以數(shù)形結(jié)合為載體，進(jìn)行立體圖形教學(xué)

盧艷嫻

【摘要】本文僅談?wù)勛约涸诹Ⅲw圖形教學(xué)中的一些做法，力圖闡述用數(shù)形結(jié)合方法使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化;能夠變抽象的數(shù)學(xué)語言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)模型

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起。我覺得把數(shù)形結(jié)合思想貫穿、融合在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)密思維，靈活思考，就能幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中化抽象為直觀、化直觀為精確、化難為易、化繁為簡;培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會有效的思維方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。下面以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第三單元“圓柱和圓錐”為例，詮析數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運用。

一、問題背景

（一）來自學(xué)生的困惑

1.學(xué)生初步的空間觀念難以建立，只會機械地記住公式，然后直接套用，如求圓柱表面積的，要推算物體相對應(yīng)需要幾個面（諸如水桶、通風(fēng)管、游泳池、油桶等），但部分學(xué)生總會依附最完整的計算公式來計算，從不作分析，導(dǎo)致解題思緒混亂。

2.也有做題時只記住計算公式而犯了形而上學(xué)的經(jīng)驗主義的錯誤，如見到是“圓錐”有關(guān)系的題必定乘;有時還是犯計算結(jié)果錯誤的，他們憑借的是模糊的印象做題。

（二）來自老師的困惑

教者拿著學(xué)具操作時，學(xué)生都能較好地說出圖形的特征，一旦脫離實物學(xué)生就不能熟練地再現(xiàn)圖形的特征或出錯。究其原因，關(guān)于圖形特征的表象建立不夠牢固，沒用內(nèi)化到學(xué)生已有的知識體系結(jié)構(gòu)中。針對這一現(xiàn)象，我考慮在動手操作之后實施動態(tài)想象，給學(xué)生有效的思維訓(xùn)練，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)形思維的發(fā)展。

二、解決策略

1.重視動手操作，強化圖形表象

數(shù)形思想在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念中需要大量的實踐操作活動，學(xué)生要有充分的時間和空間觀察、測量和動手操作，才能對幾何圖形產(chǎn)生直接感知。

在“圓柱的認(rèn)識”教學(xué)中（如圖一），我們可以充分利用教材上提供的素材，設(shè)計動手操作的提綱，為學(xué)生提供能夠具體操作的步驟，把抽象的幾何圖形，展現(xiàn)在一個個豐富多彩的操作活動中，使得抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化、形象化、簡單化。

根據(jù)提綱，安排學(xué)生進(jìn)行小組互動，憑借著學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，他們不難知道卷出來的立體圖形是圓柱。為拓寬學(xué)生探索的空間，加強對圖形計算方法的探索，可要求學(xué)生在小組中的交流聯(lián)系生活實際，如，“你覺得卷成的圓柱體與生活中的什么物體相似？如果在圓柱的一端加上一個圓面，它像什么物體？有哪些物體是圓柱體，并且有兩個圓面的？”接著學(xué)生會報出一系列的名稱：煙囪、通風(fēng)管、水桶、游泳池、鐵罐頭、油桶……談到生活中的瑣事，降低了學(xué)習(xí)的壓力，學(xué)生定能互勵互勉，就連平時沉默寡言的學(xué)生也積極參與其中，他們往往在同伴的笑聲或糾正下認(rèn)識到自己沒注意的生活現(xiàn)象。

學(xué)生在這種操作中，促進(jìn)圖形模型的構(gòu)建（為后面教學(xué)圓柱表面積的計算鋪墊），將前后知識融會貫通。而增加用平面的長方形、直角三角形和半圓形的小旗快速轉(zhuǎn)動的活動，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時動態(tài)地引入由面到體的過程，妙在讓學(xué)生在觀察中注重了二維的面積概念和三維的體積概念之間的差異比較和縱向發(fā)展脈絡(luò)上的梳理，充分地利用“形”把數(shù)學(xué)概念變得形象、直觀、生動。

2.重視方法的形成過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)知識的靈魂，是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想。教學(xué)時重視數(shù)學(xué)思想方法（轉(zhuǎn)化、極限、數(shù)形結(jié)合等）的滲透，不僅能使學(xué)生對所學(xué)知識理解更深刻，而且對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也十分有用。因此，我們在立體圖形教學(xué)中，要重視方法的形成過程、滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

如教學(xué)“圓柱的體積”一課（圖二）：

（1）直觀演示，建立聯(lián)系

以課件的形式呈現(xiàn)圓面積計算公式的推導(dǎo)過程（如圖三），喚起學(xué)生的記憶，引導(dǎo)學(xué)生回顧、猜想：“能不能把圓柱轉(zhuǎn)化成一種學(xué)過的圖形，計算出它的體積？”學(xué)生直觀圖形這種特殊的語言符號，很快確定打算把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體，這是學(xué)生的初步感知。自然疑問就產(chǎn)生了：該怎樣來切割呢？如何轉(zhuǎn)化更近于長方體呢？

（2）圖形呈現(xiàn)，驗證猜想

猜想——發(fā)現(xiàn)問題后應(yīng)當(dāng)加以驗證。教者利用多媒體演示，把圓柱的底面沿直徑分成若干等份，把圓柱切開（圓柱的底面用一種顏色，圓柱的側(cè)面用另一種顏色）再像下圖這樣拼起來（如圖四）。通過演示使學(xué)生清楚地看到圓柱是如何轉(zhuǎn)化為近似的長方體的。整體上看，用不同的顏色區(qū)分圓柱的底面與側(cè)面，能更有效地凸顯圖形的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

（3）實驗探究，自主構(gòu)建

知識的形成必須是學(xué)生親身經(jīng)歷的過程，此時采用小組交流的形式，他們拿出學(xué)具進(jìn)行了動手操作，拼成了一個近似的長方體。同學(xué)們在操作、比較中，圍繞圓柱體和長方體之間的聯(lián)系，抽象出圓柱體的體積公式（如下）。這個過程，學(xué)生從形象具體的知識形成過程（想象、操作、演示）中，認(rèn)識得以升華，獲得豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

在教學(xué)過程中，教者還可提供豐富的實驗材料，讓學(xué)生從中挑選出解決問題必須的材料進(jìn)行研究。學(xué)生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程。這樣的設(shè)計，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識，同時讓學(xué)生經(jīng)歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過程。學(xué)習(xí)過程中學(xué)生有時獨立思考，有時小組合作學(xué)習(xí)，有時是獨立探索和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，學(xué)生在新知探索中充分體驗了數(shù)學(xué)模型的形成過程。

3.重視數(shù)學(xué)閱讀，數(shù)形結(jié)合助解題

中高年級的小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對于一些看似簡單的數(shù)學(xué)問題，以為自己掌握得很好，自以為是，因此產(chǎn)生輕視心理，審題時就會思想麻痹，粗心大意，結(jié)果在審題時出現(xiàn)了明顯的偏差。有效的數(shù)學(xué)閱讀可以提高學(xué)生的審題能力，分析問題能力，發(fā)展思維能力。指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)題，能夠掌握從文字中提煉出有用信息的方法，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

如，學(xué)習(xí)了人教版六年級下冊《圓柱的認(rèn)識》第19頁內(nèi)容后（如圖五）。

我總覺得學(xué)生對知識的掌握很好，因為在完成類似“把一個圓柱的側(cè)面沿著它的一條高剪開后展開，可以得到一個長方形，所得長方形的長等于圓柱的（ 底面周長 ），寬等于圓柱的（高）?！庇?5%以上的同學(xué)填寫正確，但在單元測試中出現(xiàn)這樣的情況（如圖六）。

究其原因是學(xué)生惰性強，缺乏數(shù)學(xué)閱讀的習(xí)慣，沒有認(rèn)真的閱讀題目，沒有在審讀題目中思考知識點之間的聯(lián)系。因此，我們必須在學(xué)生解決問題前加強數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)。

以下材料是六年級下冊期中綜合素質(zhì)問卷中一道習(xí)題：

這道題學(xué)生因急于求成，沒認(rèn)真審題關(guān)注形狀和各部分就匆匆下筆以致出錯。對于糟糕的解題情況，在評講時我特意把該題獨立出來討論，提示要閱讀題目，并且讀出你對題目的感覺。然而有些孩子們的思路還是清晰的：

生1：這題應(yīng)該先求圓錐的體積，但又不是按圓錐體積的算法，而是求水上升的體積，是圓柱形，不用乘。

生2：讀完題目，可以把重要的信息圈出來，這樣就沒那么容易錯了。（如圖七是該生解題的做法）……

雖然如此，我還是鼓勵他們把自己的思路用簡筆畫的形式描繪出來：

數(shù)學(xué)閱讀實質(zhì)上是一個不斷推理的過程，如果學(xué)生在解題時能認(rèn)真閱讀題目，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，把握本質(zhì)，能充分發(fā)揮空間想象能力建立立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，進(jìn)行合理的知識遷移，想必會實現(xiàn)良好的解題效果。

4.注重感悟，提升數(shù)形結(jié)合的層次

數(shù)學(xué)思想重在“悟”，一個數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過程逐步形成。然而，學(xué)生僅靠課堂上聽老師的講授是難以豐富和完善自己的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)的。只有通過閱讀，好好感悟數(shù)學(xué)語言的完整、規(guī)范、嚴(yán)密，做好與文本標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)語言的交流，才能規(guī)范自己的數(shù)學(xué)語言，提高數(shù)學(xué)語言的理解力和表達(dá)力;領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高自身的思維能力。

如，教學(xué)完“圓柱與圓錐的體積”后，我注重指導(dǎo)學(xué)生閱讀書上的內(nèi)容，力求領(lǐng)悟化未知為已知的數(shù)學(xué)思想，提高思維能力。閱讀后讓學(xué)生填補這樣的結(jié)論：

這里的數(shù)形結(jié)合，在圖形與文字匹配的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生形象地感知圓柱與圓錐體積的關(guān)系，在頭腦中抽象數(shù)與形，從而準(zhǔn)確地解決問題。這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗“數(shù)形結(jié)合”的過程，腦中就會真正形成數(shù)感，看到文字就聯(lián)想到圖形，看到圖形就能聯(lián)想到算理，更加有效地解決問題。

總之，立體圖形的教學(xué)，需要不失時機地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧希瑢⒊橄蟮目臻g概念與直觀的幾何圖像進(jìn)行互釋互譯。相信巧妙地運用數(shù)形結(jié)合，把無形的解題思路形象化，從而使學(xué)生順利的、高效率的學(xué)好數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)智力，增強能力，使教學(xué)收到事半功倍之效。

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