剛性平頭彈正侵徹鋼筋混凝土靶的阻力模型*

劉永佑，楊華偉，張 杰，王志勇，王志華,3

（1. 太原理工大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，山西 太原 030024；2. 材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024；3. 青海大學(xué)土木工程學(xué)院，青海 西寧 810016）

鋼筋混凝土因其優(yōu)異的性能在軍事和民用建筑領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，為了更好地摧毀目標(biāo)或發(fā)揮防護(hù)功能，對(duì)于鋼筋混凝土在侵徹打擊下動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究具有十分重要的意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于彈體侵徹素混凝土的研究已相對(duì)成熟。鋼筋混凝土方面，Young[1-2]在經(jīng)歷了數(shù)千次實(shí)驗(yàn)后，提出了彈體侵徹巖石、土、混凝土、鋼筋混凝土的統(tǒng)一經(jīng)驗(yàn)公式，可較好地預(yù)測(cè)侵徹深度，但受限于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ捅旧淼奶攸c(diǎn)，無法給出侵徹阻力等中間變量和運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間變化的關(guān)系。Luk 等[3]、Forrestal 等[4]認(rèn)為侵徹過程中鋼筋只起到阻礙混凝土裂紋開展的作用，忽略了其提供的直接阻力，并基于此建立了侵徹模型，但其計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差20%以上。黃民榮等[5]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)鋼筋的破壞模式有兩種：彎曲拉伸破壞和彎曲剪切破壞，并據(jù)此建立了兩種失效模式下彈體侵徹鋼筋混凝土的阻力模型，然而只適用于彈體低速撞擊靶體，導(dǎo)致模型應(yīng)用受限。歐陽春等[6]、周寧等[7]、穆朝民等[8]在空腔膨脹理論的基礎(chǔ)上，考慮了鋼筋對(duì)彈體侵徹提供的直接阻力，認(rèn)為鋼筋發(fā)生彎曲變形破壞，建立了阻力模型；劉志林等[9]認(rèn)為鋼筋發(fā)生彎曲拉伸耦合斷裂失效，分析其對(duì)彈體的阻力作用。此外，他們注意到侵徹后彈體接觸到的鋼筋發(fā)生斷裂，未接觸到的鋼筋則完好無損。

大量研究表明，根據(jù)不同速度條件下彈體響應(yīng)的機(jī)制，可將侵徹劃分為4 個(gè)階段[10]，即：（1）剛性彈侵徹階段（侵徹速度小于800 m/s）；（2）變形彈侵徹階段（侵徹速度介于800～1 500 m/s）；（3）半流體侵徹階段（侵徹速度介于1 500 ～3 000 m/s）；（4）流體侵徹階段（侵徹速度大于3 000 m/s）。本文中將研究撞擊速度為800 m/s 以下的剛性彈侵徹問題，并從鋼筋彎曲剪切破壞方面分析，且基于以下假設(shè)：（1）鋼筋與混凝土的粘結(jié)為理想粘結(jié)；（2）忽略鋼筋與彈體之間、鋼筋與混凝土之間的摩擦力；（3）彈體與鋼筋接觸時(shí)，只在接觸點(diǎn)發(fā)生相互作用；（4）彈體侵徹鋼筋混凝土靶體時(shí)，受力均勻且彈道不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。以鋼筋網(wǎng)眼中心、鋼筋交匯處、鋼筋網(wǎng)格一邊中點(diǎn)等3 個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，建立彈體侵徹鋼筋混凝土靶體的阻力模型，將計(jì)算結(jié)果與Young 公式進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果吻合良好，表明本文中提出的理論模型能夠較為合理地預(yù)測(cè)侵徹深度及其他侵徹過程量并給出彈體各運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間變化關(guān)系，進(jìn)一步得到最不利的撞擊位置及在此條件下的侵徹深度計(jì)算公式。

1 剛性彈體侵徹鋼筋混凝土的理論模型

彈體侵徹鋼筋混凝土厚靶的彈道軌跡包含了兩部分，即在入靶面形成的錐形前坑區(qū)域以及與彈體等直徑的隧道區(qū)域。對(duì)于平頭彈，Li 等[11]利用滑移線理論得出前坑深度為Hrc=0.707d0，其中d0為彈體直徑。

1.1 隧道階段

1.1.1 基于剛塑性假設(shè)下單根鋼筋的動(dòng)態(tài)分析模型

單根鋼筋的受力分析如圖1 所示（取一半為研究對(duì)象），A、H 為塑性鉸位置， λ 為塑性鉸A、H 間的水平距離，q 為混凝土提供給鋼筋的壓力，近似簡(jiǎn)化為均布荷載，Mp、Qp為鋼筋塑性極限彎矩、剪力，F(xiàn)z為彈體軸向侵徹阻力。

圖 1 單根鋼筋受力分析圖Fig. 1 Stress analysis diagram of single steel bar

設(shè)鋼筋具有有限的剪切強(qiáng)度Qp，并忽略在極限狀態(tài)時(shí)彎矩M 和剪力Q 之間的相互作用，則在塑性鉸A 處有MA=Mp且QA=Qp。

在小變形階段，對(duì)AH 段列豎直方向的動(dòng)量定理:

式中： vi1為彈體撞擊到第i 層鋼筋到鋼筋失效間的彈體任意時(shí)刻速度； Fzi為彈體撞擊到第i 層鋼筋時(shí)彈體受到的軸向侵徹阻力。

將式（1）、（2）對(duì)時(shí)間積分得：

式中： vi為彈體第i 次碰到鋼筋時(shí)的速度。

AH 段繞H 點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng)，列動(dòng)量矩定理：

式中：為鋼筋塑性極限彎矩。

式（5）對(duì)時(shí)間積分得：

聯(lián)立式（3）和（6）得：

則：

由于塑性極限彎矩Mp和剪切強(qiáng)度Qp、混凝土對(duì)鋼筋的阻力q 都是常數(shù)，式（8）表明，在此階段塑性鉸H 是一個(gè)駐定鉸。

由式（3）得塑性鉸A 所在的鋼筋端部的橫向速度：

彈體的速度與塑性鉸A 所在的鋼筋端部的橫向速度并不相同，由式（4）可知：

加速度為：

聯(lián)立式（3）、（4）、（9），截面A 兩側(cè)的相對(duì)速度為：

將相對(duì)速度對(duì)時(shí)間積分可得A 截面兩側(cè)的相對(duì)位移：

根據(jù)余同希等[13]的研究成果，S1i的極限值取為0.3d1且當(dāng)鋼筋剪切失效時(shí)的彈體侵徹位移：

1.1.2 多根鋼筋的動(dòng)態(tài)分析模型

由1.1.1 節(jié)知，當(dāng)彈體撞擊到一根鋼筋時(shí)，塑性鉸H 是駐定鉸，則當(dāng)彈體撞擊到n 根鋼筋時(shí)，每根鋼筋的塑性鉸位置都為 λi。

式中：bj為第j 根鋼筋與彈頭部分重合的長度。

對(duì)其積分得：

可得，彈體的速度：

加速度：

由式（3）、（9）、（19），每根鋼筋截面A 兩側(cè)的相對(duì)位移為：

彈體頭部接觸鋼筋，且鋼筋剪切失效時(shí)的彈體侵徹位移：

1.1.3 混凝土的動(dòng)態(tài)分析模型

Forrestal 等[4]利用空腔膨脹理論得出彈體在隧道區(qū)受到混凝土的阻力為：

任意時(shí)刻的加速度、速度、位移表達(dá)式為：

1.2 模型算法流程

圖2 為彈體侵徹多層鋼筋的示意圖，其中，n 為鋼筋層數(shù)，h1為首層鋼筋的埋置深度，hn為鋼筋網(wǎng)間距。在隧道階段，依據(jù)彈體是否與鋼筋直接撞擊，分為兩種工況：（1）彈體撞擊到鋼筋，侵徹阻力包括鋼筋與混凝土兩部分的作用；（2）彈體未撞擊到鋼筋或鋼筋失效，此時(shí)彈體僅受到混凝土提供的侵徹阻力。

圖3 為彈體侵徹半無限厚靶的算法流程圖。其中，首先輸入的參數(shù)包括（1）彈體參數(shù)：彈體質(zhì)量、直徑、長度、侵徹速度；（2）鋼筋參數(shù)：鋼筋密度、屈服強(qiáng)度、直徑、首層鋼筋埋置深度、鋼筋網(wǎng)間距；（3）混凝土參數(shù)：混凝土的無側(cè)限抗壓強(qiáng)度、密度等。根據(jù)首層鋼筋埋置深度與開坑深度的大小關(guān)系，判定彈體在進(jìn)入隧道階段時(shí)，是否撞擊到鋼筋，之后不斷循環(huán)鋼筋與混凝土階段，直到彈體速度為零，其中在每一個(gè)階段，取適當(dāng)時(shí)間步長△t 計(jì)算每個(gè)階段的參量，不斷循環(huán)，直到達(dá)到其邊界條件，跳出此階段進(jìn)入下一個(gè)階段。

圖 2 彈體侵徹半無限厚靶過程示意圖Fig. 2 Schematic diagram of a projectile penetrating a semi-infinite thick target

圖 3 彈體侵徹半無限厚靶算法示意圖Fig. 3 Schematic diagram of a projectile penetrating a semi-infinite thick target

2 模型驗(yàn)證與分析

2.1 經(jīng)典公式

Young[1-2]通過開展大量實(shí)驗(yàn)研究，得出了侵徹土、巖石、鋼筋混凝土的統(tǒng)一公式：式中：M 為彈體質(zhì)量；A 為彈體的截面面積；vs為彈體侵徹靶體的初始撞擊速度；K 為縮尺效應(yīng)系數(shù)，當(dāng)M＜182 kg 時(shí)，K=0.46M0.15；當(dāng)M≥182 kg 時(shí)，K=1。N 為彈頭性能系數(shù)，對(duì)于平頭彈N=0.56；R 為阻力系數(shù)，對(duì)混凝土R =0.085 Kc(11-P)(tchc)-0.06(35/σc)0.3，其中σc為實(shí)驗(yàn)時(shí)混凝土的無側(cè)限抗壓強(qiáng)度； Kc=(F/W1)0.3，W1為靶體寬度與彈體直徑的比值，F(xiàn)=20，如果W1＞F，Kc=1；P 為混凝土中按體積計(jì)算的含鋼百分率；tc為混凝土的凝固時(shí)間；hc為混凝土目標(biāo)的厚度。在沒有足夠的數(shù)據(jù)無法計(jì)算R 值時(shí)，采用R=0.9。

由于缺乏大口徑平頭彈侵徹鋼筋混凝土厚靶的公開實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文中將不同彈體直徑和質(zhì)量（80、90、100 kg 作為工況1～3）、不同撞擊速度（600、410、780 m/s 作為工況3～5）等5 種工況的計(jì)算結(jié)果與Young 公式的計(jì)算結(jié)果對(duì)比來驗(yàn)證模型的有效性。選取的靶體的參數(shù)：靶體尺寸為2 m×2 m×2 m，無側(cè)限抗壓強(qiáng)度fc'=35 MPa，鋼筋密度為7 850 kg/m3、鋼筋屈服強(qiáng)度為400 MPa，鋼筋直徑d1=8 mm，網(wǎng)眼尺寸60 mm，首層鋼筋埋置深度為200 mm，體積配筋率2%，鋼筋層間距為160 mm；彈體參數(shù)見表1。

表 1 計(jì)算侵徹深度Table 1 Calculating penetration depth

此外，由于彈體撞擊到鋼筋的位置具有隨機(jī)性，本文中，如圖4 所示，以3 種典型位置的計(jì)算結(jié)果與Young 公式進(jìn)行比較，比較結(jié)果見表1。表1 中計(jì)算結(jié)果與Young 公式吻合良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的可靠性。

圖 4 不同著靶點(diǎn)位置Fig. 4 Different target positions

2.2 分析不同著靶點(diǎn)

2.1 節(jié)的分析表明：當(dāng)鋼筋直徑較小時(shí)，不同著靶位置對(duì)于侵徹深度的影響較小。本節(jié)中，將彈靶參數(shù)改為：彈體長度為666 mm，質(zhì)量m0=25 kg，彈體撞擊速度為304 m/s；靶體尺寸為2 m×2 m×2 m，無側(cè)限抗壓強(qiáng)度=35 MPa，鋼筋直徑d1=30 mm，網(wǎng)眼尺寸60 mm，首層鋼筋埋置深度100 mm，體積配筋率2%，鋼筋層間距為50 mm。并分別對(duì)彈體直徑為100 mm 和140 mm 進(jìn)行分析，著重研究不同著靶點(diǎn)對(duì)于侵徹深度的影響，計(jì)算結(jié)果見圖5～6。從圖5 中可以看出，彈體撞擊到鋼筋交匯處侵徹深度最大；從圖6中可以看出，彈體撞擊到鋼筋網(wǎng)眼中心侵徹深度最大。

圖 5 侵徹深度隨時(shí)間變化圖（彈體直徑為100 mm）Fig. 5 Penetration depth varing time at different target positions for the projectile with the diameter of 100 mm

圖 6 侵徹深度隨時(shí)間變化圖（彈體直徑為140 mm）Fig. 6 Penetration depth varing time at different target positions for the projectile with the diameter of 140 mm

2.3 平頭彈侵徹鋼筯混凝土靶的工程計(jì)算公式

根據(jù)防護(hù)角度的最不利位置，平頭彈侵徹鋼筋混凝土厚靶的工程計(jì)算公式推導(dǎo)如下：

由2.2 知，彈體直徑與網(wǎng)眼尺寸的比值不同，最大侵徹深度的著靶點(diǎn)不同。由于無法預(yù)估撞擊到的鋼筋層數(shù)，且鋼筋對(duì)于彈體的阻滯作用較小，因此，通過計(jì)算彈體侵徹素混凝土靶體的侵徹深度，可根據(jù)鋼筋層間距估算彈體撞擊的鋼筋層數(shù)和本文提出的解析模型，得到最終的侵徹深度。

以在侵徹階段首次撞擊到鋼筋時(shí)為計(jì)算起始點(diǎn)，此時(shí)速度為v1。

（1）根據(jù)Forrestal 等[4]計(jì)算侵徹素混凝土靶體的侵徹深度s：

（3）得到彈體撞擊到x+1 層鋼筋時(shí)的速度vx+1。

①由混凝土阻力引起速度的減小，從彈體首次撞擊到鋼筋到第x 層鋼筋，依據(jù)動(dòng)能定理得：

②由鋼筋阻力引起的速度減小量：

第x+1 層鋼筋時(shí)彈體速度為：

當(dāng)彈體直徑小于鋼筋網(wǎng)眼尺寸時(shí)，彈體撞擊到鋼筋網(wǎng)眼中心時(shí)只受到混凝土提供的阻力，相比其他情況，可知此時(shí)受到的阻力越小，侵徹深度越大，越為不利。

綜上所述，總侵徹深度L 的公式為：

式中：k 為彈體直徑與鋼筋網(wǎng)眼尺寸的比值，h1為首層鋼筋埋置深度。

一根鋼筋中點(diǎn)：

3 結(jié) 論

本文基于彈體侵徹素混凝土的經(jīng)典理論，將鋼筋的失效模式考慮為彎曲剪切破壞后，建立平頭彈侵徹鋼筋混凝土的阻力模型。將計(jì)算所得的結(jié)果與經(jīng)典Young 公式進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果吻合良好，表明了模型的可靠性，并能夠較為合理地預(yù)測(cè)侵徹深度及其它侵徹過程量并給出彈體各運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間變化關(guān)系，通過分析不同著靶點(diǎn)位置對(duì)于侵徹深度的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)彈體直徑小于鋼筋網(wǎng)眼尺寸時(shí)，彈體撞擊到鋼筋網(wǎng)眼中心時(shí)，彈體受到的阻力較小，侵徹深度越大；當(dāng)彈體直徑大于鋼筋網(wǎng)眼尺寸時(shí)，最不利著靶點(diǎn)位置視彈體直徑與網(wǎng)眼尺寸的比值而定。最后，根據(jù)防護(hù)角度的最不利位置提出了平頭彈侵徹鋼筋混凝土厚靶的工程計(jì)算公式。