應(yīng)用“問題解決”課堂模式探究數(shù)學(xué)史融入課堂之正弦定理

伍海艷

摘要：如何在中學(xué)開展HPM課堂教學(xué)，讓數(shù)學(xué)史成為課堂利器，需要尋找合適的方法精心設(shè)計。本案例采用“問題解決”課堂模式將數(shù)學(xué)史融入課堂，在作高法證明定理后，引入納綏爾丁的同徑法，在探究正弦定理的完整形式時引入梅文鼎與韋達(dá)的外接圓法，進(jìn)而引出輔助直徑法。通過問題探究讓數(shù)學(xué)史和正弦定理內(nèi)容學(xué)習(xí)渾然天成、生動有趣。

關(guān)鍵詞：HPM;正弦定理;“問題解決”課堂模式

中圖分類號：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2020）01-0118

近年來，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)日益受到中學(xué)數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注，許多中學(xué)數(shù)學(xué)教師開始開展HPM實(shí)踐和案例開發(fā)。其一，在中學(xué)開展HPM課堂教學(xué)并取得好的效果，筆者認(rèn)為首先要讓課程實(shí)施者自己理解到引入數(shù)學(xué)史是必要的、有用的，可以用來解決問題增強(qiáng)教學(xué)效果的;其二，需要足夠的資源以支撐我們進(jìn)行HPM探索;其三，作為教師，針對不同的內(nèi)容應(yīng)該研究出不同的融入方法。如果每節(jié)課都是走一樣的程序，引入歷史，導(dǎo)入新知，不僅會引起視覺的疲勞，也失去了引入數(shù)學(xué)史的意義。所以，本案例以正弦定理的教學(xué)為例，談?wù)劰P者對HPM的理解。

首先，筆者認(rèn)為將數(shù)學(xué)史融入課堂是有必要的、有用的。從當(dāng)前正弦定理的教學(xué)看，無論是教科書的編寫還是教師的教學(xué)，對其歷史發(fā)展是普遍忽視的，這在一定程度上影響了學(xué)生的認(rèn)知過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會產(chǎn)生很多疑惑，比如正弦定理跟“弦”有關(guān)嗎？正弦定理中，三角形的邊與其對角的正弦之比為什么與外接圓直徑有關(guān)，為什么會想到外接圓？透過正弦定理發(fā)展的歷史，我們不難找到上述問題的答案。所以，筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中適當(dāng)使用歷史材料，能夠有效解決學(xué)生的疑問。

其次，深入研究本內(nèi)容特點(diǎn)，尋求既生動有趣又高效的課堂教學(xué)方式，即采用“問題解決”課堂模式將數(shù)學(xué)史融入課堂。問題解決能力是“創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力”在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的具體體現(xiàn)，是一種重要的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在課堂教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生在學(xué)習(xí)中成為發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的主體，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。問題解決”課堂教學(xué)模式的操作程序?yàn)椋?. 創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生探究興趣;2. 嘗試引導(dǎo)，把數(shù)學(xué)活動作為教學(xué)的載體;3. 自主解決，把能力培養(yǎng)作為教學(xué)的長遠(yuǎn)利益;4. 練習(xí)總結(jié)，把知識梳理作為教學(xué)的基本要求?；谝陨侠碚摷罢n堂需要，筆者將分三部分進(jìn)行探究，并在適時位置融入數(shù)學(xué)史。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入課題

問題：1.如圖（1），設(shè)A、C兩點(diǎn)在河的兩岸，只有米尺和量角設(shè)備，不過河你可以測出它們之間的距離嗎？

為了測定河岸A點(diǎn)到對岸C點(diǎn)的距離，在岸邊選定1公里長的基線AB，并測得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如圖（2）如何求A、C兩點(diǎn)的距離？我們需要弄清楚三角形邊角之間的關(guān)系。

二、活動探究，先學(xué)生小組活動，然后展示答案

活動1：探究直角三角形邊角之間的關(guān)系

思考：在直角三角形ABC中，各個角的正弦如何表示？如圖（3）

sinA=[ac]，sinB=[bc]，而[sinC=1=cc]，

容易得到：[asinA=bsinB=csinc]

思考：這個問題對一般的三角形成立嗎？

活動2：在銳角三角形中是否有相同的結(jié)論，如圖（4）

作BE⊥AC，AD⊥BC

請在△ABD、△ACD中用斜邊與三角形的角的關(guān)系表示出AE，

請在△ABE、△ACE中用斜邊與三角形的角的關(guān)系表示出BD;

答案：AD=ABsin∠ABC=ACsin∠ACB

∴[ABsin∠ACB]=[ACsin∠ABC]

同理BE=ABsin∠BAC=ACsin∠ACB

∴[ABsin∠ACB]=[BCsin∠BAC]

因此，我們就可得到[asinA=bsinB=csinC]。

活動3：鈍角三角形是否有相同的結(jié)論？經(jīng)證明亦有

[asinA=bsinB=csinC]

活動4：小結(jié)，由此得出正弦定理：在任意一個三角形中，各邊與所其對角的正弦值的比相等，即滿足關(guān)系式

∴[asinA]=[bsinB]=[csinC]。

活動5：定理另證（讓學(xué)生小組合作完成，請學(xué)生上臺講解）

如圖，分別在CA、BA的延長線上取點(diǎn)G、E，使CG=BE=1如圖（5），分別以C、B為圓心CG和BE為半徑作弧，交直線于M、N，分別過G、A、E作直線BC的垂線，垂足分別為H、D、F，請利用三角形相D似的比例關(guān)系來證明[bc]=[sinBsinC]。

解：易得GH=sinC，EF=sinB

記b=AC，c=AB，

由[bCG]=[ADGH]，[cBE]=[ADEF]

兩式相除，結(jié)合CG=BE知：[bc]=[EFGH]=[sinBsinC]

此方法是13世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家和天文學(xué)家納綏爾丁的證明方法，即同徑法。

活動6：題后反思：（1）比較兩種證法，有什么共同的地方？哪種方法更容易？

（2）在第2種證法中為什么作弧，不作弧能否證明？以此問題作為引入數(shù)學(xué)史的橋梁。

三、引入數(shù)學(xué)史，這部分用微課形式展示

十八世紀(jì)之前，正弦始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的線段，受此影響，對正弦定理的證明基本上都是通過作圓的弦來實(shí)現(xiàn)的。直到1748年，歐拉在《無窮分析引論》中指出“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。比如，以角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)P向另一邊作垂線PM后，所得線段MP（即函數(shù)線）與OP相互之間的比值即該角的（下轉(zhuǎn)第122頁）（上接第118頁）正弦。歐拉的定義實(shí)際上將正弦定義為直角三角形的直角邊與斜邊的比值，這一發(fā)展立即帶來了正弦定理證明的簡化。如圖（6）：sinB=AD∶AB，sinC=AD∶AC立即就有sinB∶sinC=AC∶AB這一證明這是數(shù)學(xué)簡潔美的典范，不足的是脫離了外接圓，失去了正弦定理的完整形式。

那么正弦定理的完整形式是什么呢？以此問題作為橋梁進(jìn)一步引入數(shù)學(xué)史。還是從希帕克斯說起。

活動7：思考：添加外接圓怎么證明正弦定理？

引導(dǎo)回答：作弦的垂徑或者輔助直徑。

方法1：設(shè)R為三角形ABC的外接圓的半徑如圖（7）

作OE⊥BC，OF⊥AC，OG⊥AB……

[A][B][C][D][O][a][b][c][圖（8）][圖（7）] [A][C][B][D][E][F][O]

方法2：如圖（8），過C做外接圓的直徑CD，連接BD，則三角形CBD為直角三角形∠A=∠D，sinA=sinD=[BCCD]=[BC2R]，

∴[BCsinA]=2R同理[ACsinB]=2R，[ABsinC]=2R

∴[BCsinA]=[ACsinB]=[ABsinC]=2R。

數(shù)學(xué)史知識：我國清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在他的著作《平三角舉要》中也證明了正弦定理，以上的證明方法一就是梅文鼎的證明思路之一。16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540～1603）也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了外接圓法。20世紀(jì)初，“外接圓法”演化為“輔助直徑法”。而在上面的方法二也就是輔助直徑法。

本文通過對正弦定理的教學(xué)，對任意三角形邊角關(guān)系問題的探究，對正弦定理的來源和歷史證明方法的鑒賞及正弦定理應(yīng)用的例題設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生自主探索知識的生成，讓學(xué)生思之有向，思之有序，思之有理，思之有創(chuàng)，讓學(xué)生不斷感悟，使課堂教學(xué)有了深度、廣度。實(shí)踐了素質(zhì)教育的八字方針：精講、善導(dǎo)、引思、激趣，讓學(xué)生在合作中學(xué)習(xí)，在探究中創(chuàng)新，在互動中深化，使學(xué)生在整個學(xué)習(xí)中成為真正的主人。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張小明.正弦定理的證明：從歷史到教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2015（7）.

[2] 汪曉勤.20世紀(jì)中期以前的正弦定理歷史[J].數(shù)學(xué)通報，2016（1）.

（作者單位：廣東省湛江市第一中學(xué)? ?524038）