不同法截面子午線橢球銜接的研究及應(yīng)用

李復(fù)才, 姚德新

(1.蘭州交通大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院,甘肅 蘭州730070;2.地理國情監(jiān)測技術(shù)應(yīng)用國家地方聯(lián)合工程研究中心,甘肅 蘭州 730070;3.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實驗室,甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

隨著高速鐵路長大線路工程日益興起以及運行速度的不斷增高,對線路的工程控制網(wǎng)精度要求也越來越高．在長大線路中,高斯投影[1-2]存在投影變形大、分帶頻繁和換帶計算繁瑣等問題,給線路設(shè)計與施工帶來極大不便．鑒于此,文獻[3-6]提出法截面子午線橢球理論,有效減少了分帶頻繁的問題．但是,該理論對線路的直線性要求比較高,當(dāng)線路整體的彎曲程度較大,建立一個法截面子午線橢球高斯投影將無法滿足高速鐵路建設(shè)的精度要求,需將線路分成兩段或是多段并建立各自的法截面子午線橢球．當(dāng)兩個法截面子午線橢球進行銜接時,由于交點在兩個法截面子午線橢球中的法線不一致,導(dǎo)致交點在地球表面具有兩個不同的點,使得線路無法銜接．基于這種問題,本文提出交點法線重合的方法來實現(xiàn)線路的銜接,并通過工程實例檢驗其在長線工程中的優(yōu)越性和實用性．

1 法截面子午線橢球理論

法截面子午線橢球理論的基本思想是,將基礎(chǔ)橢球進行平移、旋轉(zhuǎn)、膨脹之后建立一個新橢球,使線路控制點的均衡中線成為高斯投影后的中央子午線,從而使線路各個控制點的橫坐標y值都很小,并且各個控制點相對于新橢球的大地高H也很小,達到長度投影變形最小的條件,最終有效控制長度變形．

1.1 構(gòu)建法截面子午線橢球

在參考橢球E0上,將過基準點的法截線沿法線方向與橢球E0相切,獲得法截面橢圓,以該橢圓的中心為原點O,將橢圓的短軸定位z軸,長軸定位x軸,原點法線方向定位y軸,將橢圓繞z軸旋轉(zhuǎn)一圈,獲得法截面子午線橢球．其具體步驟如下[7]:

1) 法截面子午線橢球的參數(shù)公式為

(1)

(2)

式中:e12為法截線橢球的第二偏心率的平方;e2為E0橢球的第二偏心率平方;a1為法截線橢球的長半徑;a為E0橢球的長半徑;B0為E0橢球位置基準點的大地緯度;A為E0橢球的法截線方位角．

2)橢球中心位置公式為

(3)

式中: Δx0、Δy0、Δz0為法截線橢球中心在E0橢球參心空間直角坐標系中的坐標;N0為參考橢球E0基準點的卯酉圈曲率半徑．

3)法截面子午線橢球短軸指向l,m,n,具體公式見文獻[7]．

1.2 橢球變換法

橢球變換法分為橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法,主要介紹橢球變形法．橢球變形法是指保持橢球的中心不變,改變新橢球的扁率,使基準點法線方向前后不變,從而達到基準點的經(jīng)緯度不變而大地高變化Δh的目的．令參考橢球E0通過橢球變形法之后的橢球為E3橢球,其橢球具體參數(shù)如下[8-11]:

(4)

aE3=(N0-ΔH0)

(5)

式中:N0為參考橢球E0基準點的卯酉圈曲率半徑;ΔH0為參考橢球E0膨脹的距離;BE0為基礎(chǔ)橢球基準點的緯度．

1.3 長度投影變形值

投影長度變形主要分為高程歸化改正和高斯投影兩部分,高程歸化改正是指將地面長度投影到參考橢球面上的長度變形,高斯投影變形是指將參考橢球面上的長度歸化到高斯平面上的長度變形[12-14]．

1) 高程歸化改正ΔSH為

(6)

2) 高斯投影變形ΔSG為

(7)

3) 投影長度變形ΔS為

(8)

式中:h為地面邊大地高;S為地面測量平距;Ym為地面邊橫坐標;Rm為控制點的平均曲率半徑．

2 不同法截面子午線橢球的銜接

2.1 線路分段的判斷依據(jù)

均衡中線是指將測區(qū)內(nèi)的點利用一種算法擬合出一條直線,使測區(qū)內(nèi)的點盡可能地接近于均衡中線．令Pi(xi,yi,hi)為線路CPI控制點,利用最小二乘法來求解線路均衡中線的函數(shù)式．

設(shè)均衡中線的函數(shù)式為

y=cx+b.

(9)

由控制點數(shù)據(jù)以及均衡中線函數(shù)式可以得出誤差方程為

vi=cxi+d-yi.

(10)

法方程求解得

(11)

控制點到均衡中線的距離公式為

(12)

根據(jù)高速鐵路線路控制網(wǎng)的投影長度變形值不大于10 mm/km的要求和高斯投影長度變形ΔSG得橫坐標y的最大值為

(13)

因此當(dāng)控制點到均衡中線的距離小于28.428 km時,線路滿足要求,不需要進行分段處理,當(dāng)部分控制點到均衡中線的距離大于28.428 km時,需對線路進行分段處理．

如圖1所示,xoy為基礎(chǔ)橢球的高斯投影坐標,LL′為線路的均衡中線,虛線矩形ABCD為符合高速鐵路投影長度變形的區(qū)域．當(dāng)線路EHF在矩形區(qū)域外時,長度變形將超過10 mm/km,需將線路分成EH和HF兩段,并對它們分別進行法截面子午線高斯投影．

圖1 線路分段判斷示意圖

2.2 不同法截面子午線橢球的銜接問題

由于長大線路的彎曲性和復(fù)雜性,建立一個法截面子午線橢球進行高斯投影將無法滿足線路控制網(wǎng)的長度變形要求,需要將線路分成兩段或多段分別建立法截面子午線橢球．如圖2所示,將線路分成AB和BC兩段,當(dāng)線路AB和線路BC建立各自的法截面子午線橢球之后,由于交點B在兩個法截面子午線橢球中的法線不相同,導(dǎo)致交點B在地表MN將產(chǎn)生兩個不同的點A1和A2,導(dǎo)致線路將無法實現(xiàn)無縫銜接．

圖2 不同法截面子午線橢球銜接

2.3 不同法截面子午線橢球銜接的解決方案

針對上述問題,將利用交點法線重合的方法進行解決,具體步驟如下:

1) 在基礎(chǔ)橢球的橢球面找出點A、B和C,BA成為基礎(chǔ)橢球面的法截弧,以交點B的橢球面法線為中心,轉(zhuǎn)動一個方位角A1,使得轉(zhuǎn)動的平面通過法截弧BA,并相切基礎(chǔ)橢球,形成第一個法截面橢圓BAF'F,以橢圓短半軸為軸進行旋轉(zhuǎn),構(gòu)成第一個法截面子午線橢球．

2) 在基礎(chǔ)橢球面找到法截弧BC,以交點B的橢球面法線為中心,轉(zhuǎn)動一個方位角A2,使得轉(zhuǎn)動的平面通過法截弧BC,并相切基礎(chǔ)橢球,得到第二個法截面橢圓BCEE',以橢圓的短半軸為軸進行旋轉(zhuǎn),構(gòu)成第二個法截面子午線橢球．通過如此構(gòu)建,將解決交點法線不一致,產(chǎn)生兩個地面點而無法完成銜接的問題．

3 實例分析

獲取某段高速鐵路的CPI控制點數(shù)據(jù), 部分控制點的2000國家大地坐標如表1所示．該線路的走向為東西方向,且線路位于L=91.3°-94.6°,B=41.5°-43.1°．下面將CPI控制點數(shù)據(jù)利用常規(guī)法截面子午線橢球高斯投影和交點法線重合法的法截面子午線橢球銜接高斯投影分別進行計算,并對橫坐標y值、高程歸化改正ΔSH、高斯投影變形ΔSG和投影長度變形ΔS進行比較和探討如表2所示．

從表2可以看出,通過常規(guī)的法截面子午線橢球高斯投影之后,部分控制點的高斯投影橫坐標y值過大,高斯投影變形ΔSG過大,導(dǎo)致投影長度變形值ΔS過大,無法滿足線路控制網(wǎng)投影長度變形值小于10 mm/km的要求．其中,投影長度變形最大值為46.2738 mm,已經(jīng)遠遠超出規(guī)范要求．

表2 法截面子午線橢球長度變形

下面利用不同法截面子午線橢球銜接的方法來進行解算和分析,具體步驟如下:

1) 將線路分成兩段BA和BC,找出交點B,以線路BC的CPI 1～CPI 55的中心線來建立第一個法截面子午線橢球,橢球的基本參數(shù)為:交點B的大地經(jīng)度L0=93.525°,大地緯度B0=42.899722222°,第一偏心率的平方e2=0.005835351983651,方位角A1=29.369388864205°,長半軸a1=6378128.418132003 m．

2) 以線路BA的CPI 55～CPI 110的中心線來建立第二個法截面子午線橢球,橢球的基本參數(shù)為:交點B的大地經(jīng)度L0=93.525°,大地緯度B0=42.899722222°,方位角A2=78.6433270149936°,長半軸a2=6378102.615275338 m,第一偏心率的平方e2=0.003252543948007．從而求得控制點CPI 1～CPI 110在各自法截面子午線橢球的大地坐標,并對兩個橢球分別進行橫軸高斯投影,投影結(jié)果和長度變形的結(jié)果如表3所示．

對比分析表2和表3可得:表3的橫坐標y值明顯小于表2的橫坐標y值,且全部控制點的投影長度變形ΔS都符合規(guī)范要求．由此可見,通過交點法線重合法的不同法截面子午線橢球銜接可以降低橫坐標y值,減小控制點到中央子午線的距離,達到控制投影長度變形的效果．

表3 不同法截面子午線橢球銜接的長度變形

4 結(jié)束語

本文通過研究不同法截面子午線橢球的銜接,提出交點法線重合的方法,并結(jié)合工程案例進行分析,得出如下結(jié)論:

1) 利用最小二乘法求出均衡中線,在高速鐵路長度變形10 mm/km的規(guī)范要求下,確定出符合線路長度變形的區(qū)間,給判斷線路分段處理提供了理論依據(jù)．

2) 利用交點法線重合法解決了兩個不同法截面子午線橢球交點在地表形成兩個不同點的問題,實現(xiàn)線路的無縫銜接,解決了部分控制點不滿足10 mm/km的要求,并提高了線路整體長度變形精度．