素代數(shù)上完全保k-交換性的映射

張婷,齊霄霏

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

令A(yù)是實(shí)或復(fù)數(shù)域F上的代數(shù),Φ:A→A是一個(gè)映射。對每個(gè)正整數(shù)n,記Mn(A)={(Sij)n×n:Sij∈A}為A上的n階矩陣環(huán)。于是Φ可以自然地延拓為從Mn(A)到其自身的一個(gè)映射Φn,其定義為

Φn((Sij)n×n)=(Φ(Sij))n×n。

令(P)是算子具有的某個(gè)性質(zhì),如果Φn保持性質(zhì)(P),則稱Φ是n-保持性質(zhì)(P)的;如果對每個(gè)正整數(shù)n,Φ都是n-保持性質(zhì)(P)的,則稱Φ是完全保持性質(zhì)(P)的。完全保持問題主要研究的是算子代數(shù)上完全保持性質(zhì)(P)的映射的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

算子代數(shù)和算子空間上的完全保持問題得到了很多學(xué)者的廣泛關(guān)注。假設(shè)B(X)是Banach空間X上的有界線性算子全體構(gòu)成的代數(shù)。Hadwin和Larson在文獻(xiàn)[1]中給出了B(H)(H為可分的Hilbert空間)上完全秩不增線性映射的具體刻畫。之后文獻(xiàn)[2]將[1]中的工作推廣到B(X)上,并在此基礎(chǔ)上給出了B(X)上初等算子的刻畫(X為實(shí)或復(fù)Banach空間)。文獻(xiàn)[3]和[4]則分別給出有限von Neumann代數(shù)上完全保跡秩的線性映射和一般映射的具體刻畫。Banach空間標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保可逆性、譜、冪等性、平方冪零性、Jordan零積、不動(dòng)點(diǎn)和算子的核的一般滿射的刻畫,可分別參見文獻(xiàn)[5-8]。最近,文獻(xiàn)[9]將文獻(xiàn)[8]的工作推廣到了一般的環(huán)上。令A(yù),B分別是無限維實(shí)或復(fù)Banach空間X,Y上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù),文獻(xiàn)[7]證明了從A到B的每個(gè)完全保交換性的滿射都是同構(gòu)的非零常數(shù)倍或是共軛同構(gòu)的非零常數(shù)倍。之后,文獻(xiàn)[10]將[7]的工作推廣到了含單位元的素環(huán)R上,證明了從R到其自身的每個(gè)完全保交換性的滿射Φ都具有形式Φ=Φ(I)Ψ,其中Φ(I)是環(huán)R中心中的可逆元,Ψ是R上的環(huán)同構(gòu)。

對任意正整數(shù)k,A,B∈A的k-交換子定義為[A,B]k=[[A,B]k-1,B],其中 [A,B]0=A,[A,B]1=[A,B]=AB-BA(參見文獻(xiàn)[11-12])。k-交換子的概念出現(xiàn)在著名的Baker-Compbell-Hausdorff公式

中,它在量子力學(xué)中經(jīng)常被用到。對于映射Φ,對任意A,B∈A,若當(dāng)[A,B]k=0時(shí)有[Φ(A),Φ(B)]k=0成立,則稱Φ保k-交換性;若[A,B]k=0當(dāng)且僅當(dāng)[Φ(A),Φ(B)]k=0成立,則稱Φ雙邊保k-交換性。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文的主要目的是以k-交換性為不變量,繼續(xù)來研究素代數(shù)上的完全保持問題。

令R是環(huán),Z(R)?R表示R的中心。對任意X,Y∈R,若XRY={0}蘊(yùn)涵X=0或者Y=0,則稱R是素環(huán)。Q=Qmr(R)表示R的極大右商環(huán)。Q的中心C稱為R的擴(kuò)展中心。如果R是素環(huán),那么C是一個(gè)域。對更多關(guān)于素環(huán)的性質(zhì),可參見文獻(xiàn)[13]。

令A(yù)是實(shí)或復(fù)數(shù)域上的含單位元I的素代數(shù),k>1是一個(gè)整數(shù)。第一節(jié)給出了本文的主要結(jié)果,證明了A上完全保k-交換性的滿射Φ具有形式Φ=Φ(I)Ψ,其中Φ(I)∈Z(A)是可逆元,Ψ:A→A是環(huán)同構(gòu)(定理1)。第二節(jié)給出了第一節(jié)中主要結(jié)果的一些應(yīng)用。具體地,主要結(jié)果應(yīng)用于算子代數(shù)上,分別得到了因子von Neumann代數(shù)、Banach空間標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)和矩陣代數(shù)上完全保k-交換性滿射的具體刻畫(推論2-4)。

最后需要指出的是,由于文獻(xiàn)[7,10]已給出素環(huán)上完全保交換性映射(即k=1的情形)的具體形式,因此本文主要討論k>1的情形。

1 主要結(jié)果及證明

本節(jié)將討論素代數(shù)上完全保持k-交換性映射的刻畫問題,下面是本節(jié)的主要結(jié)果。

定理1 令A(yù)是實(shí)或復(fù)數(shù)域F上含單位元I的素代數(shù),k>1是一個(gè)整數(shù)。假設(shè)Φ:A→A是滿射,則下列表述等價(jià):

(1)Φ雙邊完全保k-交換性。

(2)Φ2雙邊保k-交換性。

(3)Φ(I)∈Z(A)可逆,且存在環(huán)同構(gòu)Ψ:A→A使得Φ=Φ(I)Ψ。

證明(3)?(1)?(2):顯然成立。

(2)?(3):假設(shè)Φ2雙邊保k-交換性。

斷言1Φ是單射。

此蘊(yùn)涵S=T，所以Φ是單射。

由斷言1即知Φ是A上的雙射。

斷言2Φ(0)=0,Φ(I)∈Z(A)且在C中可逆。

首先證明:對于任意雙邊保持k-交換性的雙射Ψ,有Ψ(Z(A))=Z(A)成立。事實(shí)上,對任意A∈Z(A),由于[A,B]k=0對所有的B∈A都成立,所以[Ψ(A),Ψ(B)]k=0.利用Ψ的滿射性知[Ψ(A),T]k=0對所有的T∈A成立。由文獻(xiàn)[14,引理2.2]即得Ψ(A)∈Z(A). 因此,Ψ(Z(A))?Z(A)。現(xiàn)由Ψ的雙射性可知Ψ-1(Z(A))?Z(A),即Z(A)?Ψ(Z(A))，故Ψ(Z(A))=Z(A)。

通過簡單計(jì)算易知

由于Φ2雙邊保k-交換性,且由Φ的雙射性可知Φ2是雙射,利用上面證明可知Φ2(Z(M2(A)))=Z(M2(A)),即對任意Z∈Z(A),存在Z′∈Z(A)使得

所以Φ(0)=0且Φ(Z)=Z′.特別地,0≠C=Φ(I)∈Z(A)。注意到A的素性蘊(yùn)涵A的擴(kuò)展中心C是一個(gè)域且Z(A)?C([13]).因此C在C中可逆。

現(xiàn)對任意A∈A,令Ψ(A)=C-1Φ(A).顯然Ψ2:M2(Α)→M2(C-1Α)仍是雙邊保k-交換性的雙射,且滿足

Ψ(I)=I,Ψ(0)=0

(1)

斷言3Ψ是可加的。

因此

(2)

其中

考慮系數(shù)α4。直接計(jì)算可得

顯然α4≠0。也注意到等式(2)蘊(yùn)涵α4(T+S)+α5T+α6S=0。利用T,S的任意性得

α5=α6=-α4≠0

(3)

現(xiàn)在對等式(2)利用Ψ2的保k-交換性以及等式(1),可得

因此,α4Ψ(T+S)+α5Ψ(T)+α6Ψ(S)=0.該式結(jié)合(3) 式得到Ψ(T+S)=Ψ(T)+Ψ(S)對任意的T,S∈A都成立。故Ψ是可加的。

由Ψ的可加性和Ψ(0)=0即得

Ψ(-T)=-Ψ(T)對所有的T∈Α都成立。

(4)

斷言4Ψ是可乘的。

因而Ψ(TS)=Ψ(T)Ψ(S)對任意T,S∈A均成立,即Ψ是可乘的。

現(xiàn)在,Ψ的可乘性與可加性蘊(yùn)涵其值域C-1A是一個(gè)環(huán)。因此C-2=C-1I·C-1I∈C-1A,即存在T∈A使得C-2=C-1T。進(jìn)而有C-1=T∈A，故Ψ是A上的環(huán)自同構(gòu),且滿足Φ=CΨ。

證畢。

由定理1的證明可得下面的推論成立。

推論1令A(yù)是數(shù)域上含單位元I的代數(shù),k>1是一個(gè)整數(shù)。假設(shè)Φ:A→A是保單位元的滿射,且滿足Φ(0)=0，則下列表述等價(jià):

(1)Φ雙邊完全保k-交換性。

(2)Φ2雙邊保k-交換性。

(3)Φ是環(huán)同構(gòu)。

2 主要結(jié)果的應(yīng)用

本節(jié)將給出第一節(jié)中主要結(jié)果的幾個(gè)應(yīng)用。

假設(shè)B(H)是復(fù)Hilbert空間H上全體有界線性算子構(gòu)成的代數(shù)。稱M是von Neumann代數(shù),如果M是B(H)的一個(gè)C*-子代數(shù),并且滿足雙換位子性質(zhì)M″=M,其中

M′={T∈B(H):TA=AT,?A∈M}

且M″=(M′)′。進(jìn)一步地,若M的中心Z(M)=M∩M′=CI,則稱M是因子。

注意到每個(gè)因子von Neumann代數(shù)都是素的。因此,應(yīng)用定理1到因子von Neumann代數(shù)上,可得下面的推論。

推論2 令M是因子von Neumann代數(shù),k>1是一個(gè)整數(shù)。假設(shè)Φ:M→M是滿射。則下列表述等價(jià):

(1)Φ雙邊完全保k-交換性。

(2)Φ2雙邊保k-交換性。

(3)存在非零復(fù)數(shù)c和M上的環(huán)自同構(gòu)Ψ使得Φ=cΨ。

令X是Banach空間?；貞浄QA是標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù),如果A是包含B(X)中全體有限秩算子和單位元I的B(X)的子代數(shù)。顯然,A也是素代數(shù),且其中心是FI。此外,由文獻(xiàn)[15]可知,標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上的環(huán)同構(gòu)具有形式A|→TAT-1,其中T:X→X是有界線性雙射算子或者是共軛有界線性雙射算子。

這樣,對標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)應(yīng)用定理1,可得下面推論。

推論3令X是數(shù)域F上的Banach空間且A是X上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)。假設(shè)Φ:A→A是滿射，則下列表述等價(jià):

(1)Φ雙邊完全保k-交換性。

(2)Φ2雙邊保k-交換性。

(3)存在非零數(shù)c,有界線性雙射算子或共軛有界線性雙射算子T:X→X使得Φ(A)=cTAT-1對所有A∈A成立。

特別地,對于矩陣代數(shù),利用文獻(xiàn)[9,推論3.7],可得下面推論。

推論4 令Mn是n×n矩陣全體構(gòu)成的代數(shù),k>1是一個(gè)整數(shù)。假設(shè)Φ:Mn→Mn是滿射，則下列表述等價(jià):

(1)Φ雙邊完全保k-交換性。

(2)Φ2雙邊保k-交換性。

(3)存在非零數(shù)c,數(shù)域F上的環(huán)同構(gòu)τ與可逆矩陣T∈Mn使得Φ(A)=cTAτT-1對所有A∈Mn都成立,其中對于A=(aij)∈Mn,Aτ=(τ(aij))。