線性方程組求解及應(yīng)用

石擎天 黃坤陽

摘要：文章首先介紹了用克拉默法則求解一類線性方程組（方程的個數(shù)與未知量個數(shù)相同且系數(shù)行列式不為零），由此提出對于一般的線性方程組如何求解問題.從而引出用矩陣的秩來判定線性方程組的解的結(jié)構(gòu)以及用初等變換來求線性方程組的通解.最后應(yīng)用線性方程組的求解問題對矩陣方程和向量組的線性相關(guān)性進(jìn)行分析.

關(guān)鍵詞：線性方程組;克拉默法則;初等變換;矩陣方程

中圖分類號：G642.41? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2020）12-0325-03

一、引言

線性方程組的求解問題在科學(xué)技術(shù)與經(jīng)濟管理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1].線性規(guī)劃問題，某些工程問題，經(jīng)濟問題[2-4]等都可轉(zhuǎn)化成線性方程組求解問題.而且線性方程組求解是線性代數(shù)中一大重難點，所以本文圍繞著線性方程組求解問題進(jìn)行梳理，希望對這部分內(nèi)容的教和學(xué)起到輔助作用.首先，介紹相關(guān)符號和概念如下.

易知齊次線性方程組一定有解，即零解必為它的一個解，所以求解齊次線性方程組實際上是探究其是否有非零解.而非齊次線性方程組的求解則更加復(fù)雜，因為一個線性方程組的解可能是無解，唯一解，無窮多個解，所以在求解非齊次線性方程組時需先對其解進(jìn)行判定再探究其解的結(jié)構(gòu).

接下來，我們將對線性方程組求解問題進(jìn)行探討.先考慮特殊情形，即方程個數(shù)與未知元個數(shù)相同，也就是，此時用克拉默法則可對某些方程組進(jìn)行求解.對于不能求解部分和時的線性方程組將通過初等變換或消去法進(jìn)行求解.具體可分別參見第2節(jié)和第3節(jié)內(nèi)容.第4節(jié)中我們將應(yīng)用線性方程組求解來研究矩陣方程的求解和向量組的線性相關(guān)性的判定問題上.

二、克拉默法則求解線性方程組

三、初等變換法求解線性方程組

（1）式中線性方程組用矩陣等價表示為Ax=b，（4）

其中A為系數(shù)矩陣，x為未知元向量，b為常數(shù)列b.

注意到（1）式與（4）式相互等價，即線性方程組與（4）式中矩陣方程一一對應(yīng).

結(jié)合消去法的思想和初等行變換保持解的不變性可得，對（1）式中線性方程組進(jìn)行有限次初等變換等價于對（4）式中增廣矩陣B=（A，b）進(jìn)行初等行變換化成行最簡形矩陣B′，其中

基于定理2中對線性方程組的解的判定結(jié)果，我們可以結(jié)合矩陣所對應(yīng)的線性方程組容易得到其通解.根據(jù)初等變換前后保持線性方程組解向量不變的事實，所以當(dāng)線性方程組（4）式有解時B′所對應(yīng)的線性方程組的通解即為原線性方程組（1）式或（4）式的通解（即所有解向量的全體）.那么通解如何表示呢？

通解的表示與解向量組的線性表示密切相關(guān).由向量組的線性表示可知，找到向量組中極大線性無關(guān)組是核心.對于線性方程組（4）式而言，其通解中極大線性無關(guān)組即為基礎(chǔ)解系.若對線性方程組（1）式中某些未知量及其系數(shù)交換順序，則對應(yīng)的矩陣方程Ax=b的增廣矩陣通過有限次初等行變換化成如下行最簡形

上述求解線性方程組（4）式得到通解如（7）式的過程中沒有按照線性代數(shù)書中傳統(tǒng)思路：分齊次和非齊次線性方程組分別求解;齊次線性方程組的通解即為一個基礎(chǔ)解系中向量組的所有線性組合，而非齊次線性方程組則是其一特解與其對應(yīng)齊次方程組的通解的和構(gòu)成這種用統(tǒng)一的公式表示，方便學(xué)生學(xué)習(xí)時不容易混淆齊次與非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)差異.

四、線性方程組求解的應(yīng)用

線性方程組求解問題在大量科學(xué)計算和數(shù)學(xué)學(xué)科中都有廣泛應(yīng)用，這里我們立足線性代數(shù)這門課程的知識體系對其在矩陣方程和向量組的線性相關(guān)性這兩方面的應(yīng)用進(jìn)行梳理.

（一）矩陣方程的求解

對于n階方陣A或B，關(guān)于未知量矩陣X的三種矩陣方程為AX=B，XA=B和AXB=C.當(dāng)采用可逆矩陣法來求解這些矩陣方程時，矩陣方程有解的必要條件是矩陣A，B和A，B分別可逆.那么當(dāng)矩陣A不是方陣或不是可逆方陣時，三種矩陣方程如何求解呢？下面將以

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