重視數(shù)學閱讀材料，探尋多維立體的數(shù)學教育

張鵬

[摘 ?要] 在新時代的背景下，高中數(shù)學教師應當具備先進的教育理念和扎實精湛的教學技能. 高中數(shù)學教材中的“閱讀材料”內容豐富、功能全面，教師應當認真學習和研究，以它為參考進行數(shù)學活動，并引導學生主動學習. 教師不但應更新理念，培養(yǎng)全面的教學技能，還應從不同的層次讓學生獲得多維立體的數(shù)學教育，讓學生感悟到數(shù)學的價值、文化和精神.

[關鍵詞] 數(shù)學教育;數(shù)學素養(yǎng);閱讀材料;HPM教學

近幾年來，筆者通過調查發(fā)現(xiàn)，許多教師在備課過程中，常常忽略了數(shù)學教材中的“小字部分”，即數(shù)學閱讀材料.他們認為這些內容“不重要”“不會考”，也“沒有時間講”，學生不必學，教師自然也不重視這些內容，甚至從來沒有仔細研究過. 其實，許多教師在備課過程中對教材上的考點下足了功夫，設計了各種教學提問，討論了各種教學方式，就應對考試而言，課程的重難點突破了，學生能牢記知識并應用于解題了，但是就核心素養(yǎng)的全面培育及數(shù)學課程的教育功能而言，目標是沒有達到的. 這樣的數(shù)學課堂和數(shù)學教育是應試的，是孤立片面的，未能對學生的可持續(xù)發(fā)展和終身學習創(chuàng)造條件. 筆者認為，重視數(shù)學教材上的閱讀材料，探尋多維立體的數(shù)學教育勢在必行.

數(shù)學課程的教育目標是多維的

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》明確指出了數(shù)學課程的目標應當是多維的：第一維度，要讓學生獲得“四基”，提高“四能”;第二維度，要能讓學生發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據分析等核心素養(yǎng);第三維度，更長遠地，通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提高學習數(shù)學的興趣，發(fā)展自主學習的能力，不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識，認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

不難理解，在“應試教育”固化思想的影響下，不少教師對數(shù)學教材的理解比較狹隘，他們研讀教材的重點只放在概念、公式和習題上，因此對數(shù)學課程目標的認識也比較局限，教學目標常常只能夠達到第一維度和第二維度，能上升到第三維度的數(shù)學教學并不多見. 事實上，全面認真地研究數(shù)學教材的所有知識內容后不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學閱讀材料上的許多教學資源，能夠讓數(shù)學課程教育的多維目標得以實現(xiàn).

要在數(shù)學教學活動中實現(xiàn)多維的教育目標，教師應當仔細研究數(shù)學教材上的閱讀材料，這能讓教師打開思路，從更系統(tǒng)、更廣闊的角度理解數(shù)學知識，能用更高效、更直觀的技術手段制作教學資源，能以更加多樣和科學的方式來進行數(shù)學教學活動，這樣的數(shù)學教育對學生才是多維立體的.

數(shù)學閱讀材料的德育功能

立德樹人是教育的根本任務，數(shù)學教材上的許多閱讀材料能夠發(fā)揮數(shù)學德育教育的功能.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》中指出，數(shù)學課程要注重數(shù)學文化的滲透.在閱讀材料中，不少有關數(shù)學家克服重重困難取得數(shù)學成就造福人類的史料.如《必修2》中的“歐幾里得《原本》與公理化方法”和“笛卡爾與解析幾何”，《選修4-4》中的“笛卡爾、費馬與坐標方法”，《選修4-5》中的“法國科學家柯西”，等等. 需要注意的是，閱讀材料中也特別介紹了許多中國自古以來的數(shù)學家為人類科學發(fā)展所做的貢獻，如《必修5》中的“海倫與秦九韶”，《必修2》中的“祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積”和“坐標法與機器證明”，《必修3》中的“割圓術”，《選修2-3》中的“‘楊輝三角中的一些秘密”，等等. 學生通過對材料的閱讀，在增長知識見識的同時，能夠感悟數(shù)學的歷史文化，能夠從數(shù)學家身上學習不屈不撓的科學奮斗精神，能夠看到中國數(shù)學的發(fā)展在人類科學發(fā)展史中的重要地位，能夠大大增強文化自信心. 另外，通過延伸閱讀，學生還能了解老一輩數(shù)學家和科學工作者為祖國的建設和發(fā)展而不懈奮斗的故事，激發(fā)學生的愛國熱情，從而樹立堅定的理想信念，立志肩負起民族復興的時代重任.

數(shù)學閱讀材料的教學功能

筆者通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在人教A版普通高中數(shù)學教材中，數(shù)學閱讀材料主要分為“閱讀與思考”“信息技術應用”“探究與發(fā)現(xiàn)”“實習作業(yè)”等欄目.在高考考綱范圍內的必修與選修教材中，數(shù)學閱讀材料有80余項，內容涉及數(shù)學史與數(shù)學文化、信息技術在數(shù)學教學中的應用、數(shù)學建模與數(shù)學實驗、研究性學習等方面.

1. 拓展和深化知識內容

在教材中，許多閱讀材料就數(shù)學知識點作了補充和進一步深化，并引導學生對所學內容進行更深層次的思考和探索.

例如，在《必修5》的“正弦定理和余弦定理”這一節(jié)中，學生已經知道正弦定理和余弦定理分別從定量的角度確定一個三角形的四種條件. 同時學生在計算過程中又發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其中一邊對角的情況下，用正弦定理解出來的三角形可能不唯一，有時有兩解，有時只有一解，有時卻無解. 那么什么時候是兩解，什么時候是一解，什么時候是無解呢？這一節(jié)末尾的“解三角形的進一步討論中”，閱讀材料引導學生探索和總結了這三種情況發(fā)生的條件：

已知三角形的a，b，A，那么：

（1）如果已知的A是鈍角或直角，有一個解;

（2）如果已知的A是銳角，并且a>b或者a=b，有一個解;

（3）如果已知的A是銳角，并且a

①如果a>bsinA，有兩個解;

②如果a=bsinA，有一個解;

③如果a

通過細致的分析，使得學生在解三角形的過程中條理更加清晰，運算更加有效.

諸如此類的數(shù)學閱讀材料在教材中還有很多，如《必修1》的“集合中元素的個數(shù)”，《必修3》的“相關關系的強與弱”，等等. 事實證明，在教師的積極引導和鼓勵下，數(shù)學閱讀材料中的許多內容學生是可以自行學習和探究的. 在這個過程中，學生的“四基”得到了進一步鞏固，“四能”獲得了進一步提升，學生的數(shù)學閱讀能力、理解能力和自學能力可以得到很大的提高，能夠大大幫助學生樹立學習自信心.

2. 培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)和數(shù)學應用能力

實際生活中，在工業(yè)設計、經濟設計或任何其他設計中會運用到數(shù)學的語言和方法，就是數(shù)學建模. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》明確指出，數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動是高中數(shù)學課程內容的四條主線之一. 在人教A版高中數(shù)學教材中，不少閱讀材料從多個角度培養(yǎng)學生的建模素養(yǎng)、應用能力和創(chuàng)新意識.

首先，教材中的許多閱讀材料介紹了學生所學數(shù)學知識在實際生活中的應用，例如，《必修4》中的“三角學與天文學”，《選修2-1》中的“圓錐曲線的光學性質及其應用”，等等. 這些材料使學生深切體會數(shù)學的科學價值和應用價值.

其次，數(shù)學建模需要信息技術的輔助. 在“信息技術應用”和“探索與發(fā)現(xiàn)”等閱讀材料中，常常使用幾何畫板與Excel等軟件進行繪圖、建模、計算和分析. 筆者發(fā)現(xiàn)，盡管現(xiàn)代教育技術是教師教學活動的必備技能，但是閱讀材料也十分鼓勵學生參與信息技術活動. 如果學校有條件的話，不只要學生“看數(shù)學”，更要學生“做數(shù)學”. 例如，在《必修1》的“借助信息技術探究指數(shù)函數(shù)的性質”中，學生可以在教師指導下制作教學資源，觀察和展示當?shù)讛?shù)a變化時的函數(shù)圖像變化，總結出指數(shù)函數(shù)的性質，從而成為課堂真正的主人翁.

另外，教材中的許多“探索與發(fā)現(xiàn)”和“實習作業(yè)”，都鼓勵學生參與實際的數(shù)學建模和研究性學習，引導學生應用數(shù)學解決實際問題. 例如，《必修1》中“物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型”是一個很好的數(shù)學研究性學習活動.材料給出了牛頓提出的冷卻模型函數(shù)θ=θ0+（θ1-θ0）·e-kt，但沒有給出常數(shù)k的值. 學生可以通過動手測量，利用函數(shù)模型求出k的值. 若利用信息技術建模，研究過程會更加高效，數(shù)據會更加可靠.在整個研究過程中，學生完善和驗證了函數(shù)模型，體會了函數(shù)模型在生活中的真切應用，進而提出更多的問題. 例如，“這個函數(shù)模型同樣適用于固體、液體和氣體嗎？”“這個函數(shù)模型適用的溫度范圍是多少？”等等. 從而引發(fā)更深層的思考和研究.

3. 培育數(shù)學史觀

在現(xiàn)代數(shù)學教育理論中，HPM已經發(fā)展成為一個十分活躍的國際數(shù)學教育研究領域. 教材中的許多閱讀材料都滲透了厚重的數(shù)學歷史文化.

例如，在人教A版《必修1》的“對數(shù)函數(shù)”一節(jié)中，對數(shù)概念是用指數(shù)冪的運算給出的，這樣的設計固然簡潔而便于學生記憶，但是在此基礎上介紹常用對數(shù)和自然對數(shù)這兩個“特殊”的對數(shù)，對學生而言也顯得突兀了，常用對數(shù)“常用”在哪兒？e是怎么來的？為什么以e為底的對數(shù)比較特殊？這一系列問題都會在學生的腦海中盤旋. 此時，若教師能夠引導學生閱讀和研究本節(jié)末尾的“閱讀與思考”，學生會驚奇地發(fā)現(xiàn)數(shù)學史上對數(shù)的發(fā)明并沒有利用指數(shù)與對數(shù)的互逆關系. 對數(shù)的發(fā)明，其實是在天文、航海、工程等領域的發(fā)展中為了將大數(shù)化小數(shù)的簡便運算，在這種“化小”和“化簡”的思想影響下，常用對數(shù)和自然對數(shù)的地位才顯得尤為“尊貴”. 當然，為了讓學生在數(shù)學史和數(shù)學文化的熏陶下獲得多元的發(fā)展，教師可以開設趣味小講座，介紹e的由來和它的廣泛應用，帶領學生制作簡易的計算尺（如圖1），等等.

教材中的許多閱讀材料都涉及數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展，或用文字材料加以介紹，或鼓勵學生通過實習作業(yè)的方式去查閱和收集資料，引導學生站在數(shù)學史觀和數(shù)學文化觀的新高度認識數(shù)學，如《《選修1-1》的“走進微積分”，《選修2-2》的“代數(shù)基本定理”，等等. 這些材料不但適合高中生閱讀，也適合廣大的數(shù)學愛好者們閱讀，是數(shù)學普及的優(yōu)質資源.

合理利用數(shù)學教材的閱讀材料，探尋多維立體的數(shù)學教育

數(shù)學教材上的閱讀材料內容豐富，功能強大，教師既要重視研究，更要合理利用. 平時既有備考任務，教學課時數(shù)量也有限，那應當怎樣發(fā)揮數(shù)學閱讀材料的積極作用呢？筆者有一些建議，如：

1. 鼓勵HPM視角下的教學設計，將數(shù)學歷史文化教育融入教學過程中.這需要教師不拘泥于傳統(tǒng)，多思考，多探討，敢于創(chuàng)新，敢于重構.

2. 適當開設數(shù)學實驗課，使學生感受“做數(shù)學”的快樂. 在有條件的情況下，教師多鉆研現(xiàn)代教育技術在數(shù)學課堂中的應用，引入或者開發(fā)數(shù)學小實驗，讓學生參與互動，領略直觀的、動態(tài)的數(shù)學.

3. 將數(shù)學閱讀材料作為校本課程開發(fā)的一部分. 若要充分地、系統(tǒng)地利用數(shù)學閱讀材料，可集合教師的集體智慧，將其制作成為校本課程，有計劃、有特色地實施和推廣，既可開設小講座、小課堂普惠于學生，也可制作資源庫普惠于教師.

4. 可借助研究性學習活動或創(chuàng)客比賽等契機推廣數(shù)學閱讀材料. 數(shù)學閱讀材料中有很多探究性的學術問題，也有很多數(shù)學知識在解決實際問題中的應用. 學生在探究性學習活動或創(chuàng)客比賽中可以此為基礎參考選題，既鍛煉了學生的實踐能力，也培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識.

在黨的十九大報告中，習近平總書記指出，“建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程，必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置，加快教育現(xiàn)代化，辦好人民滿意的教育”. 在新時代深化教育改革的背景下，教師應當具有現(xiàn)代化的教育理念，賦有現(xiàn)代化的教育技術，切勿犯經驗主義錯誤，這就需要教師多思考、多學習和多研究. 高中數(shù)學教材中的閱讀材料兼具科學性、教育性和趣味性，無論數(shù)學教材的版本怎樣更新，數(shù)學閱讀材料的內容怎樣改變，它都是教師提升教學能力的好幫手，也是學生培養(yǎng)綜合素質的好資源.教師應當認真研究，合理利用，主動創(chuàng)新，給予學生多維立體的數(shù)學教育. 在此基礎上，教師還可以開發(fā)更多的數(shù)學閱讀資源，讓學生領略數(shù)學王國的精彩與奇妙！