基于單位運(yùn)作視角下的主題單元整體教學(xué)構(gòu)建
——“小數(shù)除法”教材對(duì)比與教學(xué)思考

董文彬

（北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)）

“小數(shù)除法”是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是小學(xué)階段“數(shù)的運(yùn)算”中普遍認(rèn)為最“難”的部分，更是發(fā)展運(yùn)算能力這一學(xué)科核心素養(yǎng)的深入階段。

從小數(shù)意義的角度看，小數(shù)除法運(yùn)算是將個(gè)位上的計(jì)數(shù)單位“1”借助十進(jìn)制的核心思想進(jìn)行繼續(xù)運(yùn)作的過(guò)程，這種運(yùn)作直接體現(xiàn)為將計(jì)數(shù)單位的逐步細(xì)分，這種單位逐步細(xì)分的作用可以將整個(gè)運(yùn)算的數(shù)系順利地?cái)U(kuò)充至有理數(shù)系。從除法意義的角度看，小數(shù)除法包括除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法。從運(yùn)算性質(zhì)的角度看，除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法其本質(zhì)是借助于商不變的性質(zhì)下的計(jì)數(shù)單位的同步轉(zhuǎn)換的運(yùn)作過(guò)程。因此，小數(shù)除法的教學(xué)應(yīng)立足于凸顯小數(shù)除法的核心本質(zhì)進(jìn)行——即整體把握計(jì)數(shù)單位運(yùn)作與轉(zhuǎn)換下的逐步細(xì)分過(guò)程。

為促進(jìn)學(xué)生對(duì)小數(shù)除法這一運(yùn)算領(lǐng)域核心內(nèi)容算理的準(zhǔn)確理解及算法的準(zhǔn)確把握，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)單元核心主題，將教材中小數(shù)除法單元相關(guān)碎片內(nèi)容作為一個(gè)知識(shí)群，在發(fā)展運(yùn)算能力這一學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)下進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)，在目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下打通小數(shù)除法不同問(wèn)題背景下知識(shí)內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生在具體運(yùn)算時(shí)將計(jì)數(shù)單位運(yùn)作細(xì)分的真正需求。

筆者嘗試結(jié)合北師版、人教版、蘇教版和浙教版四個(gè)版本教材的不同編排體系，以“小數(shù)除法”單元第一課時(shí)“小數(shù)除以整數(shù)”為例，通過(guò)對(duì)比分析與解讀，淺談?dòng)纱艘l(fā)的對(duì)主題單元整體教學(xué)構(gòu)建的思考。

一、四版本教材的對(duì)比解讀

（一） 縱向梳理

1.除法層面

在除法層面，我對(duì)比了四個(gè)版本的教材所展示的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于北師版教材的分析如圖1所示，對(duì)人教版教材的分析如圖2所示，對(duì)蘇教版教材的分析如圖3所示，對(duì)浙教版教材的分析如圖4所示。

圖1

圖2

圖3

圖4

2.小數(shù)層面

在小數(shù)層面，我對(duì)比了四個(gè)版本的教材所展示的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)北師版的教材分析如圖5所示，對(duì)人教版的教材分析如圖6所示，對(duì)蘇教版的教材分析如圖7所示，對(duì)浙教版的教材分析如圖8所示。

圖5

圖6

圖7

圖8

【對(duì)比分析】四個(gè)版本的教材在整個(gè)體系編排上大體相同，略有小異，“小數(shù)除法”這一內(nèi)容都被安排在五年級(jí)上冊(cè)。我們從兩個(gè)層面上縱觀，即可從整體上把握“小數(shù)除法”學(xué)習(xí)的來(lái)龍去脈。（如圖9）

圖9 兩個(gè)層面分析圖

從除法層面來(lái)看，各版本教材都是在學(xué)習(xí)了“除法的認(rèn)識(shí)”“表內(nèi)除法”“有余數(shù)的除法”“除數(shù)是一位數(shù)的除法”“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的基礎(chǔ)上再編排學(xué)習(xí)小數(shù)除法，之后是“分?jǐn)?shù)除法”?？梢?jiàn)，“除法意義”和“整數(shù)除法”是小數(shù)除法學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。從小數(shù)層面來(lái)看，各版本教材都是在經(jīng)歷了“小數(shù)初步認(rèn)識(shí)”“小數(shù)意義”“小數(shù)大小比較”“小數(shù)加減法”和“小數(shù)乘法”的學(xué)習(xí)之后，再編排學(xué)習(xí)小數(shù)除法。這些小數(shù)相關(guān)系統(tǒng)內(nèi)容為學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法提供了知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（包括操作的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)）。

（二） 橫向?qū)Ρ?/h3>

1.問(wèn)題情境和學(xué)習(xí)素材的選擇

北師版教材呈現(xiàn)了“精打細(xì)算”的問(wèn)題情境，通過(guò)“甲、乙兩個(gè)商店不同包裝規(guī)格、不同售賣(mài)總價(jià)的牛奶”，讓學(xué)生解決“哪個(gè)商店的牛奶便宜”；人教版教材選取了“晨跑”素材引入，已知“計(jì)劃4周跑步22.4千米”，讓學(xué)生解決“平均每周應(yīng)跑多少千米”；蘇教版教材是通過(guò)“購(gòu)買(mǎi)水果”的情境展開(kāi)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生由“不同水果的數(shù)量和付出的錢(qián)數(shù)”計(jì)算“每種水果的單價(jià)”；浙教版教材則選取的是有趣的“水實(shí)驗(yàn)”情境，讓學(xué)生根據(jù)“一定時(shí)間內(nèi)水沿著植物的莖上升的厘米數(shù)”計(jì)算“水平均每分鐘上升多少厘米”。（如圖10，圖11，圖12，圖13）

圖10

圖11

【對(duì)比分析】四個(gè)版本的教材雖然選取的具體學(xué)習(xí)素材不同，但都是基于兒童立場(chǎng)，從真實(shí)可感的生活情境出發(fā)，通過(guò)貼近兒童現(xiàn)實(shí)生活、富有趣味性的現(xiàn)實(shí)背景，啟發(fā)學(xué)生去解決實(shí)際問(wèn)題。

北師版和蘇教版教材選取的素材情境都與“價(jià)錢(qián)”有關(guān)，是基于“元角分”小數(shù)意義的學(xué)習(xí)背景，人教版和浙教版教材則都與“千米（或厘米）”有關(guān)，是基于“長(zhǎng)度單位”小數(shù)意義的學(xué)習(xí)背景，二者都旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)單位轉(zhuǎn)化來(lái)經(jīng)歷運(yùn)算過(guò)程獲得運(yùn)算結(jié)果。以上現(xiàn)實(shí)背景的提供實(shí)則體現(xiàn)了兒童數(shù)學(xué)中運(yùn)算教學(xué)引入的重要特征：數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化，生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

2.教學(xué)結(jié)構(gòu)的編排

圖13

各版本教材都是在兒童熟知的現(xiàn)實(shí)情境中呈現(xiàn)問(wèn)題，接著大致分四個(gè)層次對(duì)“小數(shù)除以整數(shù)”展開(kāi)學(xué)習(xí)：

圖14

圖15

（1） 引導(dǎo)學(xué)生從“平均分”意義的角度思考，用除法解決問(wèn)題；（2） 運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，借助計(jì)量單位（元角分人民幣單位、長(zhǎng)度單位） 的轉(zhuǎn)化將小數(shù)除法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法問(wèn)題，思考經(jīng)歷具體的運(yùn)算過(guò)程，獲得準(zhǔn)確的運(yùn)算結(jié)果，交流具體的運(yùn)算策略。（3） 嘗試用豎式計(jì)算，理解豎式結(jié)構(gòu)每一步的意思。（4） 從對(duì)運(yùn)算過(guò)程的理解中獲得豎式計(jì)算的程序化方法——體會(huì)“商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”的重要性。（如圖14，圖15，圖16，圖17）

圖16

圖17

【對(duì)比分析】從問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)、除法算式表征，到計(jì)算策略的交流，再到豎式表征、獲得一般方法，各版本教材都特別注重三個(gè)過(guò)程的經(jīng)歷：一是生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，二是解決問(wèn)題的全過(guò)程，三是經(jīng)歷小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算過(guò)程。同時(shí)，更重要的是都在整體編排上體現(xiàn)出貫通計(jì)量單位與計(jì)數(shù)單位之間的聯(lián)系，凸顯計(jì)數(shù)教學(xué)的核心本質(zhì)，幫助學(xué)生更好地理解計(jì)算方法背后的道理，在此基礎(chǔ)上聚焦發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力這一核心素養(yǎng)。

3.關(guān)于直觀模型

在運(yùn)算教學(xué)中，直觀模型對(duì)于學(xué)生促進(jìn)算理理解的效果十分明顯。特別是豎式中對(duì)整數(shù)部分分完后剩余的數(shù)的處理——進(jìn)一步化小單位再與相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)合并，需要借助直觀模型來(lái)支撐學(xué)生的認(rèn)識(shí)和理解。

【對(duì)比分析】無(wú)論是北師版、蘇教版的“單價(jià)”計(jì)算，還是人教版、浙教版的“單位長(zhǎng)度”計(jì)算，四版本教材都沒(méi)有提供半抽象直觀模型的支撐。也就是說(shuō)，在運(yùn)算過(guò)程中，學(xué)生只有思維表征，缺乏動(dòng)作表征，只有思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，缺乏操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)渡，教學(xué)中有待調(diào)整以促進(jìn)學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算過(guò)程每一步的理解。

二、“小數(shù)除法”教學(xué)思考與建議

（一） 小數(shù)除法教學(xué)要立足于小數(shù)除法的核心本質(zhì)

從數(shù)系擴(kuò)充的角度看，小數(shù)與自然數(shù)之間因?yàn)槭M(jìn)位值制而存在天然的內(nèi)在聯(lián)系，小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間因?yàn)槠骄忠泊嬖谥懿豢煞值年P(guān)系，正因如此，小數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算其實(shí)質(zhì)與自然數(shù)、小數(shù)一樣都體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位的運(yùn)作，即計(jì)數(shù)單位的增加、減少、倍增和細(xì)2分。由此看來(lái)，小數(shù)除法教學(xué)對(duì)整個(gè)數(shù)的運(yùn)算有很強(qiáng)的遷移與借鑒意義。

從小數(shù)意義的角度看，小數(shù)除法運(yùn)算是將個(gè)位上的計(jì)數(shù)單位“1”借助十進(jìn)制的核心思想進(jìn)行繼續(xù)運(yùn)作的過(guò)程，這種運(yùn)作直接體現(xiàn)為將計(jì)數(shù)單位的逐步細(xì)分，這種單位逐步細(xì)分的作用可以將整個(gè)運(yùn)算的數(shù)系順利地?cái)U(kuò)充至有理數(shù)系。從除法意義的角度看，小數(shù)除法包括除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法其要解決的是“把某數(shù)平均分成幾份，求每份是多少”的問(wèn)題，除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法其要解決的是“甲里面包含多少個(gè)乙”的問(wèn)題，此兩類問(wèn)題都可以看作是基于平均分的意義背景下的運(yùn)算問(wèn)題。從運(yùn)算性質(zhì)的角度看，除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法其本質(zhì)是借助于商不變的性質(zhì)下的計(jì)數(shù)單位的同步轉(zhuǎn)換的運(yùn)作過(guò)程。

綜上，小數(shù)除法的教學(xué)應(yīng)立足于凸顯小數(shù)除法的核心本質(zhì)進(jìn)行——即整體把握計(jì)數(shù)單位運(yùn)作與轉(zhuǎn)換下的逐步細(xì)分過(guò)程。只有這樣，才能真正實(shí)現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)運(yùn)算能力的定位——理解算理，尋求算法，即真正實(shí)現(xiàn)從基于算理的算式解決問(wèn)題到基于位值的一般豎式的算法的學(xué)習(xí)結(jié)果，以不至于發(fā)生將運(yùn)算能力等同于計(jì)算能力錯(cuò)誤認(rèn)知下的運(yùn)算教學(xué)。

（二） 構(gòu)建基于單位運(yùn)作下的小數(shù)除法主題單元整體教學(xué)

為促進(jìn)學(xué)生對(duì)小數(shù)除法這一運(yùn)算領(lǐng)域核心內(nèi)容算理的準(zhǔn)確理解及算法的準(zhǔn)確把握，建議在實(shí)際教學(xué)中設(shè)計(jì)單元核心主題，將教材中小數(shù)除法單元相關(guān)碎片內(nèi)容作為一個(gè)知識(shí)群，在發(fā)展運(yùn)算能力這一學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)下進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)，在目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下打通小數(shù)除法不同問(wèn)題背景下知識(shí)內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生在具體運(yùn)算時(shí)將計(jì)數(shù)單位運(yùn)作細(xì)分的真正需求。

數(shù)學(xué)中很多不同領(lǐng)域的內(nèi)在核心本質(zhì)都是相通的?！笆Ｖ?，分之彌細(xì)”是劉徽對(duì)求圓周率方法的哲學(xué)表達(dá)，我將其引用來(lái)詮釋小數(shù)除法運(yùn)算，并將其作為小數(shù)除法單元的大主題，其內(nèi)在本質(zhì)是“單位運(yùn)作細(xì)分”。在這個(gè)大主題下，根據(jù)核心內(nèi)容再分別設(shè)置三個(gè)分主題：一般情況下單位細(xì)分，主要內(nèi)容是除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，如運(yùn)算85÷4，其目標(biāo)是理解算理，尋求算法；同步轉(zhuǎn)化后的遷移細(xì)分，主要內(nèi)容是除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法，如運(yùn)算5.1÷0.3，其目標(biāo)是理運(yùn)算性質(zhì)（商不變的性質(zhì)）的價(jià)值體現(xiàn)；特殊情況下的按需細(xì)分，主要內(nèi)容是人民幣兌換，根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活需要和實(shí)際需求將運(yùn)算結(jié)果取近似數(shù)。這三個(gè)分主題內(nèi)容之間層層遞進(jìn)，最終指向?qū)W生素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成——發(fā)展運(yùn)算能力。

但無(wú)論是哪一部分內(nèi)容的教學(xué)都要圍繞“單位運(yùn)作細(xì)分”這一核心主題來(lái)設(shè)計(jì)課堂核心學(xué)習(xí)活動(dòng)。以“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”為例，一是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效參與的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生計(jì)數(shù)單位細(xì)分的需求，二是要設(shè)計(jì)深度思考的核心問(wèn)題，比如除到某個(gè)數(shù)位的余數(shù)還能細(xì)分嗎，如何細(xì)分？三是要提供模型支撐的探究過(guò)程的時(shí)間和空間，促進(jìn)學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位細(xì)分的理解。在核心學(xué)習(xí)活動(dòng)中要讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位運(yùn)作細(xì)分的過(guò)程，感受計(jì)數(shù)單位越來(lái)越小，可以不停地細(xì)分，積累單位細(xì)分的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（如圖18）

圖18 計(jì)數(shù)單位運(yùn)作細(xì)分圖