蘭 杰
(山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西 太原 030031)
本文研究的是變系數(shù)波動(dòng)方程耦合系統(tǒng):
(1)
帶阻尼項(xiàng)的變系數(shù)波動(dòng)方程,在文獻(xiàn)[4-5]中都進(jìn)行了深入的討論,這篇文章主要對(duì)p,q在合適的假設(shè)下,在系統(tǒng)(1)[1,3]在[0,T]上存在唯一的局部解(u,v)[3]的基礎(chǔ)上,討論具有阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的變系數(shù)波動(dòng)方程耦合系統(tǒng)(1)解的整體存在性以及能量的多項(xiàng)式衰減.以下文章主要分為兩部分,第一部分給出了本文的主要結(jié)論,第二部分對(duì)相關(guān)引理和主要結(jié)論進(jìn)行了證明.
同文獻(xiàn)[1],引入相同的黎曼流形中的一些符號(hào),我們可以得到如下主要結(jié)論.
定理1(解的整體存在性)假設(shè)存在θ使得
p滿足
1
并且(u0,v0)∈S,(u,v)∈L2(Ω)×L2(Ω)滿足:
(2)
則系統(tǒng)(1)存在一個(gè)整體解(u,v)滿足:
定理2(解的衰減性質(zhì))若定理1的條件成立,并且q滿足2 引理1[2]令y(t):+→+是一個(gè)非增函數(shù),并假設(shè)存在常數(shù)β>1和A>0使得 則 引理2設(shè)(u,v)是系統(tǒng)(1)的解,則E(t)滿足: (3) 注:易得E(t)是一個(gè)非增函數(shù),即: E(t)≤E(0),?t∈[0,) (4) 引理3[3]假設(shè)p滿足 1 (u0,v0)∈S,(u1,v1)∈L2(Ω)×L2(Ω)滿足(2)式. 則(u,v)∈S,?t∈[0,T)并且有 (5) 定理1的證明 可得 (6) 其中 (7) 類似可得: (8) (9) (10) 將(7)-(10)式代入(6)式可得 取ε充分小,使得 令T→,則有 運(yùn)用引理1,有 證畢. 即可知,若定理1的條件成立,并且q滿足22 主要結(jié)論的證明
2.1 證明主要結(jié)論之前,需要引入如下幾個(gè)重要引理
2.2 主要結(jié)論的證明