一類具有無窮時滯的抽象脈沖發(fā)展方程mild解的存在性

劉 洋, 范虹霞

(蘭州交通大學 數(shù)理學院,甘肅 蘭州 730070)

引 言

(1)

脈沖微分方程源于現(xiàn)實問題,用來描述突然的、不連續(xù)的跳躍過程的動力學。關于脈沖微分方程的研究在生物學,物理學和工程學中都有著非常重要的現(xiàn)實意義。近年來,有關脈沖積分微分方程理論的研究更是吸引了很多學者,他們以不動點定理等為理論依據(jù)對具有脈沖的常微分方程進行研究并得到了其解的存在性和周期性,見[1-2]。同時,關于具有時滯的抽象脈沖泛函發(fā)展方程解的存在性研究也取得了一定的進展,見文獻[3-9]。

在文[10]中,FU X L等研究了具有無窮時滯的抽象中立泛函發(fā)展

(2)

解的存在性、正則性及周期解的存在性。受以上工作的啟發(fā)，本文利用Leray-Schauder不動點定理,研究具有無窮時滯的抽象脈沖發(fā)展方程(1)mild解的存在性。所獲得的結論推廣了文[10]中的主要結果。

1 預備知識

在本文中,對線性算子族{A(t):0≤t≤T},假設以下條件成立:

(B1)A(t)是閉線性算子,算子族{A(t):0≤t≤T}的定義域D(A)與t無關,且在X中稠密。

(B4)對任意的t∈[0,T],及某個λ∈ρ(A(t))預解式R(λ,A(t))是緊算子。

那么,算子族{A(t):0≤t≤T}生成唯一的線性發(fā)展系統(tǒng)U(t,s),0≤s≤t≤T滿足以下性質:

(a)當0≤s≤t≤T時,U(t,s)∈L(X),其中L(X)為X上的有界線性變換空間,對任意的x∈X與映射(t,s)→U(t,s)x是連續(xù)的,且算子族U(t,s)依一致算子拓撲連續(xù);

(b)當0≤τ≤s≤t≤T時,U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ);

(c)U(t,t)=I;

(d)當t-s>0時,U(t,s)是緊算子;

Hale和Kato在文[13]中給出相空間B的公理化定義如下。

(A)如果函數(shù)x:(-∞,σ+a]→X(a>0)在[σ,σ+a]上連續(xù)且xσ∈B,那么對任意t∈[σ,σ+a],以下結論成立:

(i)xt∈B;

(iii)t≥0時,存在連續(xù)正值函數(shù)K(t)和局部有界正值函數(shù)M(t),使得

(A1)對(A)中所述的函數(shù)x(·),xt是在[σ,σ+a]上的B-值連續(xù)函數(shù)。

(B)相空間B是完備的。

以下給出本文要用到的假設。

設Ω?B是一個開集。

(H1)F:[0,T]×Ω→D(A)是連續(xù)函數(shù),且存在常數(shù)L>0,使得A(t)F滿足

(H2)函數(shù)G:[0,T]×Ω→X滿足以下條件:

(i)對任意的t∈[0,T],G(t,·):Ω→X連續(xù);對任意的φ∈Ω,G(·,φ):[0,T]→X強可測。

(ii)對任意正數(shù)k,存在函數(shù)gk∈L1([0,T]),使得

(H3)函數(shù)Ik:X→X連續(xù),且存在正常數(shù)μ,W,使得

(H4)函數(shù)g:[0,T]×X→X連續(xù),存在常數(shù)J>0,使得

以下給出系統(tǒng)(1)mild解的定義。

定義2稱函數(shù)x(·):(-∞,T]→X為系統(tǒng)(1)的mild解,若t≤0時,x(t)=φ(t),當0≤t≤T時,函數(shù)U(t,s)A(s)F(s,xs),s∈[0,t)可積,且x(·)滿足以下分段表示的積分方程:

本文將用到以下不動點定理。

定理A[13]設E為Banach空間,A:E→E全連續(xù),如果集合

{x|x∈E,x=λAx,0<λ<1}

是有界的,則A在E的閉球T中必有不動點,這里

2 主要結論

以下給出本文的主要結果。

定理3如果條件(H1)-(H4)成立,并且存在x0∈PC([0,T],X),滿足在(-∞，0]上x0=φ,那么對任意的φ∈PC([0,T],X),存在bφ,0

證明設y(·):(-∞,T]→X是一個函數(shù),定義如下:

其中y0=φ且t→yt連續(xù)。為了方便證明,給出下列記號:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

由定義2,當0≤t≤bφ時,系統(tǒng)(1)的mild解為

在S(ρ)上定義算子Q如下:

顯然,系統(tǒng)(1)存在mild解等價于算子Q有不動點。接下來,我們用定理A證明算子Q存在不動點。

首先證明Q:S(ρ)→S(ρ)。注意到

Qz(t)=U(t,0)A-1(t)[A(t)F(0,φ)-A(t)F(t,yt)]+(U(t,0)-I)F(t,yt)

由條件(H1)-(H3)以及(5),(6)和(7)式可得

=ρ。

由此可得,Q為S(ρ)到其自身的映射。

其次驗證算子Q滿足定理A中的其余條件。

第一步證明Q在S(ρ)上連續(xù)。

由假設條件(H1),(g)和定義1中(A)(iii)可知,

同理可得

第二步證明{Qz:z∈S(ρ)}是一族等度連續(xù)函數(shù)。令0<τ1<τ2

由假設(H1)可得,

綜上可知,{Qz:z∈S(ρ)}是一族等度連續(xù)函數(shù)。

第三步證明Q是S(ρ)上的緊算子。設Q=Q1+Q2,其中

其次,證明{(Q2z)(t):z∈S(ρ)}是相對緊的。顯然,當t=0時,{(Q2z)(t):z∈S(ρ)}相對緊。接下來,令0

對任意的z∈S(ρ),有

3 總 結

本文在閱讀大量書籍,參考相關文獻的基礎上,應用發(fā)展系統(tǒng)的相關性質、相空間理論、Leray-Schauder不動點定理等研究了一類具有無窮時滯的抽象脈沖發(fā)展方程mild解的存在性,得到了該問題mild解的存在性定理。