對一道關(guān)于三角函數(shù)高考題的教學(xué)思考與延伸

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

2019年高考三角函數(shù)題型是我們教學(xué)的典型而且普遍的題,而且與課本有很多聯(lián)系，但是因?yàn)楹芏嗬蠋焸淇紩r(shí)沒有重視，沒有充分挖掘其關(guān)系，備考中往往事倍功半.我們要從這次高考試題所蘊(yùn)含的價(jià)值,重視高考試題的教學(xué)啟發(fā)作用,是提高高三復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵途徑，促使高三教師能夠在課本習(xí)題與高考試題之間搭建關(guān)聯(lián).下面談一談教師關(guān)于解三角形教與學(xué)的思考與適度延伸，希望對您有一些幫助.

例1 (2019年全國1卷理(17))△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

(1)求A；

一、試題解析

1.試題解答

解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．

因?yàn)?°

sinC=sin(C+60°-60°)

2.題意分析

解三角形題在高考題屬中偏易難度，幾乎所有高三數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生對此類問題基本能得到高分.而且此類題型的確容易上手.本題的破解需要考生對結(jié)論有一個(gè)預(yù)見性的思維模式.

3.此題在教材上的對應(yīng)類題

題2 (人教A版高中數(shù)學(xué)《必修5》教材習(xí)題1.2A組(14))在△ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，求證：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

解法同例1：利用余弦定理、正弦定理、c=acosB+bcosA可證明結(jié)論.

反思以上高考題(17)是教材A習(xí)題(14)的深度加工，并且均可以從正弦定理余弦定理等角度進(jìn)入思考、做出解答.高考題(17)相比之下讓考生更加容易入手.

4.本題在高考中的類題

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長．

反思以上從三個(gè)角度思考有關(guān)邊角關(guān)系的三角形問題，我們比較發(fā)現(xiàn)此時(shí)利用任意三角形性質(zhì)更為快捷得出正確結(jié)論.

二、引發(fā)的教學(xué)思考與延伸

1.重視課本例習(xí)題發(fā)散思考，一題多變

在教學(xué)中，需要我們重視課本的例習(xí)題對知識的分析變形運(yùn)用功能，教學(xué)中利用例題、習(xí)題適度改編，強(qiáng)化重要定理公式或重點(diǎn)結(jié)論，由此可培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維.

題4 (人教A版必修5第4頁例2) 在△ABC中，a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

改編1： 在△ABC中，a=16,b=26,A=30°,解三角形.

改編2：在△ABC中，a=30,b=26,A=30°,解三角形.

改編3：在△ABC中，若b=2asinB，求A的大小.

改編5：在△ABC中,已知C=2B,求bc的取值范圍.

改編6：在△ABC中,已知A+C=2B,b=1，求a+c的取值范圍.

題5 (人教A版必修5P10習(xí)題1-1B組2)在△ABC中,如果有性質(zhì)acosA=bcosB,試問這個(gè)三角形的形狀具有什么特征？

改編1：在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,則△ABC的形狀有什么特征？

改編2：在△ABC中,已知sinC=2sinAcosB,試證明△ABC是等腰三角形.

2.重視高考試題的教學(xué)功能，一題多解

學(xué)生在求解此類題目時(shí)，由于對正弦定理、余弦定理意義與特征掌握不夠到位，教師可以注重引入相應(yīng)高考試題的一題多解，引導(dǎo)學(xué)生從知識不同角度入手，從某個(gè)相關(guān)公式思考，從有關(guān)圖形思考，或者等價(jià)轉(zhuǎn)化成另外一類熟悉的問題進(jìn)行探討.