零售商股權融資“對賭協(xié)議”的運營模型分析

于 輝，鄧 杰

(重慶大學經濟與工商管理學院，重慶 400030)

1 引言

2017年8月，一部《戰(zhàn)狼II》引爆了全國人民的愛國熱情，其票房也一路高歌猛進，截止9月1號，已超55億人民幣，當初與之簽訂對賭協(xié)議的北京文化賺的盆滿缽盈[1]。對賭協(xié)議又稱“估值調整機制(valuation adjustment mechanism，VAM)”，是投融資雙方在達成協(xié)議時，對于未來不確定情況的一種附加約定，使得投融資雙方可以根據(jù)企業(yè)的實際績效調整原來的投融資條件。對賭協(xié)議常用于規(guī)制投融資雙方的關系，化解投資估值不一致所產生的矛盾，促進投融資雙方更好地戰(zhàn)略合作、實現(xiàn)雙贏。自2003年首次出現(xiàn)在我國融資案例之后，已經被越來越多的企業(yè)用作一種解決未來經營績效不確定性、促成投融資雙方達成一致協(xié)議的重要手段[2]。在國內影視界，對賭協(xié)議以“保底發(fā)行”的名義正成為業(yè)內的一種主要的交易模式；而在國內的股權投資項目中，更是被大量使用。36氪數(shù)據(jù)顯示，我國有23%的VC/PE投資項目使用了對賭[3]；據(jù)東財Choice的數(shù)據(jù)，截止2017年8月10日，新三板市場上共有446份尚在實施中的對賭協(xié)議，涉及150多家企業(yè)，相比去年同期249份以及去年全年的290份處于實施中的對賭協(xié)議，對賭協(xié)議的數(shù)量呈爆發(fā)式增長[4]。然而在我國眾多的對賭的案例中，有不少企業(yè)在股權融資后(特別是簽定對賭協(xié)議之后)并沒有實現(xiàn)運營激勵和雙贏的局面，而是造成了運營困局、投融資雙方沖突加劇甚至企業(yè)易主等現(xiàn)象：在“海富投資案”中，投融資雙方因為對賭協(xié)議的履約問題多次對簿公堂，陳曉與摩根士丹利對賭輸?shù)粲罉冯娖?，李途純對賭英聯(lián)、摩根士丹利、高盛等金融機構輸?shù)籼幽?，蔡達標引入中山連動和今日資本后身陷囹圄，張?zhí)m與鼎輝對賭輸?shù)袅饲谓?，而今?月萬達甩賣632億元資產的背后更是有著對賭協(xié)議的影子。本文關注企業(yè)在股權融資后出現(xiàn)運營矛盾沖突和績效下滑的“對賭困局”的根本原因，探求企業(yè)規(guī)避“對賭困局”的投融資雙方的合作本質。對此，本文將從企業(yè)運營的角度深入分析投融資雙方的對賭問題，探討對賭對參與者利益、行為等方面的具體影響。

對賭協(xié)議最早出現(xiàn)在國外企業(yè)并購的案例之中，又被稱為“earnouts”[5]、“contingent contract”[6]。其實質是并購中的一種兩階段支付結構，投標人在第一階段先向目標公司的股東支付一部分資金，然后根據(jù)目標公司是否實現(xiàn)約定的績效目標來決定第二階段中的支付條件[7]。Kohers和Ang[8]認為這種支付結構可以規(guī)避估值差距帶來的風險，在鎖定管理層的同時可以對其進行激勵，以實現(xiàn)約定的業(yè)績目標。Craig和Simith[9]也認為通過適當?shù)臈l款設計，可以有效解決并購中的信息不對稱和管理層變動等問題。此外，對賭協(xié)議還可以有效減少企業(yè)并購中的逆向選擇[8]和道德風險[10]。

由于我國市場環(huán)境和法制環(huán)境與國外不同，國內關于對賭協(xié)議的研究也有別于國外學者。目前國內關于對賭協(xié)議的研究主要從法律層面和企業(yè)層面兩個角度展開。在法律層面上，學者主要關注對賭協(xié)議的合同屬性以及法律效力問題。目前關于對賭協(xié)議的合同屬性存在“射幸合同”[11-12]和“附條件合同”[13]兩種主流說法，觀點并不統(tǒng)一。但是對賭協(xié)議的法律效力得到了學者的普遍認可，認為將對賭協(xié)議作為一種合法的契約將對我國的資本實踐產生積極的作用[14]。在企業(yè)層面上，學者主要關注對賭協(xié)議在企業(yè)中的運行機制和管理激勵功能[15]。在運行機制方面，肖菁[16]通過案例分析的方式指出在制定對賭協(xié)議時應重視正確評價企業(yè)已實現(xiàn)的財務業(yè)績，合理預測未來業(yè)績。林暢杰[17]基于可持續(xù)增長模型探究了簽訂對賭協(xié)議可能引發(fā)的財務效應，發(fā)現(xiàn)對賭容易誘發(fā)企業(yè)的短期化行為，削弱企業(yè)的長期競爭力。對此，劉峰濤等[18]以博弈論作為研究方法，發(fā)現(xiàn)采用重復對賭協(xié)議機制可以有效克服短期利益的束縛和信息風險，避免由于一次性簽約業(yè)績目標過高所采取的冒險行為。在管理激勵方面，已有大量學者從公司治理的角度進行了深入探討[19-20]，在此基礎上，米詠梅[21]認為在企業(yè)內部激勵機制缺失的情況下，通過對賭協(xié)議可以使企業(yè)處于一種高度壓力狀態(tài)，激發(fā)企業(yè)的凝聚力。張波等[22]以理論模型證明了對賭協(xié)議是一種能夠有效保護投資者收益和激勵管理層的最優(yōu)制度安排。正如劉銀國等[23]關于業(yè)績條件與股權激勵有效性的研究中所發(fā)現(xiàn)的“過高或過低的業(yè)績條件都難以實現(xiàn)股權激勵的預期效果”，在對賭協(xié)議的使用中同樣存在這樣的問題，項海容等[24]利用契約理論也論證了對賭協(xié)議對企業(yè)家存在激勵效應，但不同難度的對賭目標對企業(yè)家的激勵效應是不同的。

總體而言，隨著對賭協(xié)議在我國資本實踐中的應用越來越廣泛，學術界關于企業(yè)對賭問題的研究不再僅僅局限于法律層面的探討，越來越多的學者開始以理論、實證模型對企業(yè)的對賭協(xié)議的運行機制和管理激勵功能進行了研究。在此基礎上，本文基于企業(yè)運營視角對常見于我國股權投融資案例中的對賭問題進行了研究，屬于在新的研究視角下對對賭協(xié)議的運行機制和管理激勵功能相結合的研究拓展。我們之所以選擇從企業(yè)運營視角考察對賭問題，原因如下：其一，對賭產生的根源是市場需求信息的不確定以及一定程度上的信息不對稱，這導致投融資雙方對于企業(yè)價值認知的不一致，于是期望通過觀察到未來企業(yè)的績效狀況后對之前的投融資條件進行調整。正如Koller等[25]所言，一家企業(yè)為其股東創(chuàng)造價值的能力與價值創(chuàng)造的多少是評估其價值的關鍵要素。而企業(yè)運營正是價值創(chuàng)造的根源，基于運營視角分析企業(yè)對賭問題具有很強的現(xiàn)實意義。其二，對賭協(xié)議常以凈利潤、銷售額、凈利潤增長率、銷售額增長率等財務業(yè)績?yōu)闃说?，即對賭業(yè)績目標。而財務業(yè)績的實現(xiàn)離不開企業(yè)運營的支持，在進行業(yè)績目標的設定時，也必須充分考慮企業(yè)的實際運營狀況，否則，一旦設置不切實際的對賭業(yè)績目標，容易引起投融資雙方不必要的爭執(zhí)。

本文基于企業(yè)運營視角研究了零售商與投資機構之間的對賭問題，構建了無對賭和有對賭兩種情況下的零售企業(yè)運營模型，通過運營指標的對比，揭示了造成企業(yè)“對賭困局”的根本原因，并給出了消除或減輕“對賭困局”的有效途徑，為股權融資下的合作共贏提供了協(xié)同運作要點。

2 問題描述與基準模型

2.1 問題描述與基本假設

如圖1所示，考慮如下情況的零售商：零售商以批發(fā)價w向供應商采購數(shù)量為q的商品，并以單價p向市場銷售。市場需求ξ為隨機變量，其均值為μ，標準差為σ，但是分布函數(shù)F未知。處于成長期的零售商面臨較好的市場機遇，可以通過付出努力來開拓市場，額外增加市場需求，但是由于自身資金瓶頸無力擔負市場開拓的高額成本，故在銷售季節(jié)開始之前，零售商引入私募股權投資機構(PE)以增資擴股的方式進行股權投資，投資額為B。為了保障投資方的利益，同時起到激勵融資方的作用，零售商與PE在達成一致協(xié)議時額外簽訂了以銷售額為對賭標的、以現(xiàn)金為補償方式的對賭協(xié)議，協(xié)議具體內

圖1 股權融資及供應鏈運作流程圖

容可表示如下：

在約定期間內(此處簡化約定時間為單個銷售周期)，若企業(yè)的銷售額低于M，則零售商向PE支付現(xiàn)金：(1-pmin{q,ξ+βe}/M)B，其中pmin{q,ξ+βe}為零售企業(yè)的實際銷售額；若銷售額高于M，則PE應向零售商支付現(xiàn)金：(pmin{q,ξ+βe}/M-1)B。

本文不考慮股權融資成本以及稅收，另外，我們假定PE采用市凈率法對零售企業(yè)進行估值。事實上，作為常見的估值方法，市凈率法具有凈資產賬面價值數(shù)據(jù)容易獲取且穩(wěn)定，不易被人操縱等有點而被廣泛使用。假設擴展市場后產品的銷售價格不變，且企業(yè)的運營決策仍然由零售商制定，以自身資產最大化為目標。本文其它假設如下：

(1)期末未銷售的產品殘值為0，且不考慮缺貨懲罰。

(2)零售商的自有資金足以保證訂貨所需，但不用于市場開拓。

(3)融資資金充足，即融資額足夠零售商進行市場開拓，多余資金計入企業(yè)資本公積。盡管很多時候投資者的投資金額并不是由融資方決定的，但是若單個投資者所投資金不足以使企業(yè)進行充分的市場擴張，零售商可以繼續(xù)增資擴股，直到資金充足。此處我們假定零售商從單個投資者獲取足夠多的資金對模型不會有本質的影響。

本文其它參數(shù)設定如下表：

表1 參數(shù)說明表

2.2 基準模型

本節(jié)考慮零售商在不進行市場開拓正常經營時訂貨策略的制定。在市場需求信息嚴重缺失的情況下，一種經典的決策方式是Scarf[27]提出的極大極小準則，該準則可以很好的克服信息缺失所帶來的決策困難，已被廣泛應用于庫存和供應鏈管理、排隊論、投資組合等領域，又稱為魯棒優(yōu)化方法?？紤]如下系統(tǒng)：

圖2 基準模型流程圖

零售商只掌握了市場需求ξ的均值μ和標準差σ，其單位商品的批發(fā)價和銷售價格分別為w，p。零售商以一種保守和審慎的決策方式來制定訂貨量，最大化最差分布下的期望資產。即考慮以下優(yōu)化問題：

其中，Γ表示所有滿足均值為μ，標準差為σ的非負需求分布的集合，本文假定Γ為凸集。根據(jù)Scarf[27]，零售商的最優(yōu)訂貨量可由以下引理給出。

引理1(Scarf[27])：如果零售商銷售產品的價格為p，成本為w，那么最大化所有均值為μ，標準差為σ的需求分布中的最差期望利潤的訂貨量為：

在Scarf的極大極小準則中，當市場需求風險較高時，零售商的訂貨量為0，只有在低需求風險的情況下零售商才會訂貨。

3 零售商股權融資下的供應鏈決策

TAR

PE的總資產為：

TAPE

為便于深入分析對賭給零售商帶來的影響，我們將在無對賭協(xié)議和有對賭協(xié)議兩種情況下討論并對比零售商的運營決策。

3.1 無對賭協(xié)議下的運營決策

假設PE未與零售商簽訂對賭協(xié)議，此時，采用極大極小準則的零售商其決策目標為：

(1)

問題(1)是一個典型的魯棒優(yōu)化問題，可分兩步對該問題進行求解。第一步，解內層極小化問題，也即在所有均值為μ，標準差為σ的分布中找一個使零售商期望資產最小的分布，這樣的分布被稱為“最差分布(worst-case distribution)”(Scarf[27])，對應的期望資產則稱為“最差期望資產”。第二步，求解最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)努力水平，使零售商的最差期望資產達到最大。對此，我們先考慮內層極小化問題的如下等價形式：

(2)

問題(2)的求解過程實際上是尋找一個分布，使得零售商的期望銷售額在所有均值為μ，標準差為σ的分布中最小，此時對應的期望銷售額被稱為“最差期望銷售額”。顯然，問題(2)的最差分布就是問題(1)的最差分布，由下述命題所示。

命題1：對于無對賭協(xié)議下的魯棒優(yōu)化問題(1)，最差分布為：

證明：見附錄1。

根據(jù)命題1，我們馬上可以得到問題(1)的內層極小化函數(shù)值，如下所示。

引理2：無對賭協(xié)議下零售商在最差分布下的期望資產為：

該期望資產函數(shù)連續(xù)可微。

證明：見附錄2。

通過前面的準備，我們可以給出問題(1)的最優(yōu)解。

定理1無對賭協(xié)議時，零售商魯棒行為下的最優(yōu)決策為：

證明：見附錄3。

相較于基準模型，零售商由于在股權融資之后額外付出了努力，在增加市場需求的同時其訂貨量也得以提升，再也不會出現(xiàn)完全不訂貨的情況。新的訂貨量除了受產品價格以及市場需求的影響，還受到零售企業(yè)成長性的影響。企業(yè)成長性越高，零售商的努力水平以及訂貨量越高。當然，在零售商簽訂了對賭協(xié)議的情況下，其努力水平和訂貨量可能又會有不同的變化，接下來我們將對其進行討論。

3.2 對賭協(xié)議下的運營決策

高度不確定的外部市場環(huán)境導致零售企業(yè)未來的經營狀況也具有很大的不確定性，即便零售企業(yè)具有良好的成長性，股權投資者仍會承受巨大的風險。因此，PE往往要求與零售商簽訂對賭協(xié)議，一方面可以給PE的投資資金提供一道安全鎖，另一方面又可以激勵零售商付出足夠的努力擴張市場，促進企業(yè)快速成長，為雙方帶來高額回報。

現(xiàn)假設PE與零售商簽訂了以銷售額為業(yè)績目標、以現(xiàn)金為補償形式的對賭協(xié)議，那么零售商在銷售期末的總資產變?yōu)椋?/p>

TAR_VAM=

PE的總資產為：

在極大極小準則下，零售商的決策目標為：

類似于零售商在無對賭協(xié)議下的決策問題(1)，問題(3)內層關于分布函數(shù)極小化的過程與問題(2)具有相同的最差分布，如命題1所示。因此，我們可以得到問題(3)在最差分布下的期望資產函數(shù)。

引理3：在簽訂對賭協(xié)議下零售商的最差期望資產為：

該期望資產函數(shù)連續(xù)可微。

證明：同引理2。

根據(jù)引理3，我們可以得出零售商在對賭時的最優(yōu)訂貨以及努力決策。

定理2當零售商股權融資且與PE對賭時，魯棒行為下的最優(yōu)決策為

證明：見附錄4。

對比定理1，我們馬上可以發(fā)現(xiàn)對賭對零售商的努力水平和訂貨決策的影響。

推論1：對賭協(xié)議的簽訂會提升零售商的努力水平和訂貨量。

證明：見附錄5。

推論2：零售商的持股比例、對賭業(yè)績目標越低，對賭協(xié)議越能激勵零售商付出更多努力；而企業(yè)成長性、融資額、零售價格越低，則激勵效果越差。

證明：見附錄6。

通過前面的分析，我們發(fā)現(xiàn)對賭協(xié)議確實能激勵零售商更加努力地開拓市場，增加市場需求，以提高訂貨量和經營業(yè)績，從而避免因零售商努力不足導致經營業(yè)績不足時可能遭受的經濟損失。但是這種激勵是否對企業(yè)有利、是否可以保證企業(yè)更好地運營則還需進一步分析。

4 數(shù)值仿真

前文以理論研究的形式分別給出并對比了零售商在對賭和不對賭兩種情況下的運營決策，發(fā)現(xiàn)了對賭在零售商運營過程中的激勵作用。本章將通過數(shù)值仿真進一步考察：(1)對賭對投融資雙方資產的影響，(2)對賭對零售企業(yè)的影響，以便分析對賭更深層次的管理意義。不失一般性，本文采用Andersson等[28]的方法來生成隨機市場需求的均值與方差，具體步驟如下：

1)在區(qū)間[0,1000]中隨機生成20個從小到大排列的整數(shù)點d1,d2,…,d20；

為便于比較，我們假設有兩個情況完全相同的零售商與PE，不參與對賭協(xié)議的零售商與PE其代號為“1”，參與對賭的零售商與PE代號為“2”。仿真所有數(shù)據(jù)單位統(tǒng)一取“1”，其它仿真參數(shù)設置見下表：

表2 仿真基本參數(shù)表

作為對賭協(xié)議中的核心指標，對賭業(yè)績目標的高低歷來都是投融資雙方爭議的話題。因此我們首先考察對賭業(yè)績目標對零售商、PE凈資產的影響(圖3上)以及零售企業(yè)資產、銷售額、凈利潤(圖3下)的影響，如下圖所示：

圖3 不同對賭業(yè)績目標下各主體資產的對比

從圖3我們可以發(fā)現(xiàn)，參與對賭的零售商其資產隨著對賭業(yè)績目標的增加而降低，當業(yè)績目標過高時可能低于未參與對賭的零售商的資產。PE的資產則有著完全相反的變化趨勢。值得注意的是，對賭情況下零售企業(yè)的銷售額始終高于沒有對賭的零售企業(yè)銷售額，而其總資產和凈利潤則始終低于沒有對賭的零售企業(yè)總資產以及凈利潤。這表明對賭協(xié)議可以激勵零售商努力實現(xiàn)甚至超越對賭約定的財務指標，但同時也扭曲了零售商的運營行為，降低了企業(yè)總資產、凈利潤。特別是在業(yè)績目標較低時，激勵作用更凸出，而扭曲現(xiàn)象也更加明顯，對賭協(xié)議是一把雙刃劍。

企業(yè)成長性的高低決定了企業(yè)的發(fā)展速度，是股權融資問題的核心。下面我們將考察對賭與不對賭時不同的成長性對投融資雙方的影響。其中，上圖為成長性對零售商和PE凈資產的影響，下圖為成長性對零售企業(yè)資產、銷售額和凈利潤的影響。

圖4 零售企業(yè)不同成長性下各主體資產的對比

此外，對零售企業(yè)的估值倍數(shù)作為對賭協(xié)議產生的根源，更直接決定了投融資雙方的持股比例，也是需要重點考察的對象。上圖表示估值倍數(shù)對零售商、PE凈資產的影響，下圖表示估值倍數(shù)對零售企業(yè)資產、銷售額和凈利潤的影響。

圖5 不同估值倍數(shù)下各主體資產的對比

觀察圖5不難發(fā)現(xiàn)，無論是否對賭，零售商的資產都會隨著估值倍數(shù)的增加而增加，PE的資產則隨之降低。這是因為估值倍數(shù)增加之后，零售商的持股比例提高而PE的持股比例降低。與前面類似，由于對賭協(xié)議對零售商的激勵作用，參與對賭的零售商資產總是高于未參與對賭的零售商的資產，而PE的資產則較低。對零售企業(yè)而言，估值倍數(shù)的增加會提升企業(yè)的總資產和凈利潤，由于估值提升之后零售商的持股比例增加，對賭對其激勵作用下降，因此對賭時零售企業(yè)的銷售額有所降低，但始終高于不對賭時的企業(yè)銷售額。

從上面的仿真可以發(fā)現(xiàn)，對賭協(xié)議可以激勵零售商付出更多地努力去實現(xiàn)對賭約定的財務指標，但同時也扭曲了零售商的運營行為，降低了企業(yè)總資產和凈利潤。對PE而言，對賭并不能直接增加其資產，除了在對賭業(yè)績目標非常高的時候，PE的資產總是低于未對賭時的資產。因此，對賭對PE最大的作用就是能極大地提升對賭標的財務業(yè)績的增長，而這種增長必定能極大地提升企業(yè)的外部估值，使得企業(yè)在下輪融資或者上市之后價值增加，此時PE才會獲取高額的投資回報。所以對賭協(xié)議對PE而言更是一種實現(xiàn)戰(zhàn)略目標的手段，而非當前資本增值的手段。

5 結語

本文基于運營視角研究了對賭對企業(yè)發(fā)展以及股權投融資雙方行為的影響，通過有無對賭協(xié)議兩種情況下零售商的運營決策以及投融資雙方的資產、利潤和對賭標的等運營指標的對比，揭示了眾多企業(yè)在股權融資后出現(xiàn)運營矛盾沖突和績效下滑的“對賭困局”的原因，并為避免或減輕“對賭困局”、實現(xiàn)投融資雙方的合作共贏提供了協(xié)同運作要點，主要研究結論有：

(1)對賭協(xié)議的簽訂會對零售商的運營行為產生“扭曲激勵”作用。一方面，與已有學術研究成果類似，本文研究發(fā)現(xiàn)對賭協(xié)議的存在可以激勵零售商付出更多地努力去拓展市場、增加需求以及訂貨量，使得零售商自身資產高于無對賭協(xié)議的零售商的資產，并在零售商最大化自身資產的過程中實現(xiàn)了對賭標的財務指標——銷售額的增長。另一方面，對賭協(xié)議的這種激勵作用也扭曲了零售商的運營行為，與無對賭協(xié)議下的企業(yè)相比，對賭降低了零售企業(yè)的總資產和凈利潤，不利于企業(yè)的長期發(fā)展，并且激勵作用越強，扭曲現(xiàn)象就越明顯。另外，PE的凈資產和對賭財務指標——銷售額之間也不具有同向增長的可能。

(2)對賭協(xié)議的“扭曲激勵”作用是導致“對賭困局”的根本原因。我們發(fā)現(xiàn)，當零售商過度關注對賭業(yè)績目標的實現(xiàn)而盲目擴張市場時，會降低企業(yè)的總資產、凈利潤等財務指標，嚴重甚至會導致企業(yè)資金鏈斷裂；而當零售商過度注重企業(yè)整體資產和凈利潤的增加時，則無法實現(xiàn)對賭業(yè)績目標，并且零售商還會遭受巨額的現(xiàn)金損失。我們認為，正是由于對賭協(xié)議的這種“扭曲激勵”作用，增加了企業(yè)的運營難度，當管理者無法在這兩者之間做出合理的平衡時，企業(yè)出現(xiàn)運營困局在所難免，投融資雙方甚至可能因利益述求不一致而產生矛盾沖突。因此，對賭協(xié)議的“扭曲激勵”效果是導致眾多企業(yè)在簽訂對賭協(xié)議之后出現(xiàn)運營矛盾沖突和績效下滑的“對賭困局”的罪魁禍首。

(3)選擇恰當?shù)膶€標的、設置合理的業(yè)績目標是解決“對賭困局”的關鍵途徑。若零售商有選擇對賭標的的權力，則可以根據(jù)企業(yè)當前的運營戰(zhàn)略選擇與之相匹配的對賭標的，從根本上消除對賭協(xié)議的扭曲作用。若對賭標的的設置完全由投資方確定且與企業(yè)當前運營戰(zhàn)略不一致，那么零售商則應該保證對賭業(yè)績目標不會過高和過低。從前面的模型和仿真結果可以看出，業(yè)績目標過低，容易使零售商只看重短期利益，加重其運營策略的扭曲程度，不利于企業(yè)的發(fā)展；若業(yè)績目標過高，則零售商容易因無法完成對賭業(yè)績目標而付出巨額賠償。若能設置合理的對賭業(yè)績目標，則可以令零售商在完成對賭業(yè)績目標的同時保證企業(yè)的資產、凈利潤等不會出現(xiàn)嚴重下滑的情況。

盡管本文以企業(yè)運營視角探討了以銷售額為標的、以現(xiàn)金為補償方式的雙向對賭協(xié)議對股權投融資雙方的影響，發(fā)現(xiàn)了對賭協(xié)議的扭曲激勵現(xiàn)象，為“對賭困局”的解答提供了運營基礎，為股權融資下的合作共贏提供了協(xié)同運作要點，拓展了對賭協(xié)議理論研究的范疇。但是本文的研究只給出了一些啟發(fā)式的性質，并沒有給出對賭中一些具體問題的定量化解決方案，比如更有效的對賭機制設計、合理的對賭業(yè)績目標的選擇、考慮PE退出時投融資雙方在企業(yè)運營中的博弈等問題。本文的研究工作只是對賭問題中很小的一個組成部分，要真正厘清對賭在股權投融資以及企業(yè)成長中的作用，給出更多地關于對賭問題的管理啟示，需要大量的調研、案例分析以及后續(xù)研究工作的進一步開展。

附錄：

(1)命題1的證明

問題(2)的求解需要用到對偶過程，首先給出其對偶問題：

s.t.y0+y1x+y2x2≤pmin{q,x+βe}, ?x≥0

(2)

記g(x):=y0+y1x+y2x2，SV(x):=pmin{q,x+βe}，則SV(x)可表示為如下形式：

(3)

因此，當且僅當g(x)=SV(x)時原問題有非零分布。于是我們可以分以下兩種情況進行討論：

由圖6可以看出，滿足均值為μ，方差為σ2的最差分布是兩點分布，記為(x1,Pr1)，(x2,Pr2)。下面我們分別計算兩種情形下各自的最差分布。

圖6 函數(shù)g(x)與SV(x)的兩種可能的關系

情形1：兩個切點

根據(jù)此時g(x)與SV(x)在這兩個切點處的函數(shù)值與一階導數(shù)值相等，我們得到下列方程組：

解這個方程組，我們得到：x1+x2=2(q-βe)。根據(jù)原問題(2)的約束條件，我們可以將兩點分布表示為以下單參數(shù)形式：

將x1+x2=2(q-βe)代入(6)式，即可求出情形1的最差分布：

(5)

情形2：一個交點、一個切點

由于交點的橫坐標為x=0，可以直接得到此時(7)式所示的兩點分布：

(6)

(2)引理2的證明

因此問題(1)的目標函數(shù)值，也即最差分布下的期望資產為：

(3)定理1的證明

二階偏導為：

定理得證。

(4) 定理2的證明

定理得證。

(5)推論1的證明

(7)

對此，我們需要考察：

(10)

故(10)式大于0，這意味著(9)式成立。

故(10)式小于0，考慮到(9)式兩邊分數(shù)都小于0，這同樣意味著(9)式成立。

(6)推論2的證明