聊聊動態(tài)塑性和黏塑性*

王禮立，董新龍

（寧波大學(xué)沖擊與安全工程教育部重點實驗室，浙江 寧波 315211）

在爆炸/沖擊載荷下，材料本構(gòu)關(guān)系通常分解為球量部分（容變律）和偏量部分（畸變律）分別加以處理。前者歸結(jié)為高壓下不同形式狀態(tài)方程（非線性彈性律）的研究，而后者則歸結(jié)為率相關(guān)剪切律的研究[1- 2]。

就偏量部分而言，當涉及結(jié)構(gòu)和材料的動態(tài)塑性時，出現(xiàn)一個基本概念性問題：到底應(yīng)該使用術(shù)語“塑性變形”（plastic deformation）還是“塑性流動”（plastic flow)來表示？這其實涉及到對材料塑性本構(gòu)關(guān)系基本類型的認識。

變形和流動的差別主要在哪兒呢？這可以從材料本構(gòu)關(guān)系角度來討論。

在固體力學(xué)中，人們討論應(yīng)力作用下的變形，其偏量本構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)為應(yīng)力與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系，例如圖1(a)所示的Hooke 彈性定律：

應(yīng)力與應(yīng)變一一對應(yīng)，不隨時間變化。

在流體力學(xué)中，人們討論應(yīng)力作用下的流動，其偏量本構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)為應(yīng)力與應(yīng)變率之間的函數(shù)關(guān)系，例如圖1(b)所示的Newton 黏性定律：

應(yīng)力與應(yīng)變率一一對應(yīng)；而應(yīng)變 γ 則隨時間變化，是通過 γ ˙(t) 對時間t 積分確定的。如果想在應(yīng)力-應(yīng)變坐標中刻畫Newton 黏性定律，則如圖1(c)所示，表現(xiàn)為恒應(yīng)變率下給定應(yīng)力下的一條水平線，這條水平線隱含著應(yīng)變在給定應(yīng)力和應(yīng)變率下隨時間增長的過程。

固體力學(xué)的學(xué)者從應(yīng)力-應(yīng)變型本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，習慣于用應(yīng)力-應(yīng)變坐標來表述材料受應(yīng)力作用時的變形；但當材料進入到遵循應(yīng)力-應(yīng)變率型本構(gòu)關(guān)系的塑性流動（下文將詳細討論）時，如果還繼續(xù)用應(yīng)力-應(yīng)變坐標來表述材料的塑性流動，就將在到達屈服點后出現(xiàn)類似于圖1(c)那樣的所謂“理想塑性”平臺。

圖 1 (a) 在τ-γ 坐標中表示的Hooke 彈性定律（τ=Gγ）；(b)在 坐標中表示的Newton 黏性定律（τ=η γ˙ ）；(c) 在τ-γ 坐標中表示的Newton 黏性定律（τ=η γ˙ ）Fig. 1 (a) The Hooke's elastic law (τ=Gγ) described in τ-γ coordinates; (b) The Newton's viscous law (τ=η γ˙ ) described in coordinates; (c) The Newton's viscous law (τ=η γ˙ ) described in τ-γ coordinates

其實，力學(xué)的主要二級分支學(xué)科，如一般力學(xué)（剛體系力學(xué)）、固體力學(xué)及流體力學(xué)等的劃分，正是基于不同的材料偏量本構(gòu)關(guān)系類型進行區(qū)分的：一般力學(xué)研究的是不會變形不會流動的剛體，固體力學(xué)研究的是具有應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系（以下簡稱為形變型本構(gòu)關(guān)系）的變形體，而流體力學(xué)研究的是具有應(yīng)力-應(yīng)變率本構(gòu)關(guān)系（以下簡稱為流動型本構(gòu)關(guān)系）的流動體。這些都是理想化模型。

對于實際材料，常常需要處理更復(fù)雜的、變形與流動相耦合的情況。按照流變學(xué)（rheology）的觀點，萬物皆變，萬物皆流，變形與流動共存。彈塑性本構(gòu)模型正是彈性變形與塑性流動的耦合模型。朱兆祥先生曾經(jīng)回憶當年在深圳羅湖橋接待錢學(xué)森先生回國時，看到錢學(xué)森先生在入關(guān)填寫表格時，在填寫“專業(yè)”一欄寫過一項“流變學(xué)”，這在當時是跨固體-流體、跨力學(xué)-材料學(xué)的前沿學(xué)科。

那么塑性是像彈性固體那樣遵循形變型本構(gòu)關(guān)系（塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系），還是像黏性流體那樣遵循流動型本構(gòu)關(guān)系（黏塑性應(yīng)力-應(yīng)變率本構(gòu)關(guān)系）呢？下面，我們將從宏觀塑性本構(gòu)理論和微觀位錯動力學(xué)理論角度分別加以討論。

1 從宏觀塑性本構(gòu)理論的角度來看

由經(jīng)典塑性力學(xué)的發(fā)展史知[3-4]，塑性增量理論先于全量理論。從本構(gòu)關(guān)系類型的角度看，前者屬于流動型本構(gòu)關(guān)系，而后者則屬于形變型本構(gòu)關(guān)系，實際上是前者在簡單加載（比例加載）條件下的特殊情況。

從塑性增量理論出發(fā)，按照Levy（1871）-Mises（1913）最早提出的塑性增量理論，塑性應(yīng)變偏量增量正 比 于應(yīng)力偏量 Sij：

式中： dλ 是非負標量比例因子。式(3a)兩側(cè)同除以dt 后，可改寫為以應(yīng)變率表征的形式：

有時稱為St. Venant-Levy-Mises 方程。更一般的Prandtl-Reuss 理論則進一步考慮了耦合的彈性變形。顯然，當1 /λ˙=η=const. 時，式(3b) 就化為Newton 黏性律，因而Levy-Mises 增量理論（式(3)）可看作Newton 黏性律的非線性推廣。

把式(3c)等號兩側(cè)平方，演算時注意到等效應(yīng)力 σeあ和等效塑性應(yīng)變率的如下定義：

即可確定：

把式(5)代回式(3c)，可得到以應(yīng)變率形式表述的如下流動型本構(gòu)關(guān)系：

例如，把忽略彈性應(yīng)變率并以等效應(yīng)變率形式表示的Cowper-Symonds 公式：

將式(7)代入式（6）可得：

式中： σ0為準靜態(tài)流動應(yīng)力，D 和q 為材料常數(shù)。這就是張量形式的基于Cowper-Symonds 公式的應(yīng)變率相關(guān)的流動型黏塑性本構(gòu)方程。

注意，式(3)～式(6)并不依賴于是否存在屈服面或靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，既適用于無屈服面黏塑性理論，如Bodner-Parton 的無屈服面模型；也適用于含屈服面或靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線理論，例如基于Cowper-Symonds 公式(式(7))的式(8)以存在屈服面或靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線為前提，是所謂超應(yīng)力類型的黏塑性本構(gòu)方程。

2 從微觀位錯動力學(xué)的角度來看

塑性微觀機理的研究曾經(jīng)經(jīng)歷過從“理想晶體整體滑移”機理到“實際晶體位錯運動”機理的發(fā)展過程。由下面的討論可知，這兩種機理實際上分別對應(yīng)于形變型塑性本構(gòu)方程和流動型黏塑性本構(gòu)方程。

2.1 “理想晶體整體滑移”機理

式中：2A 為振幅。則對應(yīng)的剪切應(yīng)力τ 為：

圖 2 理想晶體的剪切滑移Fig. 2 Shear slip in a perfect crystal

因此，能使上排原子相對于下排原子產(chǎn)生整體塑性滑移所需的最大剪切應(yīng)力 τb表征了理想晶體的所謂理論剪切強度（理論屈服強度），一般b 和a 為同一量級的量，因而近似地有：

這一機理給出了如下的彈塑性本構(gòu)關(guān)系：

式中：應(yīng)變γ 的下標e 和p 分別指彈性和塑性。由此可見，式(11)屬于應(yīng)力-應(yīng)變一一對應(yīng)的形變型本構(gòu)關(guān)系。

但是，式(10)給出的理論屈服強度與實際金屬晶體的實測屈服強度值相對比，有量級性的差別（兩者之比達102～104量級）。這歸因于實際晶體存在內(nèi)在缺陷。1934 年，Orowan[5]、Polanyi[6]和Taylor[7]幾乎同時、又分別獨立地，提出了位錯的概念，并為隨后的實驗觀察所證實。

2.2 “實際晶體位錯運動”機理

含位錯的實際晶體，在切應(yīng)力τ 作用下，通過位錯在晶體中的一步步運動來完成滑移，如圖3 所示。

關(guān)于這一位錯運動機理，有兩點特別值得強調(diào)：（1）由于位錯的局域化作用，使得推動位錯一步步移動所需的切應(yīng)力（實際屈服強度）遠比推動晶體整體滑移所需的切應(yīng)力（理論屈服強度）小得多，這是含缺陷的實際晶體與完善的理想晶體強度有量級性差別的根本原因。（2）在“理想晶體整體滑移”機理中，一旦外加切應(yīng)力達到晶體理論屈服強度就可瞬時滑移以實現(xiàn)塑性形變。與之相反，在位錯運動機理中，滑移是通過位錯一步步移動的時間相關(guān)過程來實現(xiàn)的，因而是一個與時間相關(guān)的、即與位錯運動速度vd相關(guān)的塑性流動過程。

圖 3 由位錯運動形成的滑移。Fig. 3 Slip formations due to dislocation movement.

考察在給定的宏觀大小為l×l×l 的晶體，在微觀尺度上有N 個平行的可動刃型位錯，在切應(yīng)力τ 作用下，位錯以某一速度移動，如圖4 所示。

Orowan[8]提出聯(lián)系微觀位錯運動與宏觀塑性畸變γp的如下方程：

圖 4 一列平行位錯的運動造成的宏觀塑性切應(yīng)變Fig. 4 The macroscopic plastic shear strain γ p(=tanθ) caused by the motion of a row of parallel dislocations

在位錯運動機理中，位錯運動速度vd（=dl/dt）扮演決定性作用，式(12a)對時間t 微分后有：

式中：φ 為位相因數(shù)，ρm（=N/l2）為可動位錯密度，b 為位錯的Burgers 矢量大小。當可動位錯密度對時間的變化率是可忽略的小量時，則近似地有如下的Orowan 簡化式：

Orowan 公式（式(12)）的重要意義在于：它建立了微觀位錯運動諸參量與宏觀塑性畸變率的聯(lián)系，這是跨尺度研究能否實現(xiàn)宏觀工程應(yīng)用的關(guān)鍵所在。

Orowan 公式中的關(guān)鍵性微觀參量是位錯運動速度vd，實驗表明它依賴于作用力τ 和溫度T。vd實際上反映了位錯跨越短程勢壘實現(xiàn)塑性滑移的成功概率。位錯跨越各種短程勢壘一方面靠外力τ 做功，另一方面靠晶格熱振動（熱起伏）的熱激活能U。由此，按照統(tǒng)計力學(xué)有關(guān)熱激活過程的分析可得：

式中：v0為位錯振動頻率f0與位錯平均運動距離χ 之乘積，k 為Boltzmann 常數(shù)。式（13）是位錯速度vd的Arrhenius 方程，把它代入Orowan 簡化式（式（12c）），就得到塑性應(yīng)變率的Arrhenius 方程：

式(14a)是基于位錯動力學(xué)熱激活機制的流動型塑性本構(gòu)關(guān)系的一般形式。就本構(gòu)關(guān)系類型而言，與宏觀塑性增量理論是一致的，為塑性增量理論提供了微觀物理機制。至于其具體形式，則取決于熱激活能U 如何依賴于作用力τ 的函數(shù)形式U(τ)。

引入以下無量綱參數(shù)：

式中：τc為特征應(yīng)力，V（=blx）為激活體積， V*為τ=0 時的激活體積。

則式（14a）可改寫為如下無量綱形式：

注意，按激活能的定義有：

顯然，黏塑性本構(gòu)關(guān)系的具體形式取決于U(τ)或V(τ)，這是一切基于位錯動力學(xué)的黏塑性本構(gòu)關(guān)系研究的核心所在。

例如，按照Seeger 的林位錯模型，U(τ)可近似地表為τ 的線性函數(shù)（對應(yīng)于 τ - V 坐標中的矩形勢壘曲線，如圖5(a)所示），則在半對數(shù)坐標中顯示為一直線，τ 隨的量級性增加而升高：

式中：c 為表征材料的應(yīng)變率敏感性的材料參數(shù)。

圖 5 位錯勢壘示意圖Fig. 5 Schematics of dislocation barrier

聯(lián)系到人們熟知的Johnson-Cook 方程：

此式與Seeger 模型（式（15））一致，只是做了存在準靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系σs(ε)的假設(shè)，以它代替了式(15)的τ0，并相應(yīng)地引入了無量綱超應(yīng)力(σ-σs(ε))/σs(ε)。

關(guān)于U(τ)，除了Seeger 線性模型外，研究者們還建議了眾多的非線性關(guān)系式，其中具有代表性的如下。

（1）Davidson-Lindholm 模型[9]，由下式表示：

式中：Z 為材料參數(shù)，當Z 取不同值時，就對應(yīng)于不同的勢壘形狀，如圖5(b)所示。當Z =∞時，=1 ，就化為Seeger 模型。

（2）Kocks-Argon-Ashby 模型[10]，如下式所示：

式中：U0（=τcV*）為應(yīng)力為零時的激活能。此式由于包含p 和q 兩個參數(shù)（0 ＜p≤1 ，1 ≤q≤2 ），顯然比Davidson-Lindholm 模型（式17）更為一般化。

（3）Wang 雙曲型勢壘譜模型[11]，如式（19）和圖5(c)所示：

此處應(yīng)變率權(quán)重函數(shù) ψi一般是、和T 的函數(shù)，并滿足：

至此，式（14）至式（19）都是基于Orowan 簡化式（式(12c)）展開分析的，忽略了可動位錯密度對時間的變化率的影響，從而在實質(zhì)上忽略了以位錯增殖機理為基礎(chǔ)的應(yīng)變硬化效應(yīng)。

Zerilli 等[12]考慮了應(yīng)變硬化效應(yīng)，并且注意到不同晶格結(jié)構(gòu)的應(yīng)變率敏感性是不同的，對于體心立方晶格（BCC）和面心立方晶格（FCC）分別提出以下本構(gòu)關(guān)系：

被稱為Zerilli-Armstrong 方程，式中還增加了長程非熱應(yīng)力σg項（第1 項）和考慮了晶粒尺寸d 對于流動應(yīng)力的影響（最末項），C1、C2、C3、C4和k 均為材料參數(shù)。

在以上討論中，在沒有熱激活的幫助時，位錯為跨過勢壘所必需的力學(xué)閾值應(yīng)力（mechanical threshold stress）τ0，已假定是恒值（參看圖5 中的勢壘峰值應(yīng)力τ0）。實際上，一旦微結(jié)構(gòu)發(fā)生演化，τ0也隨之變化，在宏觀上表現(xiàn)為應(yīng)變率歷史效應(yīng)。對此，F(xiàn)ollansbee 等采用Kocks-Argon-Ashby 的非線性模型（式（18）），但把τ0看作應(yīng)變和應(yīng)變率的函數(shù)，則式（18）當以正應(yīng)力來表示時，可寫成如下無量綱形式[13]：

式中： g0=U0/(G(T)b3)

為無量綱歸一化激活能，G(T)為彈性剪切模量，一般是溫度T 的函數(shù)。式（21）稱為力學(xué)閾值應(yīng)力模型。下一步的關(guān)鍵和難點在于如何確定力學(xué)閾值應(yīng)力演化關(guān)系 σ0=σ0(ε,ε˙) ，通常依靠一系列包含不同應(yīng)變/應(yīng)變率歷史的“動態(tài)預(yù)加載-卸載-再加載”實驗來確定。

有關(guān)U(τ)非線性關(guān)系式的更詳細討論，可參考文獻[1-2]的第6 章。由上述討論可知，不論U(τ)取什么形式，其實都是式（14）的具體表現(xiàn)，都屬于流動型黏塑性本構(gòu)關(guān)系。

3 討 論

由以上從宏觀塑性本構(gòu)理論和微觀位錯動力學(xué)機理兩個角度分別對于“塑性”的討論，一致地表明，所謂“塑性”本質(zhì)上是速率/時間相關(guān)的黏塑性流動，塑性本構(gòu)關(guān)系屬于率相關(guān)流動型黏塑性本構(gòu)關(guān)系。這一關(guān)系同時適用于加載和卸載。

對于流動型本構(gòu)關(guān)系，理應(yīng)在應(yīng)力-應(yīng)變率坐標中討論，而難以用應(yīng)力-應(yīng)變圖來描述，除非在給定應(yīng)變率下，表現(xiàn)為一系列不同應(yīng)變率下的不同的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。即使這樣，這些所謂的應(yīng)力-應(yīng)變曲線其實隱含著應(yīng)變在給定應(yīng)力和應(yīng)變率下隨時間增長的過程，不同于形變型本構(gòu)關(guān)系的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

不難理解，對于那些習慣于準靜態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變分析（不包含應(yīng)力波傳播的時間效應(yīng)），以及習慣于在應(yīng)力-應(yīng)變坐標中討論形變型本構(gòu)關(guān)系的研究者，如果繼續(xù)在應(yīng)力-應(yīng)變坐標中討論本應(yīng)以應(yīng)力-應(yīng)變率所表征的流動型塑性本構(gòu)關(guān)系，難免會遇到各種困擾，以致模糊了黏塑性流動律本身的特征和表現(xiàn)。

特別在彈性形變律與塑性流動律相耦合的彈-黏塑性情況下，尤其需要注意區(qū)分形變律與流動律。在主應(yīng)力（σ，σ2，σ3）空間，如圖6 所示[14]，如果加載和卸載路徑都落在Mises 屈服圓柱以內(nèi)，則服從彈性形變律。如果加載路徑落在Mises 屈服圓柱以外、劉氏斷裂鐘以內(nèi)，則塑性流動遵循黏塑性流動律（式(6)、式(14)），與之相耦合的彈性變形則繼續(xù)遵循彈性形變律；一旦卸載，黏塑性流動部分將遵循同一黏塑性流動律（式(6)、式(14)）卸載，與之相耦合的彈性變形則遵循同一彈性形變律卸載。這時，對于給定的應(yīng)力加載歷史σeff(t)，由塑性流動律可以確定對應(yīng)的塑性應(yīng)變率歷史，從而進一步通過時間積分可確定相應(yīng)的塑性應(yīng)變響應(yīng)。不過要注意，當應(yīng)力卸載時，對應(yīng)的塑性應(yīng)變率當然也跟著降低，但積分所得的塑性應(yīng)變εeff(t)并不立即減小而會隨時間繼續(xù)增加，直到卸載應(yīng)力落到和落在Mises 屈服圓柱以內(nèi)，塑性流動停止，只剩下彈性卸載；因而實際上并不存在本構(gòu)關(guān)系意義上的塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，也不存在基于塑性形變理論假設(shè)所提出的所謂“后繼屈服面”和“塑性變形的彈性卸載”，等等?，F(xiàn)有塑性力學(xué)教材的部分相關(guān)內(nèi)容是否應(yīng)作相應(yīng)修改，無疑給我們提出了一個挑戰(zhàn)。

圖 6 應(yīng)力空間中的Mises 屈服圓柱和劉氏斷裂鐘面[14]Fig. 6 Mises yielding cylinder and Liu's bell-like fracture surface in principal stress space[14]

在爆炸/沖擊的高應(yīng)變率載荷下，結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)問題常常歸結(jié)為應(yīng)力波的傳播和相互作用。一旦涉及動態(tài)塑性（黏塑性）時，問題就歸結(jié)為基于形變型彈性本構(gòu)關(guān)系的彈性波與基于流動型本構(gòu)關(guān)系的黏塑性波耦合傳播和相互作用的問題。一旦包含加載過程與卸載過程及其相互作用，問題變得益發(fā)復(fù)雜化，值得今后視具體研究情況作進一步探討。