考慮摩擦的繞島理論及在印尼貫穿流流量估算中的應(yīng)用

楊延召王立偉徐騰飛魏澤勛*

(1.國(guó)防科技大學(xué) 氣象海洋學(xué)院,江蘇 南京211101；2.青島科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,山東 青島266061；3.自然資源部 第一海洋研究所,山東 青島266061)

Godfrey[1]在1989年利用簡(jiǎn)化的流體動(dòng)力學(xué)方程,得到了繞島理論,利用此理論可以借助島嶼周邊及島嶼與海盆邊界之間區(qū)域的風(fēng)應(yīng)力來研究島嶼與海盆邊界之間的水道流動(dòng)情況,這種利用風(fēng)應(yīng)力研究島嶼周邊水流情況的方法早在1973年曾被Veronis[2]采用過,但是沒有被明確的提出。Godfrey用繞島理論估計(jì)了印尼貫穿流的流量,其結(jié)果與Wijffels等[3]利用地轉(zhuǎn)流得到的結(jié)論及后來Gordon等[4-5]的直接測(cè)量結(jié)果具有較好的一致性。自從繞島理論被提出之后,該理論被應(yīng)用于不同的海域。Chen等[6]研究了非洲東海岸,并得到此區(qū)域的流函數(shù)。Cai[7]通過計(jì)算南大洋的流函數(shù),研究了上層環(huán)流的特征。Qu等[8-10]利用繞島理論解釋了中國(guó)南海的上層環(huán)流、熱和淡水的輸送,并研究了呂宋海峽在傳送厄爾尼諾-南方濤動(dòng)時(shí)對(duì)中國(guó)南海的影響。通過分析繞島理論的各個(gè)風(fēng)應(yīng)力路徑,劉欽燕[11-13]解釋了南海貫穿流和印尼貫穿流的聯(lián)系,并研究了南海貫穿流的年際變化。

繞島理論在推導(dǎo)的過程中對(duì)動(dòng)量方程進(jìn)行了深度積分,并進(jìn)行了簡(jiǎn)化,在正壓條件下省略了時(shí)間項(xiàng)、非線性項(xiàng)以及摩擦項(xiàng)。這就需要所研究海盆水深較深或海底較為平坦,局地海洋動(dòng)力調(diào)整時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于風(fēng)場(chǎng)時(shí)間變化尺度,島嶼遠(yuǎn)離西邊界并且水流不能太快,具有一定的局限性。Wajsowicz[14-15]將Godfrey的理論進(jìn)行了推廣,考慮了摩擦、地形及多個(gè)島嶼的情況,分析了各個(gè)通道中底摩擦或側(cè)摩擦的適用性,并將其應(yīng)用于印尼貫穿流。連展[16]在繞島理論中考慮了摩擦-地形的作用,當(dāng)存在海檻時(shí),通過增加水深因子,提出了帶有摩擦-地形作用的多島理論。Pedlosky等[17]等利用數(shù)值模式對(duì)繞島理論進(jìn)行了驗(yàn)證,并考慮省略掉的非線性項(xiàng)、壓力梯度力等因素對(duì)所得結(jié)果的影響。在時(shí)間尺度上,Yang[18]得到了可適用于季節(jié)變化的繞島理論,并解釋了有關(guān)呂宋海峽輸運(yùn)和北赤道流分叉點(diǎn)緯度的關(guān)系。

研究發(fā)現(xiàn),利用繞島理論估計(jì)出的通道流量,和實(shí)際相比,所得數(shù)值往往偏大,主要是忽略摩擦造成的。鑒于以往在利用繞島理論研究問題時(shí),要么忽略摩擦的作用,要么只考慮底摩擦或側(cè)摩擦中的一個(gè)[14,19],此時(shí)對(duì)于有些海峽,比如英吉利海峽,按照Wajsowicz的分析,側(cè)摩擦和底摩擦都會(huì)影響通道的流量,那么在摩擦的選擇上將不太容易。為此,本研究在Wajsowicz的基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮底摩擦和側(cè)摩擦,得到了島嶼的深度積分流函數(shù)解析值,用于估計(jì)通過海峽內(nèi)的流量值,并就不同的島嶼位置情況分別進(jìn)行討論,在不考慮其中能量耗散的情況下,得到了相應(yīng)的帶有摩擦作用的繞島理論。最后將此理論應(yīng)用于印尼貫穿流,并與Wajsowicz的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 帶有摩擦的繞島理論

采用Wajsowicz[14]的線性模型,假設(shè)海盆中存在2個(gè)島嶼,這2個(gè)島嶼均遠(yuǎn)離海盆的西邊界；海盆底部為平底或水深較深,以至于底部地形被包含在流動(dòng)性較弱的下層。摩擦只存在于兩島嶼間的通道內(nèi),設(shè)海盆的深度為,在常態(tài)下,不考慮流體的慣性項(xiàng),對(duì)水平動(dòng)量方程進(jìn)行垂直積分可得

式中,f為科氏參數(shù),ρ0為流體密度,P為流體深度積分的壓力項(xiàng),(F(x),F(y))是流體垂向積分的摩擦項(xiàng),(τ(x),τ(y))表面風(fēng)應(yīng)力,邊界條件的個(gè)數(shù)依賴于摩擦的具體選擇。當(dāng)采用無法向流的邊界條件時(shí),可得在邊界上Ψ為常數(shù)。針對(duì)兩島嶼的相對(duì)位置不同,本文將其分為3種情況:

1)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度與東邊島嶼的緯度部分重疊時(shí)(圖1)。對(duì)式(1),(2)沿曲線C0,C1積分可得式中,為不考慮摩擦?xí)r,東邊島嶼的流函數(shù)值。Δf0,Δf1為兩島嶼各自的南北端科氏參數(shù)差,Δfovp為兩島嶼緯度重合部分南北端的科氏參數(shù)差。C0為東側(cè)島嶼南北端所在緯線、東側(cè)島嶼的西邊界以及海盆東邊界所包圍區(qū)域的周線；C1為西側(cè)島嶼北端所在緯線、西側(cè)島嶼的西邊界、西側(cè)島嶼南端至東側(cè)島嶼的緯線、東側(cè)島嶼的西邊界,東側(cè)島嶼北端至東邊界的緯線以及海盆東邊界所包圍區(qū)域的周線；A→B位于兩島嶼間通道區(qū)域的右端,沿右端島嶼的西邊界,逆時(shí)針方向。

2)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度包含東邊島嶼的緯度時(shí)(圖2)。對(duì)式(1),(2)沿曲線C0,C1積分可得式中,Ψ1,ideal為不考慮摩擦?xí)r的西邊島嶼流函數(shù)的值；C0,C1為各自島嶼南北端所在緯線、島嶼西邊界以及海盆東邊界所包圍區(qū)域的周線。可見,摩擦的存在影響了東邊島嶼的流函數(shù),對(duì)西邊島嶼流函數(shù)沒有影響。

圖1 兩島嶼之間存在部分重疊時(shí)島嶼示意圖Fig.1 Schematic diagram of the stream function when two islands are partially overlapped

圖2 西邊島嶼所在緯度包含東邊島嶼所在緯度時(shí)島嶼示意圖Fig.2 Schematic diagram of the stream function when the latitudes of the eastern island are within those of the western island

3)當(dāng)西邊存在一個(gè)島嶼,且其所在緯度包含于東邊島嶼的緯度時(shí)(圖3)。對(duì)式(1),(2)沿曲線D0,D1積分可得,式中,D0為東側(cè)島嶼南北端所在緯線、東側(cè)島嶼西邊界以及海盆東邊界所包圍區(qū)域的周線,D1為西側(cè)島嶼南北端所在緯線、西側(cè)島嶼西邊界以及東側(cè)島嶼部分西邊界所包圍區(qū)域的周線?？梢?此時(shí)摩擦的存在對(duì)左、右兩端島嶼的流函數(shù)都有影響。

圖3 東邊島嶼所在緯度包含西邊島嶼所在緯度時(shí)島嶼示意圖Fig.3 Schematic diagram of the stream function when the latitudes of the western island are within those of the eastern island

2 Munk-Stommel模型

從以上3種情況的解析式可見,島嶼的流函數(shù)值及通過兩島嶼之間通道的流量T=Ψ0-Ψ1依賴于式中的項(xiàng),即和摩擦的選擇有關(guān)。Wajsowicz[14],Pratt和Pedlosky[19]討論了選擇底摩擦或側(cè)摩擦?xí)r有關(guān)摩擦對(duì)流量的估計(jì),并討論了其在印尼貫穿流中一些島嶼的應(yīng)用,但其中大多以通道中選擇一種摩擦為主。本文同時(shí)考慮通道內(nèi)的底摩擦和側(cè)摩擦,計(jì)算此時(shí)島嶼的流函數(shù)解析解,并得到帶有摩擦的繞島理論。

當(dāng)式(1),(2)中的摩擦項(xiàng)同時(shí)考慮側(cè)摩擦和底摩擦?xí)r,可得

對(duì)于通道中的風(fēng)應(yīng)力項(xiàng)產(chǎn)生的Sverdrup流,其導(dǎo)致的輸運(yùn)相比于整體的輸運(yùn)較小,可忽略不計(jì)[19]。只需解式(5)中對(duì)應(yīng)的齊次方程,其相應(yīng)的特征方程為

根據(jù)卡丹公式[20],其解和相應(yīng)的三次方程判別式

有關(guān)。

圖4 兩島嶼坐標(biāo)位置示意Fig.4 Schematic diagram of the coordinates of the two islands

當(dāng)判別式Δ＜0時(shí),特征方程(6)有4個(gè)實(shí)根,帶入邊界條件,求之,可得式(5)對(duì)應(yīng)的齊次方程的解,具有形式ψ(x,y)=k0+k1er1x+k2er2x+k3er3x,其中r i,i=1,2,3為方程(6)相應(yīng)的實(shí)根,k i,i=1,2,3,4滿足方程:

1)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度與東邊島嶼的緯度部分重疊(圖1)時(shí),島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量為

2)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度包含東邊島嶼的緯度(圖2)時(shí),ε0=1,島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量為

3)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度包含于東邊島嶼的緯度(圖3)時(shí),島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量為此時(shí)

同理,當(dāng)判別式Δ＞0時(shí),特征方程(6)有2個(gè)實(shí)根(0,r)和2個(gè)共軛的復(fù)根(a±bi),將其帶入邊界條件,可得式(5)對(duì)應(yīng)的齊次方程的解具有形式滿下方程組:

從而可得沿積分路徑的摩擦力積分為

可得上述3種情況下島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量公式。

1)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度與東邊島嶼的緯度部分重疊(圖1)時(shí),島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量為

2)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度包含東邊島嶼的緯度(圖2)時(shí),島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量為

3)當(dāng)西邊存在另一個(gè)島嶼,且其所在緯度包含于東邊島嶼的緯度(圖3)時(shí),島嶼的流函數(shù)以及兩島嶼間流量為

有關(guān)判別式不同所對(duì)應(yīng)的兩組解,即聯(lián)合耗散因子r0或m0的解析式,它們反映了通道的寬度、側(cè)摩擦系數(shù)、底摩擦系數(shù)及通道深度之間的組合關(guān)系。在通道寬度、深度固定的情況下,當(dāng)側(cè)摩擦與底摩擦的系數(shù)之比較大時(shí),則側(cè)摩擦起主要作用,此時(shí)的取值傾向于r0,反之,傾向于m0。在通道寬度、摩擦系數(shù)之比固定的情況下,通道的水深越深,此時(shí)的取值傾向于r0,反之,就取m0。

當(dāng)只考慮底摩擦,即側(cè)摩擦系數(shù)AH=0時(shí),式(5)為在邊界條件ψ(0,y)=ψ1,ψ(W,y)=ψ0下求解相應(yīng)的齊次方程可得

3 繞島理論在印尼貫穿流流量估算中的應(yīng)用

印度尼西亞海域位于太平洋—印度洋兩大暖池區(qū)的中間地帶,是典型的海洋大陸帶,區(qū)域內(nèi)有眾多復(fù)雜連通的海峽與其相鄰的大洋之間進(jìn)行著活躍的水交換。印尼貫穿流是聯(lián)系太平洋和印度洋的主要通道,是全球大洋熱鹽環(huán)流輸送帶上的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié),在大洋間的物質(zhì)平衡、動(dòng)量平衡和能量平衡的維持中有重要作用[21]。南海是連接太平洋和印度洋的重要通道,這一分支也被稱印尼貫穿流南海分支或南海貫穿流。兩者作為太平洋和印度洋的樞紐,具有較為復(fù)雜且重要的調(diào)節(jié)關(guān)系[22]。

通過修訂繞島環(huán)流理論的摩擦項(xiàng),Wajsowicz[19]分析表明印尼貫穿流流量的變化與南太平洋的風(fēng)場(chǎng)有著緊密的聯(lián)系,澳大利亞南端緯線和赤道太平洋的緯向風(fēng)應(yīng)力積分是印尼貫穿流流量年代際變化的主要貢獻(xiàn)者。在印度尼西亞海眾多的海峽中,望加錫海峽是印尼貫穿流的主要流入通道,較少流量經(jīng)過其余通道[21-22]。盡管印尼貫穿流不是正壓的,但大部分體積輸運(yùn)被認(rèn)為局限于上層200～300 m,此時(shí)可近似為正壓平底模型?？紤]到通道長(zhǎng)度從赤道延伸到12°S,而澳大利亞島可近似為從赤道延伸到45°S。因此,通道長(zhǎng)度和澳大利亞島嶼南北長(zhǎng)度的上限比率為

本研究采用的風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)是CCMP(Cross-Calibrated Multiplatform)資料[23],它以ERA-40再分析的產(chǎn)品以及歐洲中期天氣預(yù)報(bào)中心ECMWF的業(yè)務(wù)分析產(chǎn)品的10 m洋面風(fēng)場(chǎng)為背景場(chǎng)。該數(shù)據(jù)采用了四維同化的方法,融合了SSM/I,TMI,QuikSCAT等衛(wèi)星探測(cè)資料以及船舶等觀測(cè)資料,相較于ERA-40的產(chǎn)品,其分辨率更高。其產(chǎn)品由美國(guó)宇航局提供,較其他單個(gè)衛(wèi)星平臺(tái)的風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)在精度方面有很大的提高。

本文選用1988—2014年期間共27 a的風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù),它們的空間分辨率為0.25°×0.25°,時(shí)間分辨率為月。通過公式,將海面上10 m處的風(fēng)場(chǎng)轉(zhuǎn)換為風(fēng)應(yīng)力,其中ρ為空氣密度,本文取值為1.3 kg/m3,為所需要的風(fēng)應(yīng)力,U為風(fēng)速大小,為風(fēng)矢量,Cd為拖曳系數(shù)。關(guān)于拖曳系數(shù)的計(jì)算,本文采用Yelland和Taylor[24]的計(jì)算方法:C d×1000=(0.29+3.1/U+7.7/U2),當(dāng)3 m·s-1＜U＜6 m·s-1；Cd×1000=0.6+0.07U,當(dāng)6 m·s-1＜U＜26 m·s-1。

計(jì)算中首先對(duì)風(fēng)速進(jìn)行多年月的平均,得到每月的平均風(fēng)速,然后將其轉(zhuǎn)化為月平均風(fēng)應(yīng)力。有關(guān)積分路徑的選取,本文采用與劉欽燕等[11]相同的積分路徑,即圖5的積分路徑,其中北邊界為0°45'N,南邊界為45°15'S。沿圖中路徑在不考慮摩擦?xí)r對(duì)風(fēng)應(yīng)力進(jìn)行積分,即用Godfrey[1]的繞島理論公式積分,計(jì)算可得在穩(wěn)定態(tài)下印尼貫穿流的流量為10.474 1 SV。

圖5 印尼貫穿流風(fēng)應(yīng)力積分路徑圖Fig.5 Diagram of the integration path of wind stress used for the calculation of the Indonesian throughflow

本文的討論限定在β平面,當(dāng)把整個(gè)太平洋看做一個(gè)密閉海盆,則此時(shí)有Ψ1=0,望加西海峽的平均水深采用H0=300 m,寬度選取W=300 km。有關(guān)摩擦系數(shù)的選擇,不同的文獻(xiàn)取值不同,為方便比較,本文選取了2種摩擦系數(shù):AH=104m2·s-1,Df=2×10-3m2·s-1[14-16]與AH=5×103m2·s-1,Df=5×10-4m2·s-1[14,19]。當(dāng)摩擦系數(shù)取值A(chǔ)H=104m2·s-1,Df=2×10-3m2·s-1[14-16]時(shí),AS=2/3×10-5m2·s-1,可得聯(lián)合耗散因子m0=0.312 8。通過式(8)可得到在同時(shí)考慮2種摩擦?xí)r的流量為,在2種摩擦的作用下其值減少約23.8%。

假若取Wajsowicz[14]和Pratt[19]采用的數(shù)據(jù)AH=5×103m2·s-1,Df=5×10-4m2·s-1,H0=200 m,可得摩擦系數(shù)的值為m0=-0.199 1,進(jìn)而可得到在同時(shí)考慮2種摩擦?xí)r的年際平均估計(jì)流量近似為ψ0,在2種摩擦的作用下其值減少了約16.60%。

比較發(fā)現(xiàn):當(dāng)只考慮側(cè)摩擦?xí)r,流量會(huì)增加；當(dāng)只考慮底摩擦?xí)r,流量會(huì)減少；當(dāng)同時(shí)考慮底摩擦和側(cè)摩擦?xí)r,流量會(huì)減少,減少的幅度較只考慮底摩擦?xí)r更大。繞島理論一般被認(rèn)為高估實(shí)際流量值范圍約為0～25%[14-15,17,19,25],其中主要原因在于缺少摩擦項(xiàng),本文結(jié)論與Pedlosky[25]的推測(cè)是一致的。

4 結(jié) 語

本研究在Wajsowicz的模型基礎(chǔ)上,通過同時(shí)考慮底摩擦和側(cè)摩擦,得到了島嶼的深度積分流函數(shù)解析值；并且就不同的島嶼位置情況進(jìn)行了討論,分別給出了通過海峽內(nèi)通道的流量計(jì)算公式,得到了相應(yīng)的帶有摩擦作用的繞島理論。利用CCMP的風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù),計(jì)算了穩(wěn)定態(tài)下印尼貫穿流的流量,并就只考慮底摩擦、只考慮側(cè)摩擦和綜合考慮底摩擦與側(cè)摩擦三種情況進(jìn)行了對(duì)比,發(fā)現(xiàn):當(dāng)只考慮側(cè)摩擦?xí)r,流量會(huì)增加；當(dāng)只考慮底摩擦?xí)r,流量會(huì)減少；當(dāng)同時(shí)考慮底摩擦和側(cè)摩擦?xí)r,流量會(huì)減少,減少的幅度較只考慮底摩擦?xí)r更大。

文中有關(guān)流函數(shù)的解析表達(dá)式及流量的計(jì)算公式有一定的限制條件,即要求通道的寬度遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度,故結(jié)論有一定的局限性。當(dāng)限制條件不成立時(shí),此時(shí)Munk-Stommel模型將變成高階偏微分方程,有關(guān)其流函數(shù)的解析解,將有待于進(jìn)一步探討。