“阿氏”隱圓的妙用

蔡于兵

[摘 ?要] 在許多平面解析幾何的考題中，阿氏隱圓經(jīng)常被“植于”題中，且不易被學生發(fā)現(xiàn).文章對一道以阿氏隱圓為背景的線段最小值問題進行探究.

[關鍵詞] 圓;線段;最小值

認識阿氏隱圓

在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上，且滿足 =λ，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯（Apollonius）圓，簡稱阿氏圓. 這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理.

此定理就是講，如果平面上的動點到兩個定點的距離之比為定值，且定值不為1時，動點的軌跡就是阿氏圓，由于此圓隱藏于題設條件中，故一般稱為阿氏隱圓，且通過具體的坐標代入運算后，我們會發(fā)現(xiàn)此圓的圓心與兩個定點在同一直線上.

考題再現(xiàn)

題目：在平面四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=1，若 · + · = ?· ，則CB+ CD的最小值為___.

題意分析：對于本題，我們首先要根據(jù)題意作出相應的簡圖，不難發(fā)現(xiàn)，題中B，A，D三點的位置是相對固定的，變化的是點C，那么點C位置該如何確定呢？只有一條路可走，即通過對題設中所給的向量等式進行處理，解出點C的軌跡，而對于本題中向量等式的處理，無非兩種途徑：一是進行向量的轉化;二是建坐標系，進行相關坐標運算.

有了點C的軌跡之后，再考慮CB+ CD的最小值問題.

解題思路1：（向量轉化法）作出大致圖形，如圖1所示，注意到向量等式 · + · = ?· 的左邊可以簡化處理，即 · + · = ·（ - ）= · = 2，

對于等式右邊，可以取AB的中點K，如圖2所示，有 ?· = （ + ）·（ + ）= （ - ）·（ + ）= （ 2- 2），于是 2= （ 2- 2），即4= （ 2-1），得到 =2，所以點C的軌跡是以點K為圓心，2為半徑的圓，如圖3所示.

圖3

對于問題待求“CB+ CD”的值，如何將CB，CD這兩項系數(shù)轉換成相等呢？此處就可以根據(jù)阿氏圓的定義，構造出滿足阿氏圓的兩個定點，由于兩定點與圓心在同一直線上，這里我們就可以在射線AB上取點E，如圖4所示，若能使得 =2，那么CB= CE，如此一來，CB+ CD= CE+ CD= （CE+CD），只需求出CE+CD的最小值即可.

那么點E的具體位置怎么確定呢？在△CKB與△EKC中，已經(jīng)有 =2，∠CKB=∠EKC，若再滿足 =2，那么△CKB∽△EKC，則有 =2. 這樣，我們就可以確定點E的具體位置了，即在射線AB上取點E，使得EK=2CK=4，此時AE=5，CB= CE，則CB+ CD= CE+ CD= （CE+CD）≥ DE= .

解題思路2：（坐標運算法）建立如圖5所示的平面直角坐標系，因為AB=2，AD=1，那么可得相關點的坐標A（0，0），B（0，2），D（1，0）. 可設點C（x，y），則由 · + · = ?· 可得，（0，2）·（x，y）+（0，-2）·（x，y-2）= （-x，-y）·（-x，2-y），整理有x2+（y-1）2=4，所以點C的軌跡是以K（0，1）為圓心，2為半徑的圓，如圖6所示.

下面再來處理待求問題“CB+ CD”的值，與思路1一樣，根據(jù)阿氏圓的定義，構造出滿足阿氏圓的兩個定點，將CB，CD這兩項系數(shù)轉換成相等. 由于兩定點與圓心在同一直線上，所以可以在射線AB上取點E（0，e），使得 =2，那么CB= CE，則CB+ CD= CE+ CD= （CE+CD），只需求出CE+CD的最小值即可. 此處可取點C為特殊點來求解，不妨取點C（0，3），那么根據(jù) =2，有 =2，解得e=5，所以E（0，5），如圖7所示，故CB+ CD= （CE+CD）≥ DE= .

點評：在解題思路1中，取出線段AB的中點K來協(xié)助轉化已知的向量等式，從而得出點C的軌跡是圓，這是第一個關鍵點. 第二個關鍵點則是根據(jù)阿氏圓定義，構建符合比值要求的圓外定點E，這其中運用相似三角形的性質(zhì)也是至關重要的. 在解題思路2中，由于建立了平面直角坐標系，所以處理已知向量等式時能較輕松地得出點C的軌跡是圓，接下來轉化點B時，采用特殊點C（0，3）來求解點E的坐標，體現(xiàn)了數(shù)學中的一般與特殊的轉化思想. 在本題的兩種解題思路中，我們都離不開一條中心主線——阿氏隱圓，利用其將問題中已知的兩個定點中的一個定點B轉換成另一個點E，并且恰好保證所求距離之和中的兩項的系數(shù)相等，進而再根據(jù)平面上“兩點之間線段最短”這一結論來求最小值.

考鞏固提高

題目：已知點P是圓O：x2+y2=25上任意一點，平面上有兩個定點M（10，0），N ，3，則PN+ PM的最小值為____

解題思路1：首先根據(jù)題設條件作出簡圖，如圖8所示，由于“PN+ PM”中兩項的系數(shù)不相等，故我們可以將圓O：x2+y2=25理解成阿氏圓，根據(jù)阿氏圓的定義，構造出滿足阿氏圓的兩個定點，將PM，PN這兩項系數(shù)轉化成相等的系數(shù). 因為兩定點與圓心在同一直線上，所以可以在位于圓內(nèi)的x正半軸上取點T（t，0），使得 = ，則PT= PM，且PN+ PM=PN+PT. 此處，不妨取圓O上的特殊點P（5，0）來解出T（t，0），即由 = 可得， = ，解得t= ，則T ，0，如圖9所示，所以PN+ PM=PN+PT≥NT=5，故PN+ PM的最小值為5.

圖9

點評：在本題的解析中，需要將所求問題PN+ PM中兩項的系數(shù)轉化為相等，所以將已知圓理解成阿氏圓，去構造定點T是解決問題的關鍵所在，而在求點T的坐標時，將點P特殊化是至關重要的.

解析思路2：將圓O：x2+y2=25理解成阿氏圓，則可在x軸上取點T（t，0），假設P（x，y），且使得 =λ，代入坐標有 =λ，將此式整理后，可得（λ2-1）x2+（λ2-1）y2+（20-2tλ2）x+λ2t2-100=0. 又因為x2+y2=25，所以有

（20-2tλ2）x+λ2（t2+25）-125=0，故20-2tλ2=0，λ2（t2+25）-125=0，解得λ=2，t= ，所以 =2，因此PN+ PM=PN+PT≥NT=5，故PN+ PM的最小值為5.

點評：本解運用了待定系數(shù)法求解，從阿氏圓的定義出發(fā)，構建出含參數(shù)的圓O的方程，然后再比照已知圓方程，求出參數(shù)，只是解析中有煩瑣的代數(shù)運算，稍不注意，就有可能算錯，因此計算時要慢算、細算.

在眾多解析幾何問題中，阿氏隱圓算是非常經(jīng)典的問題之一，雖沒有在高中教材中被明確提出，但是有隱藏在高中教材中的習題里，這里就不再列出來了. 由于阿氏隱圓在解題中有著廣泛的應用，故教師在平時的教學活動中，要重視阿氏隱圓的教學，對有關阿氏隱圓的問題要及時幫助學生進行分類匯總，引導學生體會題中的意境，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展和解題能力的提高.