二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性與滿足Sm=Sn的等差數(shù)列

二次函數(shù)y=f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖像（拋物線）關(guān)于直線x=-b2a對(duì)稱(chēng).如果有f（p）=f（q），且p≠q，則f（p+q）=c.簡(jiǎn)證如下：

法1f（p）=f（q），因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸方程為x=-b2a=p+q2，所以，p+q=-ba.所以f（p+q）=f（-ba）=a（-ba）2+b（-ba）+c=c.

法2由f（p）=f（q）可得對(duì)于對(duì)應(yīng)法則f，自變量和為p+q的函數(shù)的兩個(gè)值相等，所以f（p+q）=f（0）=c.

法3由圖像可得（不妨設(shè)a>0），如圖1.

圖1可將二次函數(shù)圖像的這一性質(zhì)推廣到等差數(shù)列中來(lái).

等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）d，前n項(xiàng)的和Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，

將Sn看成函數(shù)y，n看成自變量x，這個(gè)二次函數(shù)的解析式有兩個(gè)特性：

（1）定義域x∈N*（即n∈N*）；

（2）常數(shù)項(xiàng)為0（即函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)）.

所以，在等差數(shù)列{an}中，設(shè)前k項(xiàng)的和為Sk，若Sm=Sn（m，n∈N*，且m≠n），則Sm+n=0.對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像：

圖2圖3當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}為遞增數(shù)列時(shí)，d>0，拋物線開(kāi)口向上，此時(shí)a1=S1<0，如圖2；

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}為遞減數(shù)列時(shí)，d<0，拋物線開(kāi)口向下，此時(shí)a1=S1>0，如圖3.

例1（2003年北京東城三模第12題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若S10=S20，則S30的值是.

略解由上述命題顯然S30=0.

例2（2011年高考遼寧卷文第15題）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2=S6，a4=1，則a5=.

略解顯然S8=0，所以8（a1+a8）2=0，得a1+a8=0=a4+a5，所以a5=-1.

評(píng)注也可這么做：S6-S2=a3+a4+a5+a6=2（a4+a5）=0，所以a5=-1.

例3在等差數(shù)列{an}中，a1>0，前n項(xiàng)的和為Sn，若S3=S11，則Sn取得最大值時(shí)，n的值為（）.

A.5B.6C.7D.8

解法1顯然S14=0，所以14（a1+132d）=0，得d=-213a1，又a1>0，所以d<0，所以，an=a1+（n-1）（-213a1）=a113（15-2n），令an=0得n=152.

a7=a113（15-2×7）>0，a8=a113（15-2×8）<0.

所以S7取得最大值，此時(shí)n=7.故選C.

解法2由S3=S11得S7=S7，又a1>0，得d<0，所以S7取得最大值，此時(shí)n=7.故選C.

評(píng)注（1）解法1靈活運(yùn)用Sn=n（a1+n-12d）找到a1與d的關(guān)系是本題不同于上例的一個(gè)亮點(diǎn).

（2）解法2直接利用等差數(shù)列Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)且過(guò)原點(diǎn)的圖像性質(zhì)得.

作者簡(jiǎn)介岳昌慶，男，河南人，1967年10月生，碩士，副編審.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.已在30余種報(bào)刊發(fā)文50余篇.