應(yīng)用MMR的平行度幾何評(píng)定

魯周抗，黃美發(fā)，唐哲敏，宋 勵(lì)

（桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西 桂林 541004）

1 引言

公差原則是處理尺寸公差與形位公差之間關(guān)系的原則，包括獨(dú)立原則（IP）、包容要求（ER）、最大實(shí)體要求（MMR）、最小實(shí)體要求（LMR）和可逆要求（RPR）[1]。使用不同的公差原則，可以滿(mǎn)足不同的功能需求，例如MMR可在零件有可裝配性要求時(shí)使用。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)零件方位公差應(yīng)用MMR時(shí)合格性的評(píng)定進(jìn)行了大量的研究，并獲得了相應(yīng)的成果。文獻(xiàn)[2]建立了零件被測(cè)要素應(yīng)用MMR的二維數(shù)學(xué)評(píng)定模型，并實(shí)現(xiàn)對(duì)虛擬零件合格性的評(píng)定。文獻(xiàn)[3]建立了三維孔軸類(lèi)零件公差的軟件量規(guī)的數(shù)學(xué)等效式，此時(shí)零件被測(cè)要素應(yīng)用MMR或ER。文獻(xiàn)[4]研究了三維零件被測(cè)要素有MMR的方位公差合格性的評(píng)定模型，可評(píng)定虛擬零件的合格性。前述三種模型主要針對(duì)零件被測(cè)要素應(yīng)用MMR時(shí)零件合格性的評(píng)定，且都未考慮零件的形狀誤差。

當(dāng)被測(cè)要素的方位公差及其基準(zhǔn)應(yīng)用MMR時(shí)，可在零件滿(mǎn)足其功能要求的情況下，擴(kuò)大其幾何公差值，降低其加工成本、提高其合格率。然而，對(duì)于此種情況下零件的方位誤差的評(píng)定，還未有一個(gè)通用和有效的方法。雖然國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T16671-2009[5]中給出了此種情況下的物理評(píng)定方法，即通過(guò)若干個(gè)相關(guān)聯(lián)的物理量具來(lái)評(píng)定零件方位誤差的合格性，但這種方法并沒(méi)有給出具體的數(shù)學(xué)模型，且此方法存在以下缺陷：對(duì)于小批量生產(chǎn)的產(chǎn)品，使用綜合量規(guī)檢測(cè)不劃算；綜合量規(guī)的測(cè)量柔性小，特定量規(guī)對(duì)應(yīng)特定零件。文獻(xiàn)[6]建立了被測(cè)要素及其基準(zhǔn)有MMR時(shí)表面光滑的軸對(duì)稱(chēng)零件位置誤差評(píng)定的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[7]用公差映射法確定了零件被測(cè)要素方位公差及其基準(zhǔn)有MMR時(shí)被測(cè)要素方位的空間極限變動(dòng)范圍。文獻(xiàn)[8]提出了零件孔特征及其基準(zhǔn)應(yīng)用MMR時(shí)位置度誤差的評(píng)定方法。文獻(xiàn)[6-8]只能評(píng)定簡(jiǎn)單零件的定位誤差，且未考慮實(shí)際零件的形狀誤差。針對(duì)以上問(wèn)題，研究用虛擬量具對(duì)被測(cè)要素的平行度公差及其基準(zhǔn)同時(shí)應(yīng)用MMR（以下簡(jiǎn)稱(chēng)MM平行度公差）時(shí)零件平行度的評(píng)定方法。

2 MM平行度的幾何約束

2.1 MM平行度的標(biāo)注內(nèi)容

在國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T16671-2009[5]中，MM平行度公差的標(biāo)注形，如圖1所示。

圖1 MM平行度公差標(biāo)注Fig.1 Marking of Parallel Tolerances

2.2 MM平行度的幾何約束

MM平行度公差對(duì)被測(cè)孔和基準(zhǔn)孔有以下5個(gè)約束：（1）被測(cè)孔和基準(zhǔn)孔的局部尺寸應(yīng)分別處于各自最大實(shí)體尺寸和最小實(shí)體尺寸之間；（2）被測(cè)孔和基準(zhǔn)孔不得違反其各自的最大實(shí)體實(shí)效邊界（MMVB）；（3）被測(cè)孔MMVB與基準(zhǔn)孔MMVB軸線(xiàn)平行；（4）被測(cè)孔的最大實(shí)體實(shí)效尺寸（MMVS）等于其最大實(shí)體尺寸減去其平行度公差值；（5）基準(zhǔn)孔有形狀公差且應(yīng)用MMR，基準(zhǔn)孔最大實(shí)體實(shí)效尺寸等于其最大實(shí)體尺寸減去形狀公差值。

2.3 MM平行度的物理檢驗(yàn)方法

在滿(mǎn)足約束1的情況下，可通過(guò)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1958-2004[9]給出的物理檢驗(yàn)方法對(duì)MM平行度進(jìn)行檢測(cè)。該方法主要是將零件基準(zhǔn)孔套在其相對(duì)應(yīng)量規(guī)（位置固定）中，然后調(diào)整零件，只要能使塞規(guī)通過(guò)被測(cè)孔，即可判定MM平行度公差合格。此時(shí)，基準(zhǔn)孔量規(guī)的直徑等于其最大實(shí)體實(shí)效尺寸，被測(cè)孔塞規(guī)的尺寸等于其最大實(shí)體實(shí)效尺寸，且量規(guī)與塞規(guī)處于平行位置。

3 MM平行度的數(shù)學(xué)評(píng)定方法

3.1 虛擬量具的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)2.3節(jié)所述綜合量規(guī)的幾何特性建立相應(yīng)MM平行度公差的虛擬量具，如圖2所示。

圖2 基準(zhǔn)孔和被測(cè)孔的虛擬量具Fig.2 Virtual Measuring Tool for Datum Hole and Measured Hole

由（4）可得被測(cè)孔虛擬量具關(guān)鍵尺寸MMVBB的直徑DB為：

式中：DBmax—被測(cè)孔的最大實(shí)體尺寸；T2—被測(cè)孔的平行度公差。

由（5）可得基準(zhǔn)孔虛擬量具關(guān)鍵尺寸MMVBA的直徑DA為：

式中：DAmax—基準(zhǔn)孔的最大實(shí)體尺寸；T1—基準(zhǔn)孔的形狀公差。

3.2 MM平行度合格性評(píng)定模型

根據(jù)2.3節(jié)MM平行度的物理檢測(cè)方法以及3.1節(jié)所建立的虛擬量具模型，可通過(guò)以下步驟評(píng)定MM平行度公差，如圖3所示。

圖3 MM平行度公差的評(píng)定流程Fig.3 Evaluation Process of M-M Parallel Tolerance

（1）獲取被測(cè)零件的測(cè)點(diǎn)并將其移至局部坐標(biāo)系中。具體操作，如圖4所示。根據(jù)式（3）先將實(shí)際被測(cè)零件幾何中心粗略地平移至局部坐標(biāo)系原點(diǎn)（第一次移動(dòng)）；

式中：PB，n=（xB，n，yB，n，zB，n）T、PB，n，1=（xB，n，1，yB，n，1，zB，n，1）T—被測(cè)孔上序號(hào)為n的測(cè)點(diǎn)的初始坐標(biāo)、經(jīng)第一次移動(dòng)后測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)；pA，m=（xA，m，yA，m，zA，m）T、pA，m，1=（xA，m，1，yA，m，1，zA，m，1）T—基準(zhǔn)孔上序號(hào)為m的測(cè)點(diǎn)的初始坐標(biāo)值、經(jīng)第一次移動(dòng)后測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

然后，再經(jīng)過(guò)調(diào)整使第一次移動(dòng)后實(shí)際基準(zhǔn)孔的擬合圓柱軸線(xiàn)與局部坐標(biāo)系z(mì)軸重合，如圖4.2所示。為了降低編程和評(píng)定過(guò)程的復(fù)雜程度，采用最大內(nèi)接圓柱法擬合實(shí)際基準(zhǔn)孔的測(cè)點(diǎn)，其數(shù)學(xué)模型如下：

式中：max dA，m—以局部坐標(biāo)系原點(diǎn)為圓心的最大內(nèi)接圓的直徑，其值等于實(shí)際基準(zhǔn)孔的最大內(nèi)接圓柱的直徑；（x1，y1，0）T—實(shí)際基準(zhǔn)孔的測(cè)點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸第二次移動(dòng)的平移矢量。

式中：α1、β1—實(shí)際基準(zhǔn)孔的測(cè)點(diǎn)繞x軸、y軸的旋轉(zhuǎn)弧度；目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解為 xr、yr、αr、βr。

第二次移動(dòng)后實(shí)際被測(cè)孔測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)PB，n和實(shí)際基準(zhǔn)孔測(cè)點(diǎn)坐標(biāo) pA，m可由式（5）求得：

（2）由式（1）、式（2）分別計(jì)算基準(zhǔn)孔與被測(cè)孔虛擬量具的關(guān)鍵尺寸 DA、DB。

圖4 基準(zhǔn)孔的幾何中心及其擬合圓柱軸線(xiàn)移動(dòng)過(guò)程Fig.4 The Movement of the Geometric Center of the Datum Hole and the Fitted Cylindrical Axis

（3）由式（6）檢驗(yàn)實(shí)際基準(zhǔn)孔和實(shí)際被測(cè)孔是否滿(mǎn)足約束1。

式中：DAmin—基準(zhǔn)孔的最小實(shí)體尺寸；

DBmin—被測(cè)孔的最小實(shí)體尺寸。

（4）通過(guò)計(jì)算實(shí)際被測(cè)孔的極限當(dāng)量直徑來(lái)判斷被測(cè)孔平行度誤差是否合格。實(shí)際被測(cè)孔的極限當(dāng)量直徑：當(dāng)實(shí)際基準(zhǔn)孔包容MMVBA時(shí)，以平行于MMVBA軸線(xiàn)為軸線(xiàn)、能被實(shí)際被測(cè)孔包容的最大理想圓柱直徑。實(shí)際被測(cè)孔的極限當(dāng)量直徑可用如下目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求得：

maxd

式中：（x0，y0）—零件第三次移動(dòng)過(guò)程中某一位置的實(shí)際被測(cè)孔投影在局部坐標(biāo)系xOy平面的最大內(nèi)接圓的圓心；dB，n—該位置的實(shí)際被測(cè)孔最大內(nèi)接圓柱的直徑，其軸線(xiàn)與基準(zhǔn)孔的虛擬量具的軸線(xiàn)平行；max dB，n—實(shí)際被測(cè)孔的極限當(dāng)量直徑；dA，m—實(shí)際基準(zhǔn)孔上序號(hào)為m的測(cè)點(diǎn)所形成圓的直徑。由于α2、β2是實(shí)際基準(zhǔn)孔第三次移動(dòng)時(shí)分別繞x軸和y軸的微小旋轉(zhuǎn)量，故可作簡(jiǎn)化處理，即 sinα2≈α2、sinβ2≈β2、cosα2≈1、cosβ2≈1。

若式（8）成立，則可判定被測(cè)零件M-M平行度公差合格。

3.3 粒子群算法

針對(duì)式（4）和式（7），可用粒子群算法（PSO）來(lái)對(duì)它們進(jìn)行求解。粒子群算法計(jì)算過(guò)程如下：

（1）設(shè)粒子群由N1個(gè)粒子組成，給定它們的初始位置

（2）跟蹤各粒子的局部最優(yōu)位置Pn1和所有粒子的全局最優(yōu)位置Pg；

（3）根據(jù)式（9）更新各粒子的位置和速度。

時(shí)的位置；t=1，2，…，T；T—最大的迭代次數(shù)；ω—慣性權(quán)系

數(shù)；C1和C2—局部權(quán)系數(shù)和全局權(quán)系數(shù)。

（4）粒子的迭代次數(shù)若達(dá)到給定的最大迭代次數(shù)，則結(jié)束迭代并輸出最終的全局最優(yōu)函數(shù)值，否則進(jìn)入第（t+1）次迭代。

4 實(shí)例分析

某連桿的初步規(guī)范，在本節(jié)將使用上述所提出的MM平行度公差評(píng)定方法對(duì)該連桿大小孔中心線(xiàn)的MM平行度進(jìn)行評(píng)定，如圖5所示。

評(píng)定過(guò)程如下：

（1）首先通過(guò)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)獲取被測(cè)孔與基準(zhǔn)孔的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)：分別在基準(zhǔn)孔體與被測(cè)孔體上測(cè)得6層測(cè)點(diǎn)，每層包含均勻分布的8個(gè)測(cè)點(diǎn)，由于篇幅有限，部分測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，如表1所示。然后將測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入式（3）將被測(cè)零件的測(cè)點(diǎn)向局部坐標(biāo)系原點(diǎn)粗略平移，并將第一次移動(dòng)后基準(zhǔn)孔測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù) pA，m，1代入式（4），用PSO算法對(duì)目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行求解，解得實(shí)際基準(zhǔn)孔的最大內(nèi)接圓柱的直徑max dA，m=64.010mm，此時(shí)最優(yōu)解（xr，yr，αr，βr）=（-0.6924，0.2776，0.0121，0.0147）。將第一次移動(dòng)后基準(zhǔn)孔和被測(cè)孔測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，以及（-0.6924，0.2776，0.0121，0.0147）代入式（5），解得第二次移動(dòng)后基準(zhǔn)孔與被測(cè)孔測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)。

圖5 連桿零件示意圖Fig.5 Sketch of Connecting Rod Parts

表1 零件基準(zhǔn)孔與被測(cè)孔的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)Tab.1 Measuring Point Data of the Datum Hole and the Measured Hole of the Parts

（2）由式（1）、式（2）分別計(jì)算基準(zhǔn)孔與被測(cè)孔虛擬量具的關(guān)鍵尺寸DA=63.9 mm、DB=29.99 mm。

（3）檢驗(yàn)基準(zhǔn)孔和被測(cè)孔是否滿(mǎn)足（1）。

由式（6）可得基準(zhǔn)孔與被測(cè)孔局部尺寸的范圍：

經(jīng)計(jì)算兩次移動(dòng)后實(shí)際被測(cè)孔與實(shí)際基準(zhǔn)孔兩者的局部尺寸皆在給定的范圍內(nèi)；故實(shí)際零件滿(mǎn)足（1）。

（4）通過(guò)計(jì)算實(shí)際被測(cè)孔的極限當(dāng)量直徑來(lái)判斷被測(cè)孔平行度誤差是否合格。

將第二次移動(dòng)后基準(zhǔn)孔與被測(cè)孔測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入式（7），并用PSO算法對(duì)其求解，解得實(shí)際被測(cè)孔的極限當(dāng)量直徑max dB，n=30.012mm，滿(mǎn)足式（8），故判定MM平行度公差合格。

5 結(jié)論

（1）針對(duì)MM平行度的物理評(píng)定方法存在的不足以及現(xiàn)有數(shù)學(xué)評(píng)定方法的局限性，根據(jù)MM平行度物理檢測(cè)方法的檢測(cè)機(jī)理，建立相應(yīng)的虛擬量具以及零件MM平行度的評(píng)定數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證該方法的可行性；

（2）所提評(píng)定方法具有良好的拓展性，可以將該評(píng)定方法的思路應(yīng)用于其它的MM方位公差的評(píng)定中。