解析幾何中與兩角相等相關(guān)問題的解題思路

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

角是解析幾何中研究的重要元素，在近幾年的高考中，解析幾何中與兩角相等的相關(guān)問題經(jīng)常出現(xiàn)，其涉及的知識面廣，題目靈活多變，答題難度較大，是高考解析幾何試題中的熱點(diǎn)之一.所以在復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)要加以一定的重視，對解決兩角相等的相關(guān)問題要進(jìn)行歸納總結(jié)，找出規(guī)律.

一、利用平面向量數(shù)量積公式證明兩角相等

例1 (2005年高考江西卷·理22)如圖1，設(shè)拋物線C：y=x2的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線l：x-y-2=0上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).

(1)求△APB的重心G的軌跡方程；

(2)證明∠PFA=∠PFB.

∴ 切線AP的方程為2x0x-y-x02=0；

切線BP的方程為2x1x-y-x12=0.

由于P點(diǎn)在拋物線外，則|FP|≠0.

∴ ∠AFP=∠PFB.

評注此題的第(2)問是阿基米德三角形的一個(gè)性質(zhì).

刻意練習(xí)：

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y=kx+m(k≠0)與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N=∠MF2N.

二、利用斜率公式證明兩角相等

斜率是解析幾何中刻畫角的重要工具，相比其它的角的轉(zhuǎn)化方法，利用斜率來計(jì)算角的大小，其優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算量相對小，但是所相關(guān)的角的頂點(diǎn)必須在x軸上.所以在解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地將相關(guān)的角轉(zhuǎn)換為直線的傾斜角.

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF2的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T.

三、兩角相等轉(zhuǎn)化為兩直線的斜率之和為零

根據(jù)題設(shè)條件的圖形特征，把兩角相等轉(zhuǎn)化為兩條直線的斜率之和為零來解決問題.

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

解析(1)由已知得F(1，0)，l的方程為x=1.

(2)當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

評注破解此類解析幾何題的關(guān)鍵是，一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件翻譯到圖形中，利用直線方程的點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式，即可快速表示出直線方程；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即會把要證的兩角相等，根據(jù)圖形的特征，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及斜率公式即可證得結(jié)論.

刻意練習(xí)：

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q在橢圓C上，且PQ與x軸平行，過P點(diǎn)作兩條直線分別交橢圓C于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).若直線PQ平分∠APB，求證：直線AB的斜率是定值，并求出這個(gè)定值.

(1)求橢圓C的方程；

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

5.(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽試題第二試第2題)如圖4，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2，0)，與y軸的正半軸相交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，且|AB|=3.

(1)求圓C的方程；

(2)略.

(1)求曲線C的方程；

從以上三個(gè)方面可以看出高考試題中解析幾何涉及與兩角相等相關(guān)的問題，其解決的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)或兩直線的斜率之和為零，不管采用哪種方法，都需要我們對問題進(jìn)行合理的分析和轉(zhuǎn)化，這樣才能提高分析問題和解決問題的能力.