矩陣Hadamard積最小特征值下界的進(jìn)一步估計

周 平 李艷艷 蔣建新

（文山學(xué)院數(shù)學(xué)與工程學(xué)院 云南文山 663099）

一、引言

M-矩陣是一類在數(shù)值代數(shù)研究中具有廣泛應(yīng)用的矩陣，在管理科學(xué)、物理學(xué)、圖論、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的許多問題都與它有關(guān)[1,2]。而矩陣的Hadamard積是一種特殊的矩陣乘積，它也被廣泛的應(yīng)用于對概率論中特征函數(shù)的研究,量子計算、通信中的編碼理論、區(qū)組設(shè)計等問題，基于這些重要的應(yīng)用背景，M-矩陣Hadamard積的最小特征值下界問題一直受到很多學(xué)者研究的熱點之一[3-9]，其中在文獻(xiàn)[3]中給出了如下估計式：

本文對M-矩陣的Hadamard積最小特征值下界作了進(jìn)一步估計，并給出兩個改進(jìn)了已有的一些結(jié)果的新估計式。

二、符號、定義和引理

記Cn×n（Rn×n）表示所有n×n階復(fù)（實）矩陣構(gòu)成的集合為矩陣A的譜半徑，σ(A)為A的譜[1,2]。

設(shè)A=(aij)∈Rn×n，i,j,k∈N，i≠j，令：

設(shè)A∈Mn，D=diag(d1,d2,…,dn)，di＞0(i=1,2,…,n)，使得D-1AD是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣[3-5]。

若A=(aij)∈Cm×n,B=(bij)∈Cm×n,用A?B表示A與B的對應(yīng)元素相乘而得到的m×n陣,即

稱其為A和B的Schur積,也稱為Hadamard積[6-8]。

若A=(aij)∈Zn×n,則稱q(A)=min{Re(λ)|λ∈σ(A)}為A的最小特征值[8]。

若A∈Mn,則q(A)為A的模的最小特征值,且q(A)=

引理1[3]如果A=(aij)∈Cn×n,0≤α≤1，而且xi∈R(xi＞0)，那么A的所有特征值包含在下列集合中：

引理2[4]設(shè)A,B∈Rn×n都為M-矩陣且B非奇異,則A?B-1為M-矩陣。

引理3[5,6]設(shè)A,B∈Rn×n,且D,E∈Rn×n是對角矩陣，則

引理4[7]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是一個行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，則A-1=(βij)存在，且有

引理5[8]如果是一個行嚴(yán)格對角占優(yōu)-矩陣,那么A-1=(βij)存在，且有

三、q(B?A-1)和q(A?A-1)的新估計式

定理1 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn，A-1=(βij)，則q(B?A-1)的下界為

證明 已知A=(aij),B=(bij)∈Mn，則運(yùn)用引理2和3可得

這里D=diag(d1,d2,…,dn)，di＞0(i=1,2,…,n)，D-1AD是嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣。

為了不失一般性，現(xiàn)假設(shè)A是嚴(yán)格行對角占優(yōu)M-矩陣，下面分兩種情況進(jìn)行討論：

Ι)如果矩陣A和B都是不可約矩陣時，令則

因此，存在實數(shù)θji(0≤θji≤1)，使得

由文獻(xiàn)[2]中的定理3.1知0＜wj≤1。設(shè)則根據(jù)引理1知，存在i0∈N，使得

由引理5，上式可轉(zhuǎn)化為

故

Π)如果A和B中至少有一個是可約矩陣時，令G=(gij)是n階置換矩陣，此矩陣中g(shù)12=g23=…=gn-1,n=gn1=1，其他的gij=0，對充分小的正數(shù)η，能夠使得A+ηG,B+ηG的所有主子式都是正的，從而A+ηG,B+ηG∈Mn此時用A+ηG，與B+ηG分別替代A,B，當(dāng)η→0時，綜合Ι)的證明和連續(xù)性知結(jié)論仍然成立。

注1：在定理1中令α等于0可得

即為文獻(xiàn)[9]中獲得的(4)式，因此文獻(xiàn)[9]中給出的估計式包含于本文給出的定理1。

推論1 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn，且A-1=(βij)，當(dāng)時，則有

證明 由于

所以

由wi和si的定義知，si≥wi，從而

故綜上所述，得

注2：根據(jù)注釋1和推論1的證明可知定理1給出的估計式比已有文獻(xiàn)[6]和[9]的結(jié)果更優(yōu)。

如果A與B是兩個相同的非奇異M-矩陣時，那么可以得到如下結(jié)果：

定理2 設(shè)A=B=(aij)∈Mn，A-1=(βij),則

注3：在定理2中令α等于0可得

即為譚學(xué)文等[9]獲得的(5)式，因此文獻(xiàn)中給出的估計式包含于本文給出的定理。

同理應(yīng)用推論1可得到如下結(jié)論：

推論2 設(shè)A=B=(aij)∈Mn，A-1=(βij),則

注4：根據(jù)注釋3和推論2的證明可知定理1給出的估計式比已有文獻(xiàn)[6]和[9]的結(jié)果更優(yōu)。

四、結(jié)語

根據(jù)注釋1-4可知，文中給出的估計式改進(jìn)了已有文獻(xiàn)[5]，[6]和[9]的結(jié)果，是對M-矩陣的Hadamard積最小特征值下界方面研究的一個有益的補(bǔ)充。