3-RRRU并聯(lián)機器人運動學(xué)建模與誤差分析

趙新華 ，欒倩倩 ，趙 磊 ，劉 涼

（1.天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗天津理工大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300384；2.機電工程國家級實驗教學(xué)示范中心（天津理工大學(xué)），天津 300384）

1 引言

機器人技術(shù)的誕生及迅速發(fā)展，使現(xiàn)代的工業(yè)生產(chǎn)力得到大大的提高。與串聯(lián)機器人相比，并聯(lián)機器人具有高速度、高精度、高剛度、高承載能力等優(yōu)勢性能，所以對并聯(lián)機器人的研究尤為重視。并聯(lián)機器人在作業(yè)生產(chǎn)中存在多種誤差，主要包括：機械結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差、環(huán)境因素、加工誤差和安裝誤差等，各種誤差的非線性組合使得誤差因素復(fù)雜化，降低機器人的工作精度，不利于提高生產(chǎn)效率。所以對機器人誤差分析具有實際重要性。在1978年，K.J.Waladron和A.Kuman基于D-H坐標(biāo)系采用矩陣法計算出并聯(lián)機器人的位置誤差。近幾年，針對并聯(lián)機器人誤差的研究取得了一定的成就。文獻[1]基于最小二乘法和經(jīng)典摩擦模型對工業(yè)機器人完成了誤差的在線估測并且設(shè)計了補償摩擦誤差的方法。文獻[2-3]分別先后采用人工神經(jīng)網(wǎng)完成了對工業(yè)機器人執(zhí)行末端誤差的測算并進行補償和實現(xiàn)了對非幾何誤差的補償。譚興強利用單支鏈D-H參數(shù)方法和攝動法建立了風(fēng)洞6_PUS并聯(lián)支撐機器人運動誤差模型，并對其進行補償[4]。余躍慶將平面3-RRR并聯(lián)機器人系統(tǒng)作為研究對象，根據(jù)機器人的逆運動學(xué)方程，建立了基于全微分理論的機構(gòu)誤差分析模型[5]。戴智武等提出一種采用粒子群算法對Delta并聯(lián)機器人的誤差參數(shù)進行辨識的方法，計算出Delta并聯(lián)機器人各機構(gòu)參數(shù)的誤差，最后結(jié)合運動學(xué)誤差模型對機器人末端位置進行補償[6]。

針對3-RRRU并聯(lián)機器人的運動學(xué)位置分析已經(jīng)提出了很多方法，如Denavit-Hartenberg（D-H）方法、空間矢量法等，為誤差分析奠定了理論基礎(chǔ)[7]。因此，在3-RRRU并聯(lián)機器人運動學(xué)正解模型基礎(chǔ)上，建立誤差模型，并將誤差值代入到誤差模型，對影響機器人被控終端精度的機構(gòu)中各參數(shù)進行分析[8-9]。

2 3-RRRU并聯(lián)機器人的運動學(xué)建模

2.1 并聯(lián)機器人3-RRRU的結(jié)構(gòu)與工作原理

如圖2所示，3-RRRU并聯(lián)機器人是由靜平臺、動平臺、三條支鏈組成，靜平臺固定在上方，動平臺則位于下方，且靜、動平臺均為正三角形的形狀。三條支鏈鏈接上下兩個靜動平臺，三條支鏈均自上至下依次由三個轉(zhuǎn)動副（R），一個虎克鉸（U）連接著靜動平臺。連接靜平臺的三個轉(zhuǎn)動副均為驅(qū)動副，其余則為被動副（設(shè)Aij為第i支鏈第j的運動副）。如圖所示，驅(qū)動副的軸線平行于相鄰被動副的軸線，同時平行與靜平臺所在平面，而垂直于第三個轉(zhuǎn)動副的軸線?；⒖算q的兩個軸線互為垂直，即分別平行于第三個轉(zhuǎn)動副和前兩個轉(zhuǎn)動副。

圖1 3-RRRU并聯(lián)機器人Fig.1 The 3-RRRU Parallel Manipulator

圖2 第一條支鏈的幾何圖Fig.2 The First Branch of the Geometric Map

2.2 運動學(xué)建模

采用空間矢量法建立正解模型[10]。以第一條鏈為例，如圖3所示，設(shè)Aij為第i支鏈第j關(guān)節(jié)，θij為第i條支鏈，第j個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量角，桿件長度為Lij（第i條支鏈，第j個桿件，其中，i=1，2，3，j=1，2，3），R 和 r分別為靜平臺 ΔA0B0C0和動平臺 ΔA1B1C1的外接圓半徑，OR是靜平臺的幾何中心，P為動平臺的幾何中心。注意φ=180°。根據(jù)幾何法，第一支鏈的閉環(huán)方程為：

式中：cφ—cosφ，同理sφ—sinφ。P（Px，Py，Pz）—動平臺控制終端的坐標(biāo)值。

3 3-RRRU并聯(lián)機器人誤差建模與精度分析

3.1 誤差建模

在3-RRRU并聯(lián)機器人正解模型的基礎(chǔ)上建立誤差模型，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)以及驅(qū)動角產(chǎn)生誤差時，對機器人控制末端位置的影響。

表1 各個構(gòu)件參數(shù)值（單位/mm）Tab.1 The Parameter Values for Each Component（Unit/mm）

設(shè)ΔP為理論點與由誤差建模得出的坐標(biāo)值之間的距離，則有：

3.2 誤差分析

3.2.1 驅(qū)動角誤差

3-RRRU并聯(lián)機器人一共有3個驅(qū)動副，位于正三角形的靜平臺三個角上。當(dāng)驅(qū)動角誤差 Δθ11、Δθ21和 Δθ31處于（0.001～0.01）°時，將驅(qū)動角誤差帶入到誤差模型中，分析其產(chǎn)生誤差時對末端位置控制精度的影響。ΔPi1（i=1，2，3）和ΔP分別代表三條支鏈驅(qū)動角分別產(chǎn)生誤差以及各誤差共同作用時被控終端產(chǎn)生的位置誤差，如表2所示。

表2 驅(qū)動角誤差數(shù)據(jù)1（單位/mm）Tab.2 The Error Data of the Drive Angle（Unit/mm）

圖3 驅(qū)動角誤差曲線Fig.3 The Error Curve of the Drive Angle

結(jié)合表2的數(shù)據(jù)和圖4可知，驅(qū)動角、和同時產(chǎn)生誤差值為0.01°時，被控末端位置誤差最大為85.2μm，驅(qū)動角產(chǎn)生誤差0.001°，被控末端位置誤差最小為6.8μm。

3.2.2 連桿加工誤差

3-RRRU并聯(lián)機器人一共有9個桿件，其中包括3個驅(qū)動桿件、靠近驅(qū)動桿件和連接動平臺的2種被動桿件，分別將驅(qū)動桿件和被動桿件的誤差以及各個桿件均處于（0.01～0.1）mm之間時，分析被控終端位置精度的變化狀況。和分別指三種桿件單獨產(chǎn)生誤差時以及各個桿件誤差共同作用時的被控終端的誤差值，仿真數(shù)據(jù)如下。由表3的數(shù)據(jù)可知，驅(qū)動桿件和被動桿件共同產(chǎn)生誤差值均為0.1mm時，被控末端位置誤差最大為249.4μm，其中，靠近動平臺的被動桿件的誤差作用最大，被動桿件加工誤差為0.1mm時，誤差值為137.2μm。當(dāng)三條支鏈驅(qū)動桿件、和產(chǎn)生誤差0.01mm時，被控末端位置誤差最小為6.2μm。

表3 驅(qū)動、被動桿件誤差數(shù)據(jù)（單位/mm）Tab.3 The Error Data of Drive and Passive Rod（Unit/mm）

圖4 連桿加工誤差曲線Fig.4 The Error Curve of Rod

3.2.3 靜動平臺的外接圓半徑R、r的加工誤差

3-RRRU并聯(lián)機器人的靜動平臺的外接圓半徑為R和r。當(dāng)外接圓半徑為R和r的誤差從（0.01～0.1）mm之間變化時，分析被控終端精度的變化狀況，ΔP指R和r共同產(chǎn)生誤差時被控終端的誤差值，仿真數(shù)據(jù)如下。由表4的數(shù)據(jù)可知，3-RRRU并聯(lián)機器人的靜動平臺的外接圓半徑為R和r共同產(chǎn)生誤差值均為0.1mm時，被控末端位置誤差最大為568.4μm，最小為9.2μm。

表4 靜動平臺的外接圓半徑R、r的誤差數(shù)據(jù)（單位/mm）Tab.4 The Error Data of Circumscribed Circle Radius of the Static and Dynamic Platform（Unit/mm）

圖5 靜動平臺的外接圓半徑R、r的誤差曲線Fig.5 The Error Curve of Circumscribed Circle Radius of the Static and Dynamic Platform

4 總結(jié)

由3-RRRU并聯(lián)機器人誤差數(shù)據(jù)分析可以得到結(jié)論如下：（1）驅(qū)動角的誤差在（0.001～0.01）°變化時，第一條支鏈驅(qū)動角誤差Δθ11作用時，機器人控制誤差分布在時（8.4～84.2）μm，三個驅(qū)動角誤差共同作用時，其終端誤差處于（8.5～85.2）μm，由數(shù)據(jù)可知，三個驅(qū)動角誤差作用時，機器人終端位置誤差體現(xiàn)了3-RRRU并聯(lián)機器人機構(gòu)的誤差“不累積”的特性。（2）三條支鏈的驅(qū)動桿件L11、L21和L31的加工誤差處于（0.01～0.1）mm時，機器人被控末端的誤差范圍為（6.2～62.4）μm，遠遠小于靠近動平臺的被動桿加工誤差時的被控末端的誤差范圍，為（13.72～137.2）μm。當(dāng)所有桿件加工誤差在0.1mm時，末端誤差最大，為249.4μm。（3）由靜動平臺的外接圓半徑R、r的誤差數(shù)據(jù)可知，加工誤差分布在（0.01～0.1）mm時，且R和r加工誤差同時作用時，有最大值568.4um。（4）第一條支鏈的驅(qū)動角和由靜動平臺的外接圓半徑R、r的誤差對被控終端精度影響較大，所以要提高機器人的工作精度就要保證θ11以及R和r誤差最小。