算子代數(shù)上的可乘左導子

賈 娟

(太原學院 應用數(shù)學系，山西 太原 030032)

0 引言

一般地，若對上面的映射δ沒有任何線性或可加假設(shè)，則稱δ為可乘(Jordan)左導子.關(guān)于環(huán)與算子代數(shù)上的各類可乘映射何時是可加的問題，一直備受許多學者的關(guān)注.本文的目的是考慮算子代數(shù)上可乘左導子的結(jié)構(gòu)性質(zhì).

本文首先在一般的環(huán)上討論可乘左導子的結(jié)構(gòu)性質(zhì),之后再把該結(jié)果應用于算子代數(shù)上.結(jié)構(gòu)如下.令是含有單位元1和非平凡冪等元e1的環(huán).假設(shè)δ ：→是可乘左導子.本文首先給岀了δ的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，即其定滿足：

(i)δ(ei)=0，δ(eiej)=δ(eiejei)={0}，ejδ(eiei)={0}，ejeiδ(eiei)={0},其中i≠j∈{1,2}，e2=1-e1.

(ii)存在可乘左導子δij:eiei→eiej使得對所有x∈成立,i，j∈{1,2}.特別地，若δ在eiei(i= 1，2)上是可加的，則(i)與(ii)是δ成為可乘左導子的充要條件(定理1).在此基礎(chǔ)上，得到了三角環(huán)上可乘左導子的完全刻畫(見推論2),證明了素環(huán)上不存在非零的可乘左導子(推論3)，進而得到標準算子代數(shù)與因子von Neumann代數(shù)上均不存在非零的可乘左導子(推論4-5).

1 主要結(jié)果及其應用

本節(jié)將在一般環(huán)上研究可乘左導子的刻畫問題，之后再把該結(jié)果應用于算子代數(shù)上.

下面是本節(jié)的主要結(jié)果.

定理1令是含有單位元1和非平凡冪等元e1的環(huán).假設(shè)δ :→是可乘左導子，則下列表述成立：

1)δ(ei)=0，δ(eiej)=δ(eiejei)={0},其中i≠j∈{1,2}，e2=1-e1.

2)ejδ(eiei)={0}，ejeiδ(eiei)={0},其中i≠j∈{1,2}.

3)存在可乘左導子δij:eiei→eiej使得對所有x∈成立,i，j∈{1,2}.

特別地，若δ還滿足條件δ(eixei+eiyei)=δ(eixei)+δ(eiyei)(i = 1，2)對所有元x,y∈成立，那么δ是可乘左導子當且僅當上面的表述1)-3)成立.

斷言1δ(0)=0.

顯然有δ(0)=δ(0·0)=0·δ(0)+0·δ(0)=0.

斷言2δ(e1)=δ(e2)=0.

(1)

類似可證δ(1-e1)=0.

斷言3δ(ij)={0}，i≠j∈{1,2}.

對任意元x12∈12，由斷言2有

δ(x12)=δ(x12(1-e1))=x12δ(1-e1)+(1-e1)δ(x12)=(1-e1)δ(x12).

此式蘊含e1δ(x12)=0.

另一方面，由斷言2有

δ(x12)=δ(e1x12)=x12δ(e1)+e1δ(x12)=e1δ(x12).

此式蘊含(1-e1)δ(x12)=0.進而得到δ(x12)=0對所有x12∈12成立.

δ(21)={0}的證明類似可得，省略之.

由斷言3以及δ的性質(zhì)易驗證δ(eiejei)={0},其中i≠j∈{1，2}.由此，結(jié)合斷言2-3知，表述1)成立.

斷言4對任意元xii∈ii，我們有ejδ(xii)=0與jiδ(xii)={0},i≠j∈{1,2}.

對任意元x11∈11，由斷言1-2有：

0=δ(x11(1-e1))=x11δ(1-e1)+(1-e1)δ(x11)=(1-e1)δ(x11).

再任取x12∈12，并利用斷言3,可得：

0=δ(x21x11)=x21δ(x11)+x11δ(x21)=x21δ(x11).

同理可證，對任意元x22∈22與x21∈21,我們有：

e1δ(x22)=0，x12δ(x22)=0.

由斷言4知,表述2)成立.

斷言5對任意元x11∈11與x12∈12，我們有δ(x11+x12)=δ(x11).

對任意的x11∈11和x12∈12，由斷言1和2,有：

δ(x11)=δ((x11+x12)e1)=e1δ(x11+x12)+(x11+x12)δ(e1)=e1δ(x11+x12)

(2)

和

0=δ((1-e1)(x11+x12))=(1-e1)δ(x11+x12)+(x11+x12)δ(1-e1)=

(1-e1)δ(x11+x12).

(3)

結(jié)合(2)、(3)式，得到δ(x11+x12)=δ(x11)對所有x11∈11和x12∈12成立.

斷言6對任意元x12∈12與x22∈22，我們有δ(x12+x22)=δ(x22).

證明與斷言5類似，省略之.

斷言7對任意的x∈,我們有δ(x)=δ(e1xe1)+δ(e2xe2).

δ(x11)=δ(x11+x12)=δ(e1(x11+x12+x21+x22))=

e1δ(x11+x12+x21+x22)+(x11+x12+x21+x22)δ(e1)=

e1δ(x11+x12+x21+x22)=e1δ(x)

與

δ(x22)=δ(x12+x22)=δ((x11+x12+x21+x22)(1-e1))=

(1-e1)δ(x11+x12+x21+x22)+(x11+x12+x21+x22)δ(1-e1)=

(1-e1)δ(x11+x12+x21+x22)=(1-e1)δ(x).

因此δ(x)=δ(x11)+δ(x22).

注意到，由斷言4知，δ(ii)?ii+ij(i≠j∈{1,2}).現(xiàn)在定義映射δij:eiei→eiej為：

δij(eixei)=eiδij(x)ej,?x∈,i,j=1,2.

特別地，假設(shè)δ還滿足條件δ(eixei+eiyei)=δ(eixei)+δ(eiyei)對所有元x,y∈成立，其中i=1,2.為了完成定理的證明，只需驗證，若表述1)-3)成立，則δ定是可乘左導子.

δ(xy)=δ(x11y11+x12y21)+δ(x21y12+x22y22)=δ(x11y11)+δ(x12y21)+δ(x21y12)+δ(x22y22)=

δ11(x11y11)+δ12(x11y11)+δ21(x22y22)+δ22(x22y22)

(4)

另一方面，可得

xδ(y)+yδ(x)=x(δ(y11)+δ(y22))+y(δ(x11)+δ(x22))=x11δ11(y11)+x11δ12(y11)+

x22δ21(y22)+x22δ22(y22)+y11δ11(x11)+y11δ12(x11)+y22δ21(x21)+y22δ22(x22)=

δ11(x11y11)+δ12(x11y11)+δ21(x22y22)+δ22(x22y22)

(5)

比較(4)、(5)，即得δ(xy)=xδ(y)+yδ(x).

定理得證.

若定理1中的映射是可加的，則可給出一般環(huán)上可加左導子的完全刻畫.

推論1令是含有單位元1和非平凡冪等元e1的環(huán).假設(shè)δ:→是可加映射.則δ是左導子當且僅當下列表述成立：

1)δ(ei)=0,δ(eiejei)={0},其中i≠j∈{1,2},e2=1-e1.

2)ejδ(eiei)={0},ejeiδ(eiei)={0}，i≠j∈{1,2}.

3)存在可加左導子δij:eiei→eiej,使得對所有x∈成立，i,j∈{1,2}. 下面給出定理1的幾個應用.

顯然，三角環(huán)滿足定理1中的條件.利用定理1到三角環(huán)上，可得下面的結(jié)論,其推廣了文獻[10]中的定理2.1.

使得δ(X)=δ11(P1XP1)+δ12(P1XP1)+δ22(P2XP2)

X=P1XP1+P1XP2+P2XP2=X11+X12+X22，

利用表述1)-3),我們有

δ(XY)=δ(X11Y11+X11Y12+X12Y22+X22Y22)=

δ11(X11Y11)+δ12(X11Y11)+δ22(X22Y22)

(6)

和

Xδ(Y)+Yδ(X)=X(δ11(Y11)+δ12(Y11)+δ22(Y22)) +Y(δ11(X11)+δ12(X11)+δ22(X22))=

X11δ11(Y11)+X11δ12(Y11)+X12δ22(Y22)+X22δ22(Y22)+Y11δ11(X11)+Y11δ12(X11)+Y12δ22(X22)+

Y22δ22(X22)=X11δ11(Y11)+X11δ12(Y11)+X22δ22(Y22)+Y11δ11(X11)+Y11δ12(X11)+Y22δ22(X22)=

δ11(X11Y11)+δ12(X11Y11)+δ22(X22Y22).

(7)

證畢.

推論3令是含有單位元1與非平凡冪等元e1的素環(huán).則上不存在非零的可乘左導子.

證明 假設(shè)δ是上可乘左導子.顯然,滿足定理1中的條件.那么，利用定理1可知表述1)-3)均成立.特別地,對于表述(2)中的式子ejeiδ(eiei)={0}(i≠j∈{1,2}),由的素性可得eiδ(eiei)={0}.該式再結(jié)合表述，即得δ(eiei)={0}.因此表述3)蘊涵δ(x)=0對所有元x∈均成立.所以δ≡0.證畢.

眾所周知，標準算子代數(shù)是素的.利用推論3,下面的結(jié)論是顯然的.

注意到每個因子von Neumann代數(shù)是素的.由推論3立得下面結(jié)論.

推論5因子von Neumann代數(shù)上不存在非零的可乘左導子.