基于膜計(jì)算框架改進(jìn)的高斯混合模型在圖像分割上的應(yīng)用

柳婷曦

（西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院，成都610039）

0 引言

圖像分割是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺的低層次視覺中的一個(gè)關(guān)鍵問題，同時(shí)又是一個(gè)經(jīng)典難題。圖像分割是指根據(jù)圖像的某個(gè)特征相似性準(zhǔn)則，將圖像分成若干個(gè)特定的、具有相似性質(zhì)的區(qū)域并提取出特殊目標(biāo)圖像的過程。圖像分割一直是一個(gè)活躍的研究主題，已經(jīng)產(chǎn)生了眾多分割方法，其中灰度圖像分割方法發(fā)展已經(jīng)趨于成熟。但在很多情況下，單純利用灰度信息無法提取出符合人眼要求的目標(biāo)，這時(shí)則需要借助于彩色信息[1]。彩色圖像分割方法大部分繼承于灰度圖像分割方法[2]。通常，分割方法分為以下四大類：基于聚類、基于閾值、基于區(qū)域和基于特定理論的分割方法。譜聚類和軟聚類是基于聚類的圖像分割方法中的兩種典型方法。在軟聚類中，每個(gè)圖像像素被允許屬于多個(gè)聚類，與一組隸屬度相關(guān)聯(lián)，這表明了像素與聚類之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度。高斯混合模型（GMMs）期望最大化（EM）算法[3]是軟聚類算法的典型代表，EM 算法傳統(tǒng)上用于GMMs 中參數(shù)的最大似然估計(jì)。EM 算法與爬山算法一樣，對初始值十分敏感。為了更好地解決此問題，本文提出了一種在膜計(jì)算框架下的改進(jìn)算法。膜計(jì)算（Membrance Computing）是一種新穎的分布式并行計(jì)算模型，由GheorghePaun（喬治·伯恩）于1998年創(chuàng)立，這類模型常稱為膜系統(tǒng)或P 系統(tǒng)[4]。一個(gè)P 系統(tǒng)通常由膜結(jié)構(gòu)、對象多重集和進(jìn)化規(guī)則構(gòu)成。根據(jù)膜結(jié)構(gòu)的不同，P 系統(tǒng)可分為3 種類型：細(xì)胞P 系統(tǒng)[5]、組織P 系統(tǒng)[6]和脈沖神經(jīng)P 系統(tǒng)[7]。我們選擇設(shè)計(jì)一個(gè)組織P 系統(tǒng)，它由若干個(gè)細(xì)胞構(gòu)成，每個(gè)細(xì)胞又包含一系列對象，每個(gè)對象表達(dá)一組初始聚類中心，使用速度-位移模型作為對象的進(jìn)化機(jī)制。在進(jìn)化機(jī)制和轉(zhuǎn)運(yùn)機(jī)制的控制下，這個(gè)組織P 系統(tǒng)能夠充分的開采整個(gè)搜索空間并發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的簇中心。然后，利用該初始中心作為高斯混合模型的初始參數(shù)，用EM 算法得到最終的分割結(jié)果。實(shí)驗(yàn)表明，相比原始高斯混合模型算法，該改進(jìn)方法表現(xiàn)出更好的分割效果。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 高斯混合模型和EM算法

高斯分布也被稱為正態(tài)分布，是一種在自然界大量存在的、最為常見的分布形式。高斯分布的概率密度函數(shù)如下：

公式中包含兩個(gè)參數(shù)：參數(shù)μ表示均值，參數(shù)σ表示標(biāo)準(zhǔn)差。均值對應(yīng)于正態(tài)分布的中間位置，標(biāo)準(zhǔn)差衡量了數(shù)據(jù)圍繞均值分散的程度。

高斯混合模型（GMMs）是高斯模型的擴(kuò)展，GMMs使用多個(gè)高斯分布的組合來刻畫數(shù)據(jù)分布。假設(shè)X 是一個(gè)隨機(jī)變量，代表著圖像的某種特征。對于一個(gè)概率模型的確定，可以假設(shè)采用如下形式的混合高斯分布：

其中k 是模型數(shù)量，πi是高斯混合模型中第i 個(gè)模型的權(quán)重，代表著第i 個(gè)高斯分布的先驗(yàn)概率，同時(shí)πi＞0 且πi=1，而且定義如下：

其中μi，σi分別是第i 個(gè)模型的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

高斯混合模型不局限于一維。在圖像分割中，本文采取像素值作為特征，一個(gè)像素值有R，G，B 三個(gè)值。因此，我們將均值擴(kuò)展為向量，標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)展為協(xié)方差矩陣，用n 維高斯分布來描述多維特征。那么，如果樣本的特征被描述為隨機(jī)變量x，此高斯混合模型共有K 個(gè)狀態(tài)，則樣本的第i 個(gè)狀態(tài)（0＜i≤K）分布可以表示如下：

其中μi表示第i 個(gè)模型的期望向量，∑i表示第i 個(gè)模型的協(xié)方差。對于K 個(gè)模型，高斯混合模型的概率密度函數(shù)為：

GMM 參數(shù)通常使用EM 算法估算。EM 算法首先根據(jù)模型參數(shù)（E 步）的當(dāng)前值計(jì)算最優(yōu)下界，然后最大化這個(gè)下界以獲得改進(jìn)的參數(shù)估計(jì)（M 步）。重復(fù)該過程直到兩次連續(xù)迭代之間的對數(shù)似然的差值低于閾值。GMM 的EM 算法由以下兩個(gè)步驟組成：

其中γ（i，k）表示對于數(shù)據(jù)xi它由第k 個(gè)模型生成的概率。重復(fù)迭代E 步和M 步，直到似然函數(shù)的值收斂為止。

1.2 膜聚類算法（Membrane Clustering Algorithms，MCA）

膜聚類算法（MCA）是一種由膜計(jì)算相關(guān)機(jī)制啟發(fā)的聚類算法，其基本思想是將一個(gè)數(shù)據(jù)聚類問題可以作為一種優(yōu)化問題，因此可以采用P 系統(tǒng)去求解這個(gè)優(yōu)化問題[8]。對于一個(gè)具有n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)集X，假設(shè)將這些數(shù)據(jù)劃分到K 個(gè)簇。組織P 系統(tǒng)中的每個(gè)對象表達(dá)一組候選簇中心。膜聚算法首先為q 個(gè)細(xì)胞初始化m 個(gè)對象，然后執(zhí)行這個(gè)P 系統(tǒng)。在進(jìn)化規(guī)則和轉(zhuǎn)運(yùn)規(guī)則的控制下，這個(gè)系統(tǒng)不斷的進(jìn)化細(xì)胞中的對象并更新全局最優(yōu)的對象知道滿足系統(tǒng)的停機(jī)條件為止。當(dāng)系統(tǒng)和停止時(shí)，全局最優(yōu)對象即最優(yōu)簇中心就是我們所求的解。流程如圖1。

圖1 膜計(jì)算算法流程圖

2 所提出的圖像分割方法

首先，我們設(shè)計(jì)一個(gè)組織型P 系統(tǒng)（Tissue-likeP?Systems）來作為實(shí)現(xiàn)MCA 算法的基本框架。假設(shè)有q個(gè)細(xì)胞，每個(gè)細(xì)胞中有m 個(gè)對象，其中0 表示環(huán)境。圖2 為所使用的膜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。圖中箭頭表示對象的轉(zhuǎn)運(yùn)情況。細(xì)胞中對象的轉(zhuǎn)運(yùn)僅在細(xì)胞與環(huán)境之間。環(huán)境0 也是系統(tǒng)的輸出區(qū)域。當(dāng)系統(tǒng)停機(jī)時(shí)，環(huán)境中的對象即為所求的最優(yōu)解（一組最優(yōu)簇中心）。

圖2 所采用的P系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

細(xì)胞中的每個(gè)對象Z 將表示一組候選的k 個(gè)簇中心，z1，…，zi，…，zk∈Rd。于是，每個(gè)對象Z 被表示為一個(gè)k×d 維的向量：

Z=(z11,z12,…z1d,…zi1,zi2,…zid,…,zk1,zk2,…zkd) ，對 于第i 細(xì)胞中第j 個(gè)對象記為，可表示為Zij（i=1，2，…，q，j=1，2，…，m）。

對組織P 系統(tǒng)，環(huán)境中有僅有一個(gè)對象，叫全局最優(yōu)對象，記為Zbest。在此框架中，每個(gè)細(xì)胞使用轉(zhuǎn)運(yùn)規(guī)則將每一次迭代完成后最好對象轉(zhuǎn)運(yùn)到環(huán)境，更新環(huán)境中原有的全局最好對象。更新公式為：

其中，Zi,best是第i 個(gè)中的（局部）最好對象。本文采用PSO 的速度-位移模型作為進(jìn)化規(guī)則，PSO 粒子群算法是模擬鳥類捕食抽象出來的模型，主要有兩個(gè)元素組成：速度和位移。標(biāo)準(zhǔn)的速度-位移模型：

其中t 是當(dāng)前迭代的次數(shù)，T 為最大迭代次數(shù)。

本文采用最大迭代次數(shù)作為停止迭代的條件，在停止迭代后，環(huán)境中全局最好的對象Zbest即是我們所求的解。

在我們的方法中選擇像素作為特征值。我們提取RGB 顏色空間的顏色特征，因?yàn)檫@個(gè)空間中的距離是有意義的[9]。因此，圖像用一組三維的數(shù)據(jù)表示，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)先用上述提到的膜框架找出Zbest。采用Zbest作為GMMs-EM 算法的初值，用1.1 節(jié)提到的高斯混合模型EM 算法進(jìn)行分割。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本節(jié)中，實(shí)驗(yàn)使用了CORELOR1000 圖像集，首先，隨機(jī)選取一張像素為84×128 的圖像，使用高斯混合模型（GMM-EM）、k 均值改進(jìn)的高斯混合模型（KGMM-EM）和膜計(jì)算框架下改進(jìn)的高斯混合模型期望最大化算法（MGMM-EM）分別在高斯分量為2、3、4、5、6、7、8、9、10 的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，由于這些算法都包含一些隨機(jī)因素，因此我們采用在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下每種算法對每個(gè)高斯分量獨(dú)立地運(yùn)行20 次，計(jì)算其平均值及標(biāo)準(zhǔn)差。平均值可以反映算法的平均性能，標(biāo)準(zhǔn)差可以反映算法的魯棒性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。然后，選取了像素為384×256 且場景不同、顏色層次不同的幾張圖像，作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，使用MGMM-EM和GMM-EM 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比。實(shí)驗(yàn)比較了對數(shù)似然估計(jì)函數(shù)的收斂速度和對應(yīng)的分割效果。圖3（a1）-（a4）的高斯分量分別為8、10、6。實(shí)驗(yàn)表明我們改進(jìn)后的算法使EM 更易收斂同時(shí)得到的分割圖像效果更好。

表1 傳統(tǒng)算法和改進(jìn)算法的對比

圖3

4 結(jié)語

本文針對高斯混合模型在彩色圖像分割上存在的問題，提出了一種膜計(jì)算框架下GMMs-EM 的圖像分割方法。該方法的特點(diǎn)為利用膜計(jì)算改進(jìn)EM 算法初始值敏感，容易陷入局部最優(yōu)的問題，所提出的方法在真實(shí)世界圖像上實(shí)現(xiàn)了令人滿意的分割結(jié)果。在未來，我們計(jì)劃進(jìn)一步考慮像素位置對算法的影響。