基于三次樣條插值實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡插值

高曉,楊志強(qiáng),庫(kù)新勃,鄭蓉

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院,陜西 西安 710054;2.中國(guó)電力工程顧問(wèn)集團(tuán)西北電力設(shè)計(jì)院有限公司,陜西 西安 710032)

0 引 言

傳統(tǒng)高分辨率航空攝影測(cè)量存在兩個(gè)難以解決的問(wèn)題,一是原始數(shù)據(jù)時(shí)效性差,二是新測(cè)數(shù)據(jù)耗時(shí)較長(zhǎng),難以滿足工程進(jìn)度需求[1]．作為新型航空攝影測(cè)量技術(shù),無(wú)人機(jī)航攝技術(shù)具有機(jī)動(dòng)性好、靈敏度高、作業(yè)成本低、生產(chǎn)周期短等特點(diǎn)[2-4],在小區(qū)域或飛行困難地區(qū)高分辨率影像快速獲取方面具有顯著優(yōu)勢(shì)[5-6],已成為航空遙感領(lǐng)域的嶄新發(fā)展方向．

無(wú)人機(jī)高精度航攝的基礎(chǔ)是高精度的空中三角測(cè)量,即利用一定數(shù)量、分布密度的地面控制點(diǎn)實(shí)現(xiàn)影像元素的絕對(duì)定位[7]．但在環(huán)境復(fù)雜區(qū)域,地面控制點(diǎn)難以布設(shè)或分布不均勻,導(dǎo)致無(wú)人機(jī)航攝影像數(shù)據(jù)處理的質(zhì)量難以滿足要求[8]．隨著定位定向系統(tǒng)(POS)的不斷完善,無(wú)人機(jī)機(jī)載POS的條件已經(jīng)成熟,用戶可基于機(jī)載POS的差分全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)模塊進(jìn)行高動(dòng)態(tài)、高精度定位,輔助影像空三加密,實(shí)現(xiàn)少像控或免像控的高精度影像處理[9-10]．無(wú)人機(jī)機(jī)載POS中GNSS模塊的采樣頻率一般為20～50 Hz,更高的采樣頻率對(duì)GNSS模塊的軟硬件要求過(guò)高,進(jìn)而導(dǎo)致其市場(chǎng)價(jià)格激增,不利于無(wú)人機(jī)航攝系統(tǒng)的應(yīng)用推廣．因此,針對(duì)GNSS模塊采樣頻率有限的問(wèn)題,本文基于三次樣條函數(shù)實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)高動(dòng)態(tài)定位的高精度插值,并通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)不同三次樣條插值函數(shù)的異同,確定適用于無(wú)人機(jī)高動(dòng)態(tài)定位的三次樣條插值函數(shù)．

1 三次樣條插值算法

為了保證插值算法的效率,同時(shí)避免無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡細(xì)節(jié)的缺失,可采用分段低次多項(xiàng)式代替單一多項(xiàng)式,其基本做法是將整個(gè)插值區(qū)間劃分為若干個(gè)子區(qū)間,在每個(gè)子區(qū)間作低次插值多項(xiàng)式,然后將所有的子多項(xiàng)式拼接為一個(gè)整體多項(xiàng)式[11]．分段低次插值算法的優(yōu)點(diǎn)在于公式簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快、穩(wěn)定性好,但缺點(diǎn)在于節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不連續(xù),導(dǎo)致插值函數(shù)失去光滑性．為此,三次樣條插值函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生[12-13]．

1.1 三次樣條插值

設(shè)區(qū)間[a,b]內(nèi)給定一個(gè)節(jié)點(diǎn)劃分:a=x0

s(xj)=yj,i=0,1,…,n.

(1)

則稱這個(gè)三次樣條函數(shù)s(x)為三次樣條插值函數(shù)．

如果s(x)是原始函數(shù)的三次樣條插值函數(shù),還需滿足以下條件:

s(xi-0)=s(xi+0),

(2)

s′(xi-0)=s′(xi+0),

(3)

s″(xi-0)=s″(xi+0).

(4)

式中,i=1,2,…,n-1．式(2)～(4)則為三次樣條函數(shù)需滿足的連續(xù)性條件．三次樣條插值函數(shù)是基于分段低次插值思想進(jìn)行數(shù)據(jù)插值,由于插值次數(shù)較低,待定系數(shù)容易求解,插值速度較快．同時(shí),分段插值可有效避免Runge現(xiàn)象發(fā)生,可較好地描述大部分光順曲線,在工程中具有廣泛的應(yīng)用．

1.2 邊界條件

由于s(x)在每個(gè)子區(qū)間都是不大于三次的插值多項(xiàng)式,則每個(gè)子區(qū)間有4個(gè)未知參數(shù)．子區(qū)間數(shù)量為n,即未知參數(shù)總數(shù)為4n．由公式(1)～(4)可知,插值條件與樣條條件僅提供4n-2個(gè)條件,因此,需要增加2個(gè)已知條件才能解算未知參數(shù)．通常采用端點(diǎn)約束的方式增加已知條件,即邊界條件[14]．根據(jù)邊界條件的不同,三次樣條函數(shù)可分為以下四類．

1.2.1 固支樣條

固支樣條的邊界條件是已知首末端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù),即

(5)

1.2.2 曲率調(diào)整樣條

該樣條函數(shù)的邊界條件是已知首末端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù),即

(6)

曲率調(diào)整樣條的特殊情況為端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)恒為零,又稱為自然樣條函數(shù),即

(7)

1.2.3 周期樣條

周期樣條要求樣條函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是以端點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為周期的函數(shù),即

(8)

1.2.4 非扭結(jié)樣條

該樣條函數(shù)的邊界條件要求樣條在開始與結(jié)束兩個(gè)子區(qū)間三階導(dǎo)數(shù)相同,即

(9)

2 數(shù)據(jù)處理與結(jié)果分析

采用飛馬固定翼無(wú)人機(jī)(F200)在陜西省渭南市東北部進(jìn)行航空攝影測(cè)量,時(shí)間為2018年9月6日,飛行范圍為4 km2(2 km×2 km),平均航高350 m,飛行時(shí)長(zhǎng)58 min(GPST:04:39-05:37),數(shù)據(jù)處理時(shí)忽略無(wú)人機(jī)起降階段．飛控平臺(tái)GNSS模塊自動(dòng)采集動(dòng)態(tài)GNSS觀測(cè)數(shù)據(jù),地面固定基準(zhǔn)站同步采集GNSS靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù),采樣頻率20 Hz,衛(wèi)星截止高度角為10°,采用天寶數(shù)據(jù)處理軟件(Trimble Business Center 4.0)進(jìn)行GNSS動(dòng)態(tài)后處理,共計(jì)45 420歷元．

為對(duì)比不同樣條函數(shù)的異同,對(duì)GNSS動(dòng)態(tài)解算結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)抽稀處理(抽稀后數(shù)據(jù)頻率1 Hz,共計(jì)2 271歷元)．分別采用不同的三次樣條函數(shù)對(duì)抽稀后的三維坐標(biāo)值進(jìn)行數(shù)據(jù)插值(插值間隔0.05 s),插值后數(shù)據(jù)量與原始動(dòng)態(tài)解數(shù)量一致．以原始定位解坐標(biāo)為真值,通過(guò)計(jì)算插值結(jié)果與真值的差值獲取不同樣條插值函數(shù)的誤差序列．

圖1為不同樣條函數(shù)平面方向插值結(jié)果的誤差序列圖,圖1(a)、(b)、(c)、(d)分別為固支樣條、曲率調(diào)整樣條、周期樣條與非扭結(jié)樣條的插值誤差圖．由圖1可知,由于四種插值函數(shù)均為三次樣條函數(shù),插值思想基本一致,四種函數(shù)的平面誤差序列具有很高的一致性,僅在部分歷元有細(xì)微差別,最顯著的區(qū)別在端點(diǎn)處．由于邊界條件選取的不同,其端點(diǎn)處的插值結(jié)果有明顯差異,尤其是曲率調(diào)整樣條與周期樣條,其端點(diǎn)插值誤差大于0.4 m．分析原因,曲率調(diào)整樣條要求函數(shù)在端點(diǎn)處二階連續(xù),周期樣條要求函數(shù)以端點(diǎn)間距為周期,這兩項(xiàng)要求與無(wú)人機(jī)實(shí)際運(yùn)行軌跡難以相符,導(dǎo)致其平面插值誤差在端點(diǎn)處顯著增大．需要注意的是,由于飛行當(dāng)天有陣風(fēng)影響,部分歷元無(wú)人機(jī)抖動(dòng)異常,當(dāng)數(shù)據(jù)間隔抽稀至1 s時(shí),插值函數(shù)難以精確地反映該異常軌跡,導(dǎo)致部分歷元的插值誤差有所增加,但其數(shù)值一般小于0.2 m．

(a)固支樣條 (b)曲率調(diào)整樣條

(c)周期樣條 (d)非扭結(jié)樣條

(a)固支樣條 (b)曲率調(diào)整樣條

(c)周期樣條 (d)非扭結(jié)樣條

圖2為不同樣條函數(shù)高程方向插值結(jié)果誤差序列圖．同樣,由于四種插值函數(shù)均為樣條函數(shù),其插值的高程誤差序列具有明顯的一致性,除端點(diǎn)處有顯著差異外,僅在少數(shù)歷元有細(xì)微差別．同樣,由于陣風(fēng)影響,部分歷元誤差值明顯增大．對(duì)圖1、2的誤差序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表1所示．

表1 不同三次樣條函數(shù)插值序列誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果 cm

三次樣條北方向東方向高程方向 MaxMinRMSEMaxMinRMSEMaxMinRMSE 固支14.4-25.01.2429.6-21.81.6621.1-31.23.49 曲率調(diào)整14.4-23.41.2250.3-21.81.8321.1-31.23.48 周期336.0-92.017.0629.6-31.61.7521.1-31.23.49 非扭結(jié)14.4-24.01.2329.6-21.81.6725.2-31.23.50

表1示出了不同三次樣條函數(shù)三維方向誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果,包括誤差極值(極大值和極小值)與均方根誤差(RMSE)．由表可知,周期樣條在平面方向有異常誤差,聯(lián)系圖1可知,由于端點(diǎn)處要求滿足周期性邊界條件,而實(shí)際飛行軌跡不滿足周期性特征,導(dǎo)致其端點(diǎn)插值結(jié)果明顯有偏．同樣,曲率調(diào)整函數(shù)要求函數(shù)在端點(diǎn)處二階連續(xù),亦不符合飛行軌跡的實(shí)際特性,在端點(diǎn)處東方向有異常誤差．由于端點(diǎn)處誤差值明顯偏大,導(dǎo)致RMSE值有所增加．固支樣條與非扭結(jié)樣條結(jié)果基本一致,無(wú)明顯差別,水平方向RMSE值優(yōu)于1.8 cm,高程方向RMSE值優(yōu)于3.5 cm．

(a)固支樣條 (b)曲率調(diào)整樣條

(c)周期樣條 (d)非扭結(jié)樣條

(a)固支樣條 (b)曲率調(diào)整樣條

(c)周期樣條 (d)非扭結(jié)樣條

為研究采樣頻率對(duì)三次樣條插值的影響,對(duì)原始GNSS動(dòng)態(tài)解再次進(jìn)行抽稀處理(抽稀后數(shù)據(jù)頻率5 Hz),同樣采用不同樣條函數(shù)對(duì)抽稀后的三維坐標(biāo)序列進(jìn)行插值(插值間隔0.05 s),以原始定位解為真值,計(jì)算不同插值結(jié)果與真值的差值,平面誤差序列與高程誤差序列分別如圖3與圖4所示．

由圖3和圖4可知,當(dāng)給定數(shù)據(jù)頻率為5 Hz,要求插值頻率為20 Hz時(shí),三次樣條函數(shù)插值結(jié)果三維方向的精度均明顯提高,除端點(diǎn)處存在異常誤差外,其他歷元平面插值誤差一般小于2 cm,高程方向插值誤差一般小于5 cm．由誤差序列統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知,水平方向插值誤差RMSE值優(yōu)于0.33 cm,高程方向插值誤差RMSE值優(yōu)于0.72 cm．以“三倍中誤差”作為極限誤差,固支樣條與非扭結(jié)樣條的平面插值精度優(yōu)于1.0 cm,高程插值精度優(yōu)于2.2 cm,其插值精度優(yōu)于周期樣條和曲率調(diào)整樣條函數(shù)．

對(duì)比圖1～2與圖3～4,隨著初始數(shù)據(jù)采樣頻率的增加,三維方向插值精度顯著提升．由于插值思想基本一致,不同樣條函數(shù)插值結(jié)果基本一致,差別主要集中于端點(diǎn)處,其主要原因在于不同樣條函數(shù)對(duì)應(yīng)的邊界條件不同．由于曲率調(diào)整樣條與周期樣條的邊界條件明顯不符合無(wú)人機(jī)飛行軌跡特性,固支樣條與非扭結(jié)樣條插值精度優(yōu)于前兩者．鑒于非扭結(jié)樣條要求起始子區(qū)間函數(shù)有三階導(dǎo)數(shù),該邊界條件的實(shí)現(xiàn)難度明顯高于固支樣條的邊界條件,因此,固支樣條更適用于無(wú)人機(jī)高動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)插值．

3 結(jié)束語(yǔ)

差分GNSS輔助空中三角測(cè)量技術(shù)可實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)影像元素的高精度絕對(duì)定位．由于無(wú)人機(jī)GNSS模塊采樣頻率有限,更高頻率的數(shù)據(jù)采集對(duì)GNSS模塊軟硬件提出更高的要求,不利于無(wú)人機(jī)的推廣使用,因此,數(shù)據(jù)插值成為無(wú)人機(jī)高動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)處理的重要環(huán)節(jié)．鑒于無(wú)人機(jī)飛行軌跡的特點(diǎn),分段低次插值函數(shù)成為首選．本文研究了三次樣條插值函數(shù)的基本原理,并對(duì)不同的三次樣條插值函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比分析．采用無(wú)人機(jī)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,對(duì)比不同樣條函數(shù)插值結(jié)果與原始動(dòng)態(tài)解的差異,結(jié)果表明,固支樣條與非扭結(jié)樣條函數(shù)的插值精度優(yōu)于曲率調(diào)整樣條和周期樣條．由于非扭結(jié)樣條的邊界條件要求更高,無(wú)人機(jī)實(shí)際應(yīng)用中建議采用固支樣條．同時(shí),樣條函數(shù)的插值精度隨原始數(shù)據(jù)采樣頻率的增加而提高,當(dāng)原始數(shù)據(jù)采樣頻率高于5 Hz時(shí),平面插值精度優(yōu)于1.0 cm,高程插值精度優(yōu)于2.2 cm,可滿足無(wú)人機(jī)高動(dòng)態(tài)定位的精度需求．