重視例題價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生抽象

魏媛媛

[摘要]教師要充分利用教材中的例題，挖掘例題價(jià)值，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)合適的教學(xué)過程。在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)改進(jìn)過程中發(fā)現(xiàn)，只有根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，通過教材的例題引導(dǎo)學(xué)生遷移規(guī)律，才能真正幫助學(xué)生發(fā)展抽象思維，使學(xué)生順利掌握新知。

[關(guān)鍵詞]例題;抽象思維;用字母表示數(shù);教學(xué)改進(jìn)

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）08-0046-03

“用字母表示數(shù)”是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的起點(diǎn)，標(biāo)志著學(xué)生從算術(shù)學(xué)習(xí)開始轉(zhuǎn)向代數(shù)學(xué)習(xí)，從對(duì)“數(shù)量”的理解轉(zhuǎn)向?qū)Α瓣P(guān)系”的探討。學(xué)好這一部分知識(shí)有利于學(xué)生解決稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，獲得成功體驗(yàn);有利于加強(qiáng)中小學(xué)知識(shí)的銜接，使得學(xué)生更順暢地進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，幫助學(xué)生鞏固已有知識(shí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中提出教學(xué)目標(biāo)：在具體情境中能用字母表示數(shù);結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。學(xué)生從用數(shù)字表示數(shù)到用字母表示數(shù)，即由確定的數(shù)量到變化的數(shù)量，不僅抽象程度明顯提高，而且還涉及思維方式的深刻變化，可以說是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一次跨越。學(xué)生必須克服長(zhǎng)期學(xué)習(xí)數(shù)與計(jì)算所形成的思維慣性，避免受到以前“結(jié)果唯一”的影響，這是有一定難度的。對(duì)此，學(xué)生只有經(jīng)歷由數(shù)抽象成字母的過程，才能真正理解用字母表示變化的數(shù)量的含義。

一、實(shí)踐與思考

【教學(xué)片段1】

師（出示PPT）：今天我?guī)砹颂枪?，?zhǔn)備獎(jiǎng)勵(lì)給上課表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)?？墒侵挥?5顆，以咱們班表現(xiàn)來看，肯定不夠發(fā)，于是我又準(zhǔn)備了一包。你覺得現(xiàn)在夠分了嗎？你是怎么判斷的？

師：既然不能確定，那可以怎么說？你有什么好方法表示未知的數(shù)嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生用圖形、符號(hào)、字母等形式表示）

師（揭示課題）：大家都用字母a，可用字母6嗎？有時(shí)沒法用具體數(shù)字表示的數(shù)，就可以用字母表示。

師：字母a可能表示哪些數(shù)？

生1：5、3、7……

師：字母a可以表示未知的、變化的數(shù)。

師：那你會(huì)表示現(xiàn)在總共有多少顆糖果嗎？

生2：（25+a）顆。

師：這道式子和我們以前學(xué)的有什么不一樣？

生3：含有字母。

師：是的，像這樣的式子叫作含有字母的式子。25表示什么？a表示什么？25+a表示什么呢？

生4：25表示原來有的糖果數(shù)，a表示后來又放進(jìn)去的顆數(shù)，25+a表示現(xiàn)在有的顆數(shù)。

用獎(jiǎng)勵(lì)糖果的實(shí)例引入用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)說出用a表示糖果的顆數(shù)，但這對(duì)數(shù)量的抽象并不到位，最后，學(xué)生根據(jù)自身的一些經(jīng)驗(yàn)得到用含有字母的式子25+a表示，但由于他們沒有經(jīng)歷抽象的過程，這樣的認(rèn)識(shí)是不完整、不深刻的。同時(shí)，本節(jié)課內(nèi)容比較多，按上述方式教學(xué)，最后只完成了練一練的第2題及第3題，而練一練的第1題及練習(xí)十八的1至3題都未能在課堂上呈現(xiàn)，但是，缺少相應(yīng)的練習(xí)會(huì)影響學(xué)生當(dāng)堂學(xué)習(xí)的效果，并加重學(xué)生的課后負(fù)擔(dān)。因此，在下一次教學(xué)中刪減了這一部分的導(dǎo)入內(nèi)容。

【教學(xué)改進(jìn)1】

學(xué)習(xí)例1（題目略）

師：從圖中你知道了什么？

生1：擺1個(gè)三角形需要3根小棒。

師：擺2個(gè)三角形需要用幾根小棒？可以怎樣列式？

生2：6根，列式是2×3。

師：這里的2和3分別表示什么？

生3：“2”表示擺的三角形個(gè)數(shù)，“3”表示擺1個(gè)三角形需要3根小棒。

師：擺3個(gè)三角形、4個(gè)三角形呢？能接著寫下去嗎？

生4：擺3個(gè)三角形，列式是3×3;擺4個(gè)三角形，列式是4×3。

師：還能再寫一個(gè)嗎？

生5：擺5個(gè)三角形，需要5～3根小棒。

師：誰還能再說一說？說得完嗎？

師：三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)有什么關(guān)系？

生6：小棒根數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的3倍，三角形個(gè)數(shù)x3=小棒根數(shù)。

師：這些算式都包含相同的數(shù)量關(guān)系，你能用一個(gè)式子表示嗎？

（學(xué)生獨(dú)立嘗試）

師：你為什么用符號(hào)（或圖形、字母）來表示三角形的個(gè)數(shù)？

生7：我用符號(hào)（或圖形、字母）表示，因?yàn)槿切蔚膫€(gè)數(shù)在不斷變化。

師：比較這幾種表示方法，有什么相同和不同的地方？

生8：相同：都用（）×3表示（“x3”表示什么？），用一個(gè)符號(hào)、圖形或字母表示三角形個(gè)數(shù)（為什么不用符號(hào)、圖形或字母來表示3？）。不同：所用的表示方式不同。

生9：因?yàn)?是個(gè)確定不變的數(shù)，而三角形的個(gè)數(shù)是變化的、不確定的。

師：像這樣變化的數(shù)就可以用符號(hào)、圖形、字母表示，今天我們就來研究其中一種。

由于原教學(xué)在引入部分揭示“用字母表示數(shù)”和“含有字母式子的數(shù)量關(guān)系”，所以例1就淡化了對(duì)這兩個(gè)問題的深刻探討，但同時(shí)也忽視了對(duì)“三角形的個(gè)數(shù)和小棒的根數(shù)有什么關(guān)系？”這個(gè)問題的討論，其實(shí)“三角形的個(gè)數(shù)和小棒的根數(shù)有什么關(guān)系”這個(gè)問題是很重要的，只有清楚了數(shù)量關(guān)系，才能從用日常語言表示數(shù)量關(guān)系抽象到用符號(hào)語言表示數(shù)量關(guān)系。因此這里必須引導(dǎo)學(xué)生展開討論，搞清楚數(shù)量關(guān)系，知道每個(gè)三角形所用小棒的根數(shù)是不變的量，而三角形的個(gè)數(shù)是個(gè)變化的量，但不管三角形的個(gè)數(shù)怎么變，“三角形個(gè)數(shù)×3=用小棒的根數(shù)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系是不變的，正因?yàn)橛羞@個(gè)不變的數(shù)量關(guān)系，才能用字母表示所有三角形的個(gè)數(shù)。教師應(yīng)該在學(xué)生明白這一點(diǎn)后，再讓學(xué)生嘗試用一個(gè)式子表示。這里的教學(xué)程序應(yīng)該是讓學(xué)生先說關(guān)系，再用一個(gè)式子來表示，這樣就比較好地完成從數(shù)抽象成字母的過程。學(xué)生可能會(huì)寫出用不同字母表示的式子，但不管寫出什么式子，都是在概括算式且理解了數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上寫出來的，把這些式子都寫出來還有助于豐富學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的方法的認(rèn)識(shí)。最后再出示“如果用n表示三角形的個(gè)數(shù)，小棒的根數(shù)是（）×（）”，讓學(xué)生體會(huì)到aX3既表示擺a個(gè)三角形所用小棒的根數(shù)，又表示所用小棒的根數(shù)與擺出三角形個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。還可以進(jìn)一步提問：“這里的?？梢员硎灸男?shù)？”讓學(xué)生根據(jù)題意體會(huì)可以表示任意自然數(shù)。還可追問：“a可以是50嗎？可以是500嗎？可以是0.5嗎？可以是1，5嗎？”加深學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的理解。

【教學(xué)改進(jìn)2】

師：如果這里三角形的個(gè)數(shù)用字母a表示，小棒的根數(shù)是多少呢？

生1：aX3。

師：像這樣的式子叫作含有字母的式子。

師：a表示什么？

生2：三角形的個(gè)數(shù)。

師：乘3表示什么？

生3：擺每個(gè)三角形需要3根小棒。

師：aX3表示什么？

生4：小棒的根數(shù)、3倍關(guān)系。

師：這里的a可以是哪些數(shù)？

生5：1、2、3、4……

師：a可以是50、500、0嗎？a可以表示什么？

生6：可以。a可以表示任意的自然數(shù)，代表的是幾個(gè)三角形。

師：是的，a可以是任意的自然數(shù)。什么時(shí)候我們會(huì)用字母表示？

生7：對(duì)于未知的、變化的數(shù)，可以用字母表示。

二、討論與發(fā)現(xiàn)

【教學(xué)片段2】

呈現(xiàn)例2：上周末，魏老師從南京自駕去了黃山旅游，出發(fā)前，在手機(jī)導(dǎo)航上發(fā)現(xiàn)從南京到黃山有280千米。

師：如果已經(jīng)行駛了50千米，你會(huì)求剩下的千米數(shù)嗎？誰會(huì)填？你是怎么想的？如果已經(jīng)行駛了74.5千米，剩下的千米數(shù)又是多少？

生1：剩下的路程=總路程一已行駛的路程。

師：如果不知道已經(jīng)行駛了多少千米，要求剩下的路程，可以怎么表示？

生2：280-b。

師：280表示什么？

生3：總路程。

師：6表示什么？

生4：已經(jīng)行駛的路程。

師：280-6表示什么？

生5：剩下的路程。

生6：也可以用c表示剩下的路程。

師：用c和280-6表示，哪個(gè)更好一些？

生7：280-6更好，因?yàn)榭偮烦淌?80千米，已經(jīng)行駛的路程是b，用總路程減去已經(jīng)行駛的路程，剩下的路程就是280-b。

師：對(duì)，這樣不僅能表示剩下的路程，還可以從中看出總路程、已經(jīng)行駛的路程和剩下的路程之間的關(guān)系。那么6到底是多少？（出示PPT動(dòng)圖）和同桌說一說。隨著6的變化，剩下的路程怎么表示？

生8：隨著b變大，280-b變小，但不管怎么變，剩下的路程都是280-b。

師：這里的b可以是任意數(shù)嗎？為什么？

生9：不可以。b只能是0到280之間的任意數(shù)。

師：你能說出它的取值范圍嗎？

生10：0≤6≤280。

師：如何才能確定剩下的路程？

生11：確定6的大小。

師：6可能是小數(shù)嗎？可能是分?jǐn)?shù)嗎？

例2是對(duì)例1的鞏固、完善和補(bǔ)充，有了例1的基礎(chǔ)，出示例2后，前面的3個(gè)問題可以讓學(xué)生根據(jù)題意獨(dú)立思考，先獨(dú)立填寫，然后再進(jìn)行討論。如果還是一個(gè)問題一個(gè)問題地提問回答，那么前面的學(xué)就沒有起到作用。討論的重點(diǎn)應(yīng)該放在：（1）280-b表示什么？明確“既表示剩下的千米數(shù)，又表示‘總路程一已經(jīng)行駛的路程=剩下的路程”這個(gè)數(shù)量關(guān)系;（2）6的取值范圍。不要將這個(gè)要點(diǎn)分割得很零碎后進(jìn)行提問。例2的教學(xué)要體現(xiàn)出與例1的層次，例1已經(jīng)抽象出用字母表示數(shù)，學(xué)生已經(jīng)知道含有字母的式子所表示的兩種含義，例2要在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考，從而完善學(xué)生的認(rèn)知，豐富和拓展學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)改進(jìn)】

師：上周末，魏老師從南京自駕去了黃山旅游，從圖中（圖略）你知道了什么？那這兩個(gè)問題你會(huì)解決嗎？

呈現(xiàn)：如果已經(jīng)行駛了50千米，剩下的千米數(shù)是（）。

如果已經(jīng)行駛了74.5千米，剩下的千米數(shù)是（）。

師：誰會(huì)填？你是怎么想的？

生1：都是用“總路程一已經(jīng)行駛的路程=剩下的路程”。

呈現(xiàn)：如果已經(jīng)行駛了6千米，剩下的千米數(shù)是（）。

師：誰會(huì)填？

師：280表示什么？

生2：280表示總路程是280千米。

師：6表示什么？

生3：已經(jīng)行駛的路程。

師：280-b表示剩下的路程，剩下的路程等于總路程一已經(jīng)行駛的路程。

師：280-b不僅表示剩下的路程，我們還可以從中看出總路程、已經(jīng)行駛的路程和剩下的路程之間的關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）。

師：這里的6可以是任意數(shù)嗎？

生4：不可以。

師：為什么？

生5：6可以是0到280之間的任意數(shù)。

師：你能說出它的取值范圍嗎？

生6：0≤b≤280。

師（出示PPT）：一起來感受一下6的取值范圍。

師：隨著已行駛的路程的不斷變化，剩下的路程怎么表示？

生7：隨著6變大，280-b變小，但不管怎么變，剩下的路程都是280-b。

師：要想確定剩下的路程，該怎么辦？

生8：確定6的大小。

出示：（1）如果b=120，剩下（）千米;

（2）如果b=200，剩下（）千米;

（3）如果b=（），剩下（）千米。

三、教學(xué)反思

“用字母表示數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容一共有3個(gè)例題，每個(gè)例題都有明確的要求。教師一定要理解教材每個(gè)例題的要求，要重視知識(shí)展開過程的價(jià)值，讓學(xué)生經(jīng)歷探索和體驗(yàn)的過程。本節(jié)課的教學(xué)經(jīng)歷了多次的嘗試與調(diào)整，目的只有一個(gè)，即在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生克服慣性思維，理解用字母表示數(shù)的抽象性，從而發(fā)展自身的抽象能力。

反觀一開始的教學(xué)，雖然流暢，但沒有達(dá)到讓學(xué)生真正感受用字母表示數(shù)的抽象過程，學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思考不足，只能憑經(jīng)驗(yàn)回答，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)不夠深刻。比較而言，最終的授課才真正體現(xiàn)了“重視例題，深刻挖掘了例題的價(jià)值”。因此，教師在課堂教學(xué)時(shí)不能只追求表面的流暢，應(yīng)該從教學(xué)內(nèi)容本身出發(fā)，結(jié)合課堂生成，以此引發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)，真正做到促進(jìn)學(xué)生抽象能力的發(fā)展。