兩類2-Toeplitz 型矩陣的奇異值

過美林， 鐘金

（江西理工大學理學院，江西 贛州341000）

0 引 言

奇異值分解是一種重要的矩陣分解法，在矩陣分析、數(shù)值代數(shù)、擾動理論、最小二乘問題等數(shù)學分支中有重要的理論意義[1-2]，同時在許多應用領域，如人臉識別方法、信號處理、圖像處理、聲源識別、降噪方法等領域有重要應用[3-9]。由于奇異值及奇異值分解重要的理論意義和應用價值，如何確定矩陣的奇異值及其分解顯得非常重要。 近年來，一些具有特殊結(jié)構(gòu)矩陣的特征值分解和奇異值分解得到廣泛關注和研究，特別是利用矩陣的特征值分解給出了這些特殊結(jié)構(gòu)矩陣的冪，如文獻[10]和[11]分別計算了一類偶數(shù)階和奇數(shù)階對稱三對角矩陣的正整數(shù)次冪；文獻[12]計算了三對角2-Toeplitz 矩陣的冪；文獻[13]計算了復五對角2-Toeplitz 矩陣的整數(shù)次冪；文獻[14]從三次循環(huán)多項式序列的特征關系出發(fā)研究了偶數(shù)階五對角2-Toeplitz 矩陣的特征值及特征向量， 進而得到了其整數(shù)次冪；文獻[15]計算了一般三對角矩陣的冪；文獻[16]計算了r-周期三對角矩陣的特征值。此外,文獻[17]和文獻[18]分別計算了雙對角過濾矩陣和梳子過濾矩陣的奇異值分解。

目前關于特殊結(jié)構(gòu)矩陣的研究主要集中于求特征值及特征值分解， 對奇異值及其分解研究較少。文章將通過幾類具有特殊結(jié)構(gòu)矩陣的特征值分解給出兩類2-Toeplitz 型矩陣的奇異值。

1 奇異值及奇異值分解的定義

用Mm，n表示m×n 復矩陣的集合，若m=n，則記為Mn，A*表示A 的共軛轉(zhuǎn)置， 若矩陣A∈Mn滿足AA*=A*A=I，則稱A 為酉矩陣，其中I 是單位矩陣。設A∈Mm，n，若m≥n，則半正定矩陣A*A 的特征值的非負平方根稱為A 的奇異值；若m＜n，則半正定矩陣AA*的特征值的非負平方根稱為A 的奇異值。用s1（A）≥s2（A）≥…≥sp（A）表示A∈Mm，n的奇異值，并記s（A）=（s1（A），…，sp（A）），對角矩陣的記號為diag{s1，s2，…，sp}，注意該符號也可以表示長方陣。 顯然奇異值是酉不變的， 即對于任意A∈Mm，n及任意酉矩陣U，V∈Mn，s（UAV）=s（A）。 因此，正規(guī)矩陣的奇異值就是它的特征值的模。 特別的，對于半正定矩陣，奇異值和特征值是一樣的。

定義1[2]（奇異值分解）設A∈Mm，n，則存在酉矩陣U∈Mm和酉矩陣V∈Mn使得：

UAV=diag{s1，s2，…，sp}，

其中，s1≥s2≥…≥sp≥0，p=min{m，n}。

2 兩類2-Toeplitz 型矩陣的奇異值

本節(jié)給出兩類2-Toeplitz 型矩陣的奇異值，首先給出下面引理。

引理1[11]奇數(shù)階三對角2-Toeplitz 矩陣

的特征值為：

由此可知，Bn的特征值全為實數(shù)，且重數(shù)為1。

定理1設n 為整數(shù)，t0，t1，l0，l1為非零復數(shù)，Tn，n+1是n×（n+1）（n=2m+1，m∈N）的2-Toeplitz型矩陣

則它的奇異值為：

于是，

下面給出另一種2-Toeplitz 型矩陣的奇異值，這類矩陣與前一類矩陣相比，非對角線元素整體向右上方平移了一條線。

定理2設n 為整數(shù)，p0，p1，l0，l1為非零復數(shù)，Pn，n+2是n×（n+2）（n=2t，t∈N）矩陣

則它的奇異值為：

證 明：由文獻[13]知，對于偶數(shù)階五對角2-Toeplitz 矩陣

n=2t，（n∈N）。

考慮多項式序列{Ai}i≥0，{Bi}i≥0，它們具有三階循環(huán)的特征關系：

其中，初始條件為A0（x）=0，A1（x）=1，以及

由式（1）,式（2）兩式的關系式可得：

和

其中，n=2t（t∈N），Un（·）是n 次第二類切比雪夫多項式

Un（x）的所有根都包含在區(qū)間[-1，1]內(nèi)。

由式（1）,式（2）兩式的關系式可得：

其中，Pn-1（x）=[P0（x），P1（x），P2（x），…，Pn-1（x）]T，且

由于Pn是n 階五對角2-Toeplitz 矩陣，對應于式（5）中等式的多項式Pn+1，假設Pn+1具有簡單的零解，則Pn的特征多項式為：

其中，In為n 階單位矩陣。

由式（3）、式（4）及上式可得：

所以矩陣Pn的特征值為：

由于

所以，

3 結(jié) 論

矩陣的奇異值及奇異值分解不僅是矩陣理論中的重要內(nèi)容， 同時在許多應用領域有重要應用，然而， 矩陣的奇異值及奇異值分解并不容易求得。文章的研究表明某些特殊結(jié)構(gòu)矩陣的奇異值可通過某些特殊結(jié)構(gòu)矩陣的特征值分解求得，如利用三對角和五對角2-Toeplitz 矩陣的特征值可得到兩類2-Toeplitz 型長方矩陣的奇異值，這種方法對于求解其他特殊結(jié)構(gòu)矩陣的奇異值有很好的參考價值。然而該方法并不能求出這兩類矩陣的奇異值分解，即求出相應的左右酉矩陣，這將是下一步的研究工作。