數(shù)控加工中心主軸熱誤差預(yù)測(cè)模型建模的研究*

王 謙 周圣強(qiáng)

（宿州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 安徽宿州 234101）

熱誤差補(bǔ)償?shù)那疤崾悄軌驅(qū)δ骋粶囟葓?chǎng)的機(jī)床熱誤差進(jìn)行準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，然后根據(jù)預(yù)測(cè)值進(jìn)行熱誤差補(bǔ)償，這就要求所建立的熱誤差模型要具有較高的準(zhǔn)確性。熱誤差建模是建立起運(yùn)動(dòng)軸熱誤差與各個(gè)熱敏感點(diǎn)溫度值之間的關(guān)系所依托的數(shù)學(xué)模型的過程，因此建模所依托的數(shù)學(xué)理論在熱誤差建模和補(bǔ)償中至關(guān)重要。熱誤差建模依托的數(shù)學(xué)理論常用的有多元線性回歸理論、滯后變量理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論、支持向量機(jī)理論等。支持向量機(jī)理論是近期發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)分析方法，常用于對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的分類和回歸，支持向量回歸算法能夠通過對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)建立決策函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)未知數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。文章在已做研究工作（以BV850數(shù)控加工中心為例，為其組建了溫度和熱誤差集成檢測(cè)系統(tǒng)，并通過一定的方法篩選出兩個(gè)熱敏感點(diǎn)S1和S6）的基礎(chǔ)上，對(duì)熱誤差建?，F(xiàn)有理論進(jìn)行了大量的閱讀和研究，分析和闡述了運(yùn)用多元線性回歸理論、分布滯后理論和最小二乘支持向量回歸機(jī)理論對(duì)加工中心主軸熱誤差建立預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型的方法。

1 多元線性回歸理論建模

多元線性回歸是在進(jìn)行熱誤差建模時(shí)經(jīng)常被國(guó)內(nèi)外學(xué)者使用的一種統(tǒng)計(jì)學(xué)中的傳統(tǒng)方法。它是在掌握大量觀察數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，用統(tǒng)計(jì)方法尋求多輸入和單輸出之間的函數(shù)關(guān)系，該方法以假設(shè)因變量和自變量成線性關(guān)系為應(yīng)用基礎(chǔ)，假定線性回歸成立于因變量和自變量之間，建立回歸函數(shù)表達(dá)式。

以多個(gè)熱敏感點(diǎn)的測(cè)量溫度值為自變量，以加工中心主軸熱誤差為因變量建立模型，便可建立主軸熱誤差的多元線性回歸函數(shù)模型。假設(shè)加工中心篩選出了k個(gè)熱敏感點(diǎn)，有n個(gè)測(cè)量值，其通用表達(dá)式為：

式中，yi為熱誤差測(cè)量值，xi1，xi2，…，xik為熱溫度敏感點(diǎn)溫度測(cè)量值，b0，b1，…，bk為回歸系數(shù)，ei是與實(shí)際觀察值yi存在的偏差，也稱為殘差。

多元線性回歸模型中的回歸系數(shù)可利用最小二乘法［1］求得，最小二乘法是擬合其系數(shù)的一種常用方法，參數(shù)b0，b1，b2，…，bk的最小二乘估計(jì)為：

式（2）中

通常情況下，在多元線性回歸模型建立后要進(jìn)行擬合精度評(píng)估，通過殘差平方和計(jì)算出模型標(biāo)準(zhǔn)差，可用來評(píng)定全部觀測(cè)值與回歸估計(jì)值的偏離程度，其計(jì)算公式為：

多元線性回歸模型的精準(zhǔn)度在很大程度上會(huì)受到溫度測(cè)量數(shù)據(jù)的影響，因此，該模型在實(shí)驗(yàn)和建模中對(duì)傳感器的質(zhì)量提出了較高的要求。另外，該模型的精準(zhǔn)度還會(huì)受到多重共線性問題的影響，使用這項(xiàng)技術(shù)要面對(duì)的一個(gè)難點(diǎn)就是如何合理選擇建模用溫度變量。

將上述建模理論應(yīng)用于加工中心主軸熱誤差建模，以主軸熱誤差為因變量，以熱敏感點(diǎn)S1和S6的溫度值為自變量建立多元線性函數(shù)，就是建立加工中心主軸熱誤差的多元線性回歸模型，其表達(dá)式為：

式（4）中，ΔZi—數(shù)控加工中心主軸軸向熱誤差第i次預(yù)測(cè)值，b0—常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，通過分析計(jì)算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用最小二乘法求解式（4）中的b0，b1，b2，可求出最終表達(dá)式。

2 分布滯后理論建模

若在函數(shù)表達(dá)式中因變量不僅會(huì)受到若干解釋變量當(dāng)前值的影響，還會(huì)受到解釋變量若干滯后值的影響，則這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型可以用分布滯后模型來描述。分布滯后模型是在多元線性回歸模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，在多元回歸模型的基礎(chǔ)上分布滯后模型的建模自變量新納入了解釋變量的滯后項(xiàng)。由于在數(shù)控機(jī)床熱誤差檢測(cè)實(shí)驗(yàn)中，溫度值的采集在溫度傳感器上通常表現(xiàn)出一定的滯后反應(yīng)，考慮到在熱傳導(dǎo)過程中機(jī)床主軸溫度存在的這種時(shí)滯性，在機(jī)床熱誤差建模中采用分布滯后模型，將有助于提高數(shù)控機(jī)床熱誤差建模的精度。

分布滯后模型的通用表達(dá)式為：

式（5）中，Yt—因變量α0—常數(shù)，n—最大滯后期u—外生變量個(gè)數(shù)，由于在實(shí)驗(yàn)中有較多的數(shù)據(jù)測(cè)量值，可采用簡(jiǎn)單的權(quán)宜估計(jì)法實(shí)現(xiàn)滯后階數(shù)n的確定。取，n＝1，2，…，i，對(duì)不同條件下的i采用最小二乘法來進(jìn)行擬合，當(dāng)有一個(gè)滯后變量的系數(shù)改變符號(hào)，或滯后變量的回歸系數(shù)開始變得統(tǒng)計(jì)不顯著時(shí)，最終的滯后階數(shù)就是i-1。

式（5）中，由于xt與xt-1，xt-2，…，xt-n相關(guān)性很強(qiáng)，多重共線性問題有可能會(huì)出現(xiàn)［2］，從而導(dǎo)致對(duì)該模型回歸系數(shù)βi的估計(jì)不夠準(zhǔn)確。雖然對(duì)單個(gè)βi的估計(jì)存在一定偏差，但是對(duì)因變量yt構(gòu)成長(zhǎng)期影響的是分布滯后模型βi的和以及xt的變化，因此在整體上并不影響分布滯后模型yt的估計(jì)精度：

實(shí)際應(yīng)用中協(xié)方差項(xiàng)通常為負(fù)數(shù)，在這些項(xiàng)同時(shí)為負(fù)值且絕對(duì)值很大時(shí)，Var）一般小于，因此βi的和有著較高的估計(jì)精度。式（6）中自變量和自變量的滯后項(xiàng)一般成正相關(guān)。

自變量和自變量的滯后項(xiàng)通常成正相關(guān)，將上式及上述建模理論應(yīng)用于數(shù)控加工中心主軸熱誤差建模，設(shè)定滯后期為2階，可得數(shù)控加工中心主軸熱誤差分布滯后回歸模型的表達(dá)式為：

式（7）中，ΔZi—加工中心第i次主軸軸向熱誤差的預(yù)測(cè)值，b0—常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，通過分析計(jì)算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用最小二乘法求解式（7）中的b0，b1，…b6，可求出最終表達(dá)式。

3 最小二乘支持向量機(jī)回歸理論建模

傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)理論是已知樣本的分布形式，通過對(duì)大量數(shù)據(jù)的運(yùn)算分析，確定相應(yīng)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)建模。支持向量回歸機(jī)是一種新興的基于數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，能夠在數(shù)據(jù)分布未知的情況下通過對(duì)少量樣本的分析學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)對(duì)未知數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。

3.1 支持向量機(jī)理論

統(tǒng)計(jì)學(xué)家Vapnik建立了一種專門分析機(jī)器學(xué)習(xí)在小樣本情況下的規(guī)律的理論，即統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論，支持向量機(jī)就是在此理論基礎(chǔ)上發(fā)展形成的一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。支持向量機(jī)能夠根據(jù)有限的樣本信息通過最小化結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)原理來進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)，提高泛化能力，在解決小樣本、高維數(shù)、非線性等復(fù)雜問題上有特有的優(yōu)勢(shì)，在解決模式識(shí)別、函數(shù)擬合等機(jī)器學(xué)習(xí)問題上表現(xiàn)出了優(yōu)秀的性能［3］。將支持向量回歸機(jī)模型用于數(shù)控機(jī)床的熱誤差建模，不光能提高模型的精度和泛化能力，還能減小模型對(duì)數(shù)據(jù)量的需求，節(jié)約實(shí)驗(yàn)成本。

最小二乘支持向量機(jī)是支持向量機(jī)的一種擴(kuò)展，該方法將損失函數(shù)替換為最小二乘線性系統(tǒng)，用等式約束替換不等式約束，從而可以用線性運(yùn)算的方法進(jìn)行運(yùn)算，經(jīng)由這個(gè)適當(dāng)?shù)奶幚?，該模型的?jì)算復(fù)雜度得到大大降低，求解速度得到顯著加快。

3.2 熱誤差的回歸問題

回歸分析就是對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)估計(jì)，它的最終目的是通過對(duì)已知數(shù)據(jù)的計(jì)算分析尋求能夠反映輸入輸出關(guān)系的函數(shù)關(guān)系

3.3 最小二乘支持向量機(jī)回歸算法

設(shè)訓(xùn)練樣本集D=k＝1，2，…，}N，xk∈Rn，yk∈R，yk為輸出數(shù)據(jù)，xk為輸入數(shù)據(jù)。原始空間（權(quán)ω空間）里的函數(shù)估計(jì)問題能夠轉(zhuǎn)化為求解下式：

約束條件為：yk＝ωTφ（xk）+b+ek，k＝1，2，…，N。

式中，φ（xk）：Rn→Rnh為核空間映射函數(shù)，ω∈Rnk為權(quán)矢量，ek∈R為誤差變量，γ為可調(diào)函數(shù)，b為偏差量，SSE誤差和規(guī)則化量之和為損失函數(shù)J。

為解決原始空間中線性不可分的問題，可以引入核空間映射函數(shù)，核空間映射函數(shù)可以通過在原始空間里抽取特征，完成從原始空間里的樣本到高維特征空間里的向量的映射。根據(jù)式（8），拉格朗日函數(shù)可定義為：

L（ω，b，e；a）＝

式（9）中，ak∈R為拉格朗日乘子。

優(yōu)化上式，讓L對(duì)ω，b，ek，ak求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，消去變量ω，e，可得矩陣方程：

根據(jù)Mercer條件，存在核函數(shù)Ψ（xk，xl）和映射函數(shù)φ，使得：

則最小二乘支持向量機(jī)的函數(shù)估計(jì)為：

通過式（12）可求解出a，b，滿足Mercer條件的任意對(duì)稱函數(shù)均可選作核函數(shù)Ψ（xk，xl），可采用線性核、多項(xiàng)式核、RBF核等。

3.4 核函數(shù)

對(duì)于非線性映射的特征空間，其內(nèi)積計(jì)算量是驚人的，而通過核函數(shù)的轉(zhuǎn)換能巧妙地解決這個(gè)問題，只要找到滿足條件的核函數(shù)，就能把輸入空間中線性不可分問題映射到一個(gè)特征空間而成為線性可分的問題，從而使非線性問題得到簡(jiǎn)化［4，5］。要進(jìn)行加工中心主軸熱誤差非線性支持向量回歸機(jī)的建模，必須選擇最佳核函數(shù)將加工中心溫度測(cè)量值序列映射到高維特征空間，然后對(duì)決策函數(shù)進(jìn)行求解。常用的核函數(shù)有線性核函數(shù)、多項(xiàng)式核函數(shù)和高斯徑向基（RBF）核函數(shù)等，其表達(dá)式如下所示：

（1）線性核函數(shù)：

（2）多項(xiàng)式核函數(shù)：

表示一個(gè)d階多項(xiàng)式核

（3）RBF核函數(shù)：

式（15）中，σ為核函數(shù)的寬度，將1／σ2記為參數(shù)敏感系數(shù)g。在核函數(shù)中，一般選擇RBF核，RBF核用于建模具有訓(xùn)練速度快、精度高等優(yōu)點(diǎn)。文章也優(yōu)先選擇RBF核用于熱誤差建模，訓(xùn)練結(jié)果的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)健性取決于參數(shù)敏感系數(shù)g和懲罰系數(shù)的取值。

4 結(jié)語

（1）多元線性回歸模型具有建?？旖荨⒂?jì)算方便、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，基本上能夠滿足普通數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償精度的要求。但是采用多元線性回歸模型進(jìn)行建模，在建模樣本不是很充分的情況下，多重共線性的問題有可能會(huì)出現(xiàn)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定，得到的結(jié)果跟理想值相差較大。

（2）由于加工中心結(jié)構(gòu)的影響，溫度傳感器對(duì)溫度的測(cè)量具有滯后的效應(yīng)。分布滯后模型將自變量、自變量的滯后項(xiàng)均納入建模，體現(xiàn)了溫度傳感器對(duì)溫度采集的滯后現(xiàn)象，使擬合精度得到了一點(diǎn)提升，但分布滯后模型沒有將因變量的滯后項(xiàng)也納入建模，而因變量的滯后項(xiàng)才能對(duì)未來數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，所以分布滯后模型的精度不高。

（3）支持向量機(jī)可以通過對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)達(dá)到預(yù)測(cè)未來數(shù)據(jù)的目的，它具有非線性映射理論基礎(chǔ)，利用核函數(shù)代替高維非線性映射，在解決非線性問題上表現(xiàn)優(yōu)秀。在支持向量機(jī)的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展形成最小二乘支持向量機(jī)，它通過適當(dāng)?shù)淖儞Q大大簡(jiǎn)化了支持向量機(jī)的計(jì)算復(fù)雜度，降低了計(jì)算成本。在數(shù)控機(jī)床的熱誤差建模中采用最小二乘支持向量回歸機(jī)，不光能保證良好的建模精度和泛化能力，還能減小模型對(duì)數(shù)據(jù)量的需求，節(jié)約實(shí)驗(yàn)成本。