jìn)行推導(dǎo)和分析。

1.1 基于FFA 的2 并行FIR 濾波器

式中的濾波器輸入為：

式中，X0和X1分別是輸入序列{x(2k)}與{x(2k+1)}的z 變換，對(duì)于更高并行度情況亦類似。濾波器輸出為：

同樣，Y0和Y1分別是輸出序列{y(2k)}與{y(2k+1)}的z 變換。預(yù)加矩陣為：

2.稅收可以促進(jìn)企業(yè)盈利。一方面,企業(yè)為了增加雙贏,一方面是強(qiáng)大企業(yè)的生產(chǎn)能力,一方面為企業(yè)增加收入,另一方面,減少費(fèi)用支出和稅收,如果他能夠完成稅收策劃和削減稅收,這將有助于保證企業(yè)盈利。

但由于算例4增加了電動(dòng)汽車的數(shù)量,意味著可移動(dòng)的儲(chǔ)能容量增加,電動(dòng)汽車的可調(diào)功率也會(huì)增大,如圖14所示。由圖14可以看出,電動(dòng)汽車的調(diào)制功率在-1 500～2 000 kW之間,比算例2的可調(diào)功率要大。

濾波器系數(shù)矩陣為：

H0和H1分別是濾波器系數(shù)序列{h(2k)}與{h(2k+1)}的z 變換。后級(jí)加法及延時(shí)矩陣為：

1.2 基于快速FIR 算法的4 并行FIR 濾波器

基于FFA 的4 并行FIR 濾波器的算法形式為：

我的畫院：畫院坐落在美麗的地方，有很多美麗的故事。如果想到其與宋代有著各種聯(lián)系，立刻讓人感到渺小，又讓人振奮，力爭(zhēng)創(chuàng)作出美麗的畫，以不負(fù)各方。

式中的濾波器輸入為：

輸出為：

預(yù)加矩陣：

本文采用市售橡木桶對(duì)實(shí)驗(yàn)室制備的獼猴桃果酒進(jìn)行了貯藏研究，隨著貯藏時(shí)間的延長(zhǎng)，電導(dǎo)率、色度和色調(diào)等指標(biāo)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，而溶解氧、游離二氧化硫、總酚和高級(jí)醇等物質(zhì)均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，經(jīng)過(guò)橡木桶貯藏后的獼猴桃果酒其感官得分明顯提高。在獼猴桃果酒貯藏過(guò)程中，物理、化學(xué)和感官的變化與樣品初始溶解氧含量及橡木桶質(zhì)量有關(guān)，后續(xù)將對(duì)不同貯藏裝置及不同貯藏條件對(duì)獼猴桃果酒的影響做進(jìn)一步研究。

后級(jí)加法及延時(shí)矩陣：

濾波系數(shù)矩陣：

1.3 基于FFA 的8 并行FIR 濾波器

基于FFA 的8 并行FIR 濾波器的算法形式為：

式中的濾波器輸入為：

輸出為：

預(yù)加矩陣：

在堅(jiān)持黨的領(lǐng)導(dǎo)這個(gè)重大原則問(wèn)題上，很重要的是要引導(dǎo)人們正確認(rèn)識(shí)和把握黨的領(lǐng)導(dǎo)、依法治國(guó)、人民當(dāng)家作主這三者之間的關(guān)系。在這個(gè)問(wèn)題上，還存在一定的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。有的把堅(jiān)持黨的領(lǐng)導(dǎo)同人民當(dāng)家作主、依法治國(guó)對(duì)立起來(lái)，甚至用人民當(dāng)家作主、依法治國(guó)來(lái)動(dòng)搖和否定黨的領(lǐng)導(dǎo)。這些在思想上是錯(cuò)誤的、在政治上是十分危險(xiǎn)的。

濾波系數(shù)矩陣：

后級(jí)加法及延時(shí)矩陣：

本文簡(jiǎn)單對(duì)鋼混凝土疊合梁模板支架的施工技術(shù)進(jìn)行了考察。經(jīng)過(guò)實(shí)踐證明，采用自承式懸挑支架體系來(lái)開(kāi)展混凝土模板的搭建最為契合鋼結(jié)構(gòu)本身的特性，因此其結(jié)構(gòu)安全性最好，施工效率較高且外部感觀亦相對(duì)完整，是實(shí)現(xiàn)鋼混凝土疊合梁模板支架施工的良好途徑。

式中，

試驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)浮選金精礦粗磨浸出—鉛硫浮選分離—硫精礦再磨浸出工藝，可獲得合格鉛精礦，鉛回收率73.00%，鉛精礦中含金、銀分別為97.40 g/t、467 g/t，作業(yè)回收率分別是8.03%、13.47%，可隨鉛精礦計(jì)價(jià)銷售。該方案金、銀總回收率為92.74%、86.92%，相較于方案一，金、銀總回收率稍高，且鉛精礦中金銀的回收率大幅降低，可減少計(jì)價(jià)系數(shù)導(dǎo)致的產(chǎn)值降低。該方案在技術(shù)上也是可行的。

2 基于FFA 的2 n 并行FIR 濾波器算法

基于FFA 的2、4、8 并行FIR 濾波器的算法形式，推導(dǎo)出2n并行算法，并設(shè)計(jì)了基于FFA的2n并行與非2n并行的FIR 濾波器整體結(jié)構(gòu)。

2.1 算法設(shè)計(jì)

2.2.1 基于FFA 的2n并行FIR 實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

由式(2)→式(9)→式(17)可歸納其輸入：

根據(jù)2.1 節(jié)中的算法形式，對(duì)基于FFA 的2n并行FIR 濾波器架構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

對(duì)于預(yù)加矩陣，由式(4) →式(11)→式(19)推知：

對(duì)于濾波系數(shù)矩陣，由式(5)→式(12)→式(20)推知：

由式(6)→式(13)→式(21)推知：

對(duì)于后級(jí)加法及延時(shí)矩陣，由式(7)→式(14)→式(22)推知：

由式(7)→式(15)→式(23)可歸納得：

他用手上的刀絲掛住崖邊的樹(shù)木山石緩沖，因?yàn)橄侣涞乃俣忍?，第一次掛住東西的時(shí)候，拉斷了一條手臂，然后刀絲太過(guò)鋒利，斬?cái)嗔藰?shù)枝，第二次出手的時(shí)候，拉斷了他另外一條手臂，最后能看到崖底了，只有一條腿還是完整的，可掉下去的時(shí)候還是摔斷了……

式中，Ak滿足：

所歸納的式(24)～式(32)即為基于FFA 的通用2n并行FIR 濾波器的算法形式。分析式(24)～式(32)可以看出，2n并行FIR 算法保持了原FIR 濾波器的傳遞函數(shù)，因此該算法具有與原FIR 濾波器的信號(hào)處理性能。

2.2 基于FFA 的2 n 并行FIR 濾波結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

由式(1)→式(8)→式(16)，可歸納得到2n并行的理論形式為：

由式(3)→式(10)→式(18)，歸納得輸出為：

基于FFA 的2 并行FIR 濾波器的算法形式：

2.2.2 基于FFA 的非2n并行FIR 實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)

對(duì)于非2n并行的FFA，可以用較低并行度的基于FFA 的并行FIR 濾波器組設(shè)計(jì)高并行度濾波器，本文設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了基于FFA 的160 并行FIR濾波器。由于1 60 =20×8，因此可以用20 個(gè)基于FFA的8 并行FIR 濾波器組構(gòu)建基于FFA 的160 并行FIR 濾波器。其設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

3 硬件復(fù)雜度及算法性能分析

3.1 硬件復(fù)雜度分析

設(shè)計(jì)一個(gè)L 并行N?1 階的FIR 濾波器，若多相濾波方式，需要NL 個(gè)乘法器及 (N?1)L 個(gè)加法器。

2012年12月，習(xí)近平總書記在廣東考察時(shí)指出：“要尊重人民首創(chuàng)精神，尊重實(shí)踐、尊重創(chuàng)造、鼓勵(lì)大膽探索、勇于開(kāi)拓，聚合各項(xiàng)相關(guān)改革協(xié)調(diào)推進(jìn)的正能量?！边@里，他所談的正能量，與毛澤東同志所說(shuō)的“調(diào)動(dòng)一切積極因素，團(tuán)結(jié)一切可以團(tuán)結(jié)的力量”的基本精神是一致的。

若基于FFA 實(shí)現(xiàn)，當(dāng)L=2 時(shí)，需要3N/2 個(gè)乘法器實(shí)現(xiàn)；當(dāng)L=4 時(shí)，需要9N/4 個(gè)乘法器；當(dāng)L=8 時(shí)，需要27N/8 個(gè)乘法器；L=16 時(shí)，需要81N/16個(gè)乘法器。那么，可以歸納出基于FFA 的2n并行N?1 階FIR 濾波器所需乘法器的個(gè)數(shù)為3nN/2n，所需加法器數(shù)量需要具體計(jì)算。

由此，可以統(tǒng)計(jì)出N?1 階不同并行度下，傳統(tǒng)方式與基于FFA 方式并行FIR 濾波器的乘法器數(shù)量的對(duì)比情況，如表1 所示。

由表1 可知，基于FFA 的并行FIR 濾波器所需乘法器個(gè)數(shù)少于傳統(tǒng)方式。且隨著并行度的增加，F(xiàn)FA 相對(duì)于傳統(tǒng)方式將節(jié)省更多的乘法器資源。

表1 設(shè)計(jì)N?1 階FIR 在不同方案下乘法器數(shù)目統(tǒng)計(jì)表

3.2 算法性能分析

在硬件實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，在計(jì)算單元層面，假設(shè)傳統(tǒng)并行FIR 結(jié)構(gòu)中加法器的整數(shù)位寬為m bit，小數(shù)位寬為n bit。由于FFA 架構(gòu)在前級(jí)有預(yù)加運(yùn)算，如16 并行FFA 在前級(jí)最多會(huì)有16 個(gè)數(shù)的預(yù)加，若仍然采用m bit 的整數(shù)位寬，會(huì)存在運(yùn)算溢出的情況。此時(shí)，需要拓寬預(yù)加16 個(gè)數(shù)的加法器的整數(shù)位寬至m+4 bit。這樣，會(huì)使FFA加法器及乘法器的復(fù)雜度高于傳統(tǒng)FIR 濾波器。并且相同并行度下FFA 的加法器個(gè)數(shù)也多于傳統(tǒng)方式。由于FFA 相比傳統(tǒng)方式能節(jié)約大量的乘法器，所以高效2n并行FFA 還是有顯著增益。

(1) 隨著支管關(guān)閉數(shù)量增加，流量改變量越大，造成的水錘升壓越嚴(yán)重，因此，設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量的延緩末端閥門的關(guān)閉時(shí)間，并且要求盡量避免多條支管同時(shí)關(guān)閉。

我的畫院：畫院是我的繪畫道路得以前行的一個(gè)保障，它為我提供了展示的機(jī)會(huì)，專研的動(dòng)力，交流的平臺(tái)。杭州畫院是一個(gè)團(tuán)結(jié)的集體，每位成員都有自己的追求目標(biāo)，用“美美與共，和而不同”來(lái)形容最合適不過(guò)。

為了評(píng)估硬件資源總體的收益情況，針對(duì)高速光纖通信系統(tǒng)需要的7 階160 并行FIR 濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。其架構(gòu)如圖2 所示。根據(jù)前文所述算法性能的分析，在計(jì)算單元層面，傳統(tǒng)方式與本文提出的方式的加法器和乘法器的復(fù)雜度不盡相同。為了對(duì)比分析，采用本文提出的設(shè)計(jì)方法和傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法對(duì)該濾波器在FGPA 上進(jìn)行資源評(píng)估。資源評(píng)估按FPGA 上對(duì)應(yīng)IPCORE 所占用的查找表LUTs等效折算，所使用FPGA 為Xilinx XC7K325T，乘法器IPCORE 使用Multiplier 11.2 中的常系數(shù)乘法器。最終，基于FFA 的方法比傳統(tǒng)方法的乘法器資源 縮減了56.3%，總資源縮減了36.2%，如表2 所示。

當(dāng)前，實(shí)踐中的課程整合可分為兩大類：學(xué)科本位的課程整合與兒童本位的課程整合。學(xué)科本位的課程整合又可以分為兩類：一類是超越不同的知識(shí)體系，以關(guān)注共同要素的方式安排學(xué)習(xí)的課程開(kāi)發(fā)活動(dòng)。這里的共同要素指的是相似目標(biāo)、類似內(nèi)容和大致實(shí)施方式。還有一種是學(xué)校常常容易忽略的，即以兒童現(xiàn)實(shí)的直接經(jīng)驗(yàn)、需要和動(dòng)機(jī)為出發(fā)點(diǎn)的課程整合。這種整合實(shí)際上是對(duì)現(xiàn)有課程的拓展和創(chuàng)新，是將游離在原課程體系之外的兒童經(jīng)驗(yàn)和需求融入新的課程，故可稱之為“兒童本位的課程整合”。

表2 7 階160 并行FIR 濾波器FPGA 資源評(píng)估

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文根據(jù)已有的基于FFA 的2、4、8 并行FIR 濾波器的理論形式，推導(dǎo)了2n并行FFA，然后設(shè)計(jì)了2n并行FFA 及非2n并行FFA 的架構(gòu)。接著，對(duì)比了在不同并行度下，高效2n并行FFA與傳統(tǒng)并行算法實(shí)現(xiàn)的乘法器數(shù)目，發(fā)現(xiàn)隨著并行度的增加前者的優(yōu)勢(shì)越發(fā)明顯。最后，從計(jì)算性能以及計(jì)算單元層次上分析了該算法，得出結(jié)論：雖然高效2n并行FFA 相對(duì)于傳統(tǒng)并行算法會(huì)增加若干加法器與乘法器的復(fù)雜度，但是由于前者對(duì)乘法器資源增益明顯，所以其硬件效率較傳統(tǒng)并行算法仍有顯著改善，且隨著并行度增加，這種優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。