提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：問題解決的視角

王海伴

[摘 ?要] 通過主題“關(guān)于導(dǎo)函數(shù)零點無法直接求解”的解決，闡述在高考二輪備考復(fù)習(xí)中，以函數(shù)的零點、方程的根、不等式的解集之間的關(guān)系為突破口，尋求解決問題的思路與方法，領(lǐng)悟這類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，來嘗試激活備考狀態(tài)下的數(shù)學(xué)課堂，落實高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);導(dǎo)函數(shù);零點

高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之間相互影響、相互制約、相互促進，其中直觀想象是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的思維基礎(chǔ). 導(dǎo)函數(shù)零點無法直接求解，是學(xué)生導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題中最常見、最犯難的一類問題，導(dǎo)致很多學(xué)生無法參與課堂教學(xué)，更談不上核心素養(yǎng)的落實. 下面通過實例來談?wù)勥@類問題中提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的看法，不當(dāng)之處，懇請批評指正.

問題提出

在高三文科二輪備考復(fù)習(xí)中，學(xué)生反饋，近幾年高考文科數(shù)學(xué)新課標（Ⅱ）卷導(dǎo)數(shù)壓軸題，難度較大，得分率很低，通過與學(xué)生的交流發(fā)現(xiàn)，問題的焦點在于導(dǎo)函數(shù)零點無法直接求解，其實2016年20題、2017年21題與2010年新課標理科21題相似.

問題：（2010年新課標全國Ⅱ卷理第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）略;（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

問題分析與解決

對于上述問題第二問，筆者在教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生存在以下學(xué)習(xí)障礙.

學(xué)習(xí)障礙一：不明白為什么要對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，從而導(dǎo)致導(dǎo)函數(shù)零點無法直接求解時迷失方向;

學(xué)習(xí)障礙二：學(xué)生對函數(shù)的零點、方程的根、不等式的解集之間的關(guān)系認識不夠，導(dǎo)致無法處理導(dǎo)函數(shù)零點問題;

學(xué)習(xí)障礙三：學(xué)生沒有從數(shù)與形的角度來深刻領(lǐng)悟常見不等式模型，也就談不上常見不等式放縮模型的應(yīng)用.

1. 數(shù)形結(jié)合，嘗試求根，落實直觀想象素養(yǎng)

學(xué)生完成f ′（x）=ex-1-2ax，x≥0的計算，令f ′（x）=0，無法直接求出f ′（x）的零點，此時引導(dǎo)學(xué)生回顧解方程與不等式的常用方法，讓其認識到除了從數(shù)的角度，也可以從形的角度（圖像）近似估算方程的根.通過學(xué)生容易理解的方程，例如x2-4=0，由特殊到一般歸納解方程、解不等式、求函數(shù)零點的數(shù)學(xué)本質(zhì)相同. f（x）=0，即ex-2ax-1=0，從而ex-1=2ax，令g（x）=ex-1，h（x）=2ax，此時類比x2=4的圖像解法. 如圖1，由于在點（0，0）處g（x）的切線為y=x，所以當(dāng)2a≤1，即a≤ 時，g（x）>h（x），？坌x∈（0，+∞），則（0，+∞）為f（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間. 又f（0）=0，所以x∈[0，+∞），f（x）≥0.

當(dāng)a> 時，如圖2所示，存在x ∈（0，+∞），使得f ′（x）=0，這樣在區(qū)間（0，x ）上f′（x）<0，從而（0，+∞）為f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間. 又f（0）=0，于是當(dāng)x∈（0，x ）時，f（x）<0. 綜上a∈-∞， .

通過問題解決可以看出，當(dāng)x≥0時，要使f（x）≥0，只需f（x）min≥0，但方程f ′（x）=0無法直接求出，學(xué)生思維受阻，無法通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性. 引導(dǎo)學(xué)生回顧高中階段解方程的一般性思路，不能直接解方程時，能否考慮利用圖像法近似解方程，考慮在點（0，0）處g（x）的切線為y=x，對2a進行分類討論，使問題得到了順利解決. 通過數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生在求根的思考中有效落實了直觀想象素養(yǎng).

2. 參考特值，多次求導(dǎo)，提升邏輯推理素養(yǎng)

引導(dǎo)學(xué)生再次類比x2-4=0的圖像解法，令f ′（x）=0，無法直接求出f ′（x）的零點，然而導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的單調(diào)性未知，怎樣考察y=f ′（x）的單調(diào)性，此時自然會想到計算f ″（x）. 設(shè)g（x）=ex-2ax-1，g′（x）=ex-2a，當(dāng)a≤ 時，g′（x）≥0，這樣[0，+∞）為g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，于是g（x）≥g（0），即f ′（x）≥0，從而[0，+∞）為f（x）一個單調(diào)遞增區(qū)間，f（0）=0，則x∈[0，+∞），f（x）≥0. a∈ ，+∞時，由g′（x）>0，得ex>2a，解得x>ln（2a），所以[0，ln（2a））為g（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間，[ln（2a），+∞）為g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間. 又g（x）min=g（ln（2a））

方程f ′（x）=0無法直接求出，是問題解決的重要障礙，此時學(xué)生往往會出現(xiàn)思維受阻. 此時，教師應(yīng)該減慢課堂節(jié)奏，再次類比x2-4=0的圖像解法，進一步引導(dǎo)學(xué)生體會再次求導(dǎo)函數(shù)的必要性，讓學(xué)生明白兩種解法的本質(zhì)是相同的，都是以利用圖像法解方程、解不等式作為出發(fā)點. 此外，我們可將參數(shù)a分離，構(gòu)建函數(shù)h（x）= ，“參考特值，多次求導(dǎo)”，最后借助洛必達法則，問題得以順利解決. 這樣在透視數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)中提升了學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

3. 構(gòu)建直觀模型，適當(dāng)放縮，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

直觀模型的建立，需要教師通過輔助教學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生通過感知形、理解數(shù)的角度來學(xué)習(xí)，增強學(xué)生對模型的深刻理解，例如對于ex≥1+x的理解，這樣才有可能將這一直觀模型在問題解決中信手拈來. 由不等式模型ex≥1+x，得f ′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，即a≤ 時，f ′（x）≥0 （x≥0），故（0，+∞）為f（x）的一個單調(diào)遞增，而f（0）=0，于是當(dāng)x≥0時，f（x）≥0. 由ex>1+x（x≠0），得e-x>1-x（x≠0）. 當(dāng)a∈ ，+∞， f ′（x）

學(xué)生在求f（x）在[0，+∞）上的最小值時，發(fā)現(xiàn)方程f′（x）=0無法直接求出，思維受阻，教師引導(dǎo)學(xué)生，從數(shù)與形的角度認識ex≥1+x，x≥ln（x+1）等模型，引導(dǎo)學(xué)生利用不等式ex≥1+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取等號）直觀模型，參考特值f（0）=0，f′（0）=0，使問題得到圓滿解決，從而有效發(fā)展了學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

4. 設(shè)出零點，整體代換，增強數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)

學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，不能定格在簡單模仿解決問題的層面上，而是要抓住數(shù)學(xué)本真. 教師應(yīng)該在把握學(xué)情、注重過程性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，努力為學(xué)生設(shè)置合理的問題.充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓其創(chuàng)造性地解決問題，這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在.

例：（2013年新課標全國Ⅱ卷理第21題）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）略;

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時，證明：f（x）>0.

引導(dǎo)學(xué)生完成，當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2）的判斷，為后續(xù)問題掃清障礙. 故只需證明當(dāng)m=2時，f（x）>0. 當(dāng)m=2時，函數(shù)f ′（x）=ex- 在（-2，+∞）上單調(diào)遞增. y=f ′（x）導(dǎo)函數(shù)零點無法直接求解，給學(xué)生充分探究空間，為創(chuàng)造性解決問題奠定基礎(chǔ). 又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，故f ′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實根x0，x0∈（-1，0）. 當(dāng)x∈（-2，x0）時，f ′（x）<0;當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f ′（x）>0，從而當(dāng)x=x0時，f（x）取得最小值. 此時根據(jù)學(xué)生探索情況，注意引導(dǎo)學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想的重要作用，然后通過f ′（x0）=0得出ex0= ，這樣就得到ln（x0+2）=-x0，而f（x0）= +x0= >0. 由以上分析得m≤2時，f（x）>0.

通過問題解決，學(xué)生領(lǐng)悟到當(dāng)導(dǎo)函數(shù)零點直接不可求時，可以借助零點定理設(shè)出零點，由f ′（x0）=0，得ex0= 進行整體代換，從而使問題得到順利解決，有效促進了學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算.

結(jié)束語

要論證某種教學(xué)方式的正確性和有效性，應(yīng)該根據(jù)核心素養(yǎng)的要求進行.檢驗學(xué)生核心素養(yǎng)的高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn). 問題解決過程能有效增進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的落實. 在教學(xué)實踐中，只要教師慢下匆忙的腳步，進行主題梳理，抓住數(shù)學(xué)問題本真，充分進行形與數(shù)的有機結(jié)合，即使在高三二輪復(fù)習(xí)的課堂教學(xué)中，學(xué)生也能領(lǐng)略沿途美麗的風(fēng)景，這樣就自然將數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落到了實處.