基于張量分解的間歇過(guò)程故障診斷方法

張曉玲, 曹玉蘋(píng), 鄧曉剛

(1.中國(guó)石油大學(xué) 勝利學(xué)院, 山東 東營(yíng) 257097;2.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 山東 青島 266580)

1 前 言

間歇生產(chǎn)方式在現(xiàn)代工業(yè)界所占比重越來(lái)越高，其過(guò)程監(jiān)控和故障診斷也引起廣泛關(guān)注[1]。長(zhǎng)期以來(lái)，過(guò)程監(jiān)控的主流統(tǒng)計(jì)方法[2-5]如主元分析(principal component analysis, PCA)、偏最小二乘(partial least squares, PLS)、獨(dú)立元分析(independent component analysis, ICA)、典型相關(guān)分析(canonical correlation analysis, CCA)等在應(yīng)用于間歇過(guò)程故障診斷時(shí)，都是采用將三維多批次歷史數(shù)據(jù)展開(kāi)成二維的多向(multi-way)處理方法，即使針對(duì)間歇過(guò)程的不同特點(diǎn)涌現(xiàn)出一系列改進(jìn)算法[6-14]，也大都對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行展開(kāi)處理，如按批次展開(kāi)、按變量展開(kāi)成二維矩陣的方式等。此類(lèi)多向展開(kāi)的處理方法將三維多批次數(shù)據(jù)中每一批次的二維矩陣展開(kāi)變成向量看待，勢(shì)必會(huì)破壞原有數(shù)據(jù)的相關(guān)性，導(dǎo)致部分信息的丟失和特征不完全提取。

近年來(lái)，一些基于張量的數(shù)據(jù)降維方法，如張量PCA (tensor PCA, TPCA)[15-16]、張量鄰域保持嵌入算法(tensor neighborhood preserving embedding, TNPE)[17]等，使用張量模式的特征提取方法對(duì)張量形式的數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，保證了張量形式的特征空間不被破壞，張量分析逐漸在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、圖像處理、模式識(shí)別等領(lǐng)域成為研究熱點(diǎn)[18]。本文借鑒以上方法中張量分析的思想，對(duì)間歇過(guò)程在線監(jiān)控時(shí)，將三維數(shù)據(jù)的每一批次看作一個(gè)二階張量，應(yīng)用TPCA算法對(duì)三維數(shù)據(jù)直接提取特征信息，不破壞三維樣本中每一批次的原始矩陣空間結(jié)構(gòu)，并定義R2統(tǒng)計(jì)量和SPE統(tǒng)計(jì)量建立故障檢測(cè)模型；另外，為能更及時(shí)檢測(cè)出間歇過(guò)程中常出現(xiàn)的漸變故障(如間歇精餾過(guò)程中催化劑活性的緩慢變化、間歇反應(yīng)釜換熱器由于長(zhǎng)時(shí)間使用結(jié)垢現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重而導(dǎo)致?lián)Q熱性能的逐漸下降)，本文利用累積和控制圖(cumulative sum，CUSUM)分析思想，將其應(yīng)用于 TPCA算法中，提出累加和的張量主元分析(summed tensor principal component analysis, STPCA)，將三維歷史數(shù)據(jù)按一定的滑動(dòng)窗口累加求和，累積歷史信息，再做TPCA算法處理，建立故障檢測(cè)模型，從而提高對(duì)漸變故障在初始出現(xiàn)階段檢測(cè)的靈敏度。

2 TPCA方法

可通過(guò)以下迭代方法實(shí)現(xiàn)式(1)中U、V的求解：

Step2：設(shè)置循環(huán)變量n初始值為1，進(jìn)入循環(huán)迭代運(yùn)算。

Step4：對(duì)CY1進(jìn)行特征值分解得到特征值矩陣Λ和特征向量矩陣Vn+1，只選取前J'個(gè)最大的特征值組成，Vn+1則是由前J'個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣。

Step5：令Y2m=XmVn，求Y2的協(xié)方差陣

Step8：輸出最終的U∈RK×K'、V∈RJ×J'。

圖1 三維數(shù)據(jù)預(yù)處理Fig.1 Schematic diagram of three-way dataset preprocessing

注意，TPCA變換處理的數(shù)據(jù)X是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理的，其處理過(guò)程如圖1所示，第1步將初始數(shù)據(jù)展開(kāi)成大小為M×KJ的二維矩陣，沿著每列進(jìn)行均值為0方差為1的歸一化處理，第2步再恢復(fù)成三維結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)X(M×K×J)。此處的展開(kāi)僅用于數(shù)據(jù)的預(yù)處理，應(yīng)用TPCA變換時(shí)使用的仍是三維矩陣X(M×K×J)。因此，預(yù)處理后的三維數(shù)據(jù)X(M×K×J)通過(guò)以上Step1～8的迭代算法獲得U和V后，經(jīng)過(guò)映射公式Y(jié)m=UTXmV，則可被投影到低維張量特征空間得到Y(jié)(M×K'×J' ) = ｛Ym∈K'×J',m= 1,2,… ,M｝。

3 基于STPCA方法的間歇過(guò)程故障診斷

3.1 STPCA算法

各類(lèi)間歇過(guò)程中的漸變故障很常見(jiàn)，漸變故障是某變量操作值緩慢偏離正常變化區(qū)間、不斷累積的過(guò)程，故障初期變化量較小，很多故障檢測(cè)方法對(duì)該類(lèi)故障存在預(yù)報(bào)大大延遲的問(wèn)題。為提高檢測(cè)故障靈敏度，本文利用PAGE等[19]提出的累積和(CUSUM)控制圖思想，提出一種基于累加和的張量主元分析算法(STPCA)，將經(jīng)過(guò)預(yù)處理后的正常批次數(shù)據(jù)X(M×K×J)按照每批次內(nèi)滑動(dòng)窗口大小進(jìn)行歷史信息的疊加，數(shù)據(jù)處理公式如下：

summed_xm(k)表示第m批次中按照式(2)累加和后的第k采樣時(shí)刻觀測(cè)值，h為累加求和的寬度，構(gòu)成移動(dòng)的滑動(dòng)窗口，當(dāng)k＞h，每一時(shí)刻的數(shù)據(jù)值都由前h個(gè)多變量樣本求和得到，從而得到求和后的summed_X(M×K×J) = { summed_Xm∈RK?RJ,m= 1 ,2,…,M}，然后用第1節(jié)中TPCA算法對(duì)其進(jìn)行特征提取，求得變換矩陣U和V，為下一步故障診斷打下基礎(chǔ)。

3.2 基于STPCA算法的在線監(jiān)控

在線監(jiān)控過(guò)程主要包含2個(gè)階段。

第1階段：離線模型的建立

② 對(duì)X(M×K×J)按式(2)進(jìn)行累加和處理，獲得summed_X(M×K×J)。

③ 運(yùn)用 TPCA算法，確定投影矩陣U∈RK×K'和V∈RJ×J'，計(jì)算經(jīng)過(guò)投影后的低維張量特征空間數(shù)據(jù)Y=｛Ym∈RK'?RJ',m= 1,2,… ,M｝ ，Ym是累加和處理后summed_Xm的低維投影，變換公式為：Ym=UT* s ummed_Xm*V。

④ 建立故障檢測(cè)模型。

對(duì)基于TPCA和STPCA 2種算法的間歇過(guò)程故障檢測(cè)，本文都采用 R2和SPE統(tǒng)計(jì)量。

R2是基于支持向量數(shù)據(jù)域描述(support vector domain description，SVDD)[20]方法建立的統(tǒng)計(jì)量，表示每批次Xm的投影Ym到特征空間中心的距離，其計(jì)算式如下[21]：

拉格朗日乘子iα通過(guò)下式的最大化問(wèn)題求解[21]：

C為懲罰因子，可取1。

SPE統(tǒng)計(jì)量用來(lái)測(cè)量殘差空間的變化。先通過(guò)U、V重構(gòu)summed_Xm的估計(jì)值，得到殘差矩陣從而得SPE統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算式：

R2和SPE統(tǒng)計(jì)量皆可通過(guò)核密度估計(jì)法[22]確定各自95% 或99% 的置信限(也稱(chēng)控制限、閾值)，在每個(gè)采樣時(shí)刻k分別利用核密度估計(jì)法計(jì)算對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)所有批次統(tǒng)計(jì)量的閾值，因此可得到動(dòng)態(tài)變化的控制限，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量超出各自控制限所判定的正常變化范圍，則意味著故障的出現(xiàn)。

第2階段：在線故障檢測(cè)

①采集新批次第k采樣時(shí)刻數(shù)據(jù)根據(jù)離線建模標(biāo)準(zhǔn)化處理時(shí)得到的均值和方差進(jìn)行預(yù)處理。

②對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)xnew,k按照式(2)進(jìn)行累加求和處理，得到 s ummed_xnew,k。

③計(jì)算新的投影矩陣和殘差：

其中uk表示矩陣U中的第k行向量。

④參考式(3)和(5)分別計(jì)算新的在線2R和SPE統(tǒng)計(jì)量，得到

并判斷統(tǒng)計(jì)量是否偏離各自閾值，以確定間歇過(guò)程運(yùn)行狀況。

4 仿真結(jié)果分析

分批補(bǔ)料的盤(pán)尼西林發(fā)酵過(guò)程是典型的間歇式生產(chǎn)過(guò)程，本文基于BIROL等[23]開(kāi)發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)仿真軟件Pensim 2.0產(chǎn)生的盤(pán)尼西林發(fā)酵數(shù)據(jù)進(jìn)行在線監(jiān)控算法仿真研究。本仿真由該軟件在正常操作范圍內(nèi)對(duì)初始條件加入一定的微小偏移和適當(dāng)噪聲生成30批次數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，每批次含11個(gè)觀測(cè)變量，反應(yīng)時(shí)間相等，均為400 h，采樣間隔為0.5 h，從而得到用于建立MPCA、TPCA、STPCA監(jiān)控模型。另外，利用Pensim2.0產(chǎn)生6個(gè)故障批次，表1是3種跳變故障，表2是漸變類(lèi)型故障。

表1 跳變故障Table 1 Step faults used for detection

表2 漸變故障Table 2 Gradual faults used for detection

建模時(shí)，3種方法都需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，不同的是，MPCA方法如圖1中Step 1按批次展開(kāi)成二維，按列作歸一化處理，得到二維矩陣X(30×8800)，即X(M×KJ)，在此基礎(chǔ)上建立MPCA模型。TPCA和STPCA算法則需將標(biāo)準(zhǔn)化后的二維矩陣X(30×8800)再按圖1中Step 2還原成X(30× 8 00×11)，在保持和不破壞原來(lái)每批次數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上建立各自的監(jiān)控模型。因此，傳統(tǒng)PCA算法會(huì)把每批次的數(shù)據(jù)Xm∈RK?RJ轉(zhuǎn)換為向量xm∈RKJ看待，特征值分解的矩陣大小是KJ×KJ，基于張量的 TPCA方法其特征值分解的矩陣大小僅為K×K或J×J，在特征值分解計(jì)算復(fù)雜度上要更低。另外，STPCA相比TPCA方法在數(shù)據(jù)處理上多一步累加和處理，以增大對(duì)漸變故障檢測(cè)的靈敏度。最后的監(jiān)控模型所用到統(tǒng)計(jì)量也有差異：MPCA使用T2和SPE，TPCA和STPCA則運(yùn)用本文定義的 R2和SPE統(tǒng)計(jì)量。

圖2 基于MPCA方法的故障1檢測(cè)結(jié)果Fig.2 Fault 1 detection results based on MPCA

圖3 基于TPCA方法的故障1檢測(cè)結(jié)果Fig.3 Fault 1 detection results based on TPCA

圖4 基于MPCA方法的故障2檢測(cè)結(jié)果Fig.4 Fault 2 detection results based on MPCA

當(dāng)新批次中出現(xiàn)故障 1、2、3跳變故障時(shí)，基于 MPCA的在線故障檢測(cè)結(jié)果如圖2、4、6所示，MPCA的SPE統(tǒng)計(jì)量能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)故障的發(fā)生(140～300采樣點(diǎn))，但在非故障時(shí)段有較高誤報(bào)，從圖中可明顯看到有多點(diǎn)超出控制限，特別是對(duì)故障3達(dá)到了5.12% 的誤報(bào)率(見(jiàn)表3)。相對(duì)而言，圖3、5、7所示TPCA故障檢測(cè)結(jié)果中，SPE統(tǒng)計(jì)圖既能準(zhǔn)確檢出故障，又具有較低誤報(bào)率，由表3可見(jiàn)，對(duì)前兩個(gè)故障的誤報(bào)率為0，僅對(duì)故障3有約1.63% 的誤報(bào)，但仍低于MPCA方法的結(jié)果。與SPE統(tǒng)計(jì)量相比，MPCA方法的T2統(tǒng)計(jì)圖檢測(cè)效果較差，只能對(duì)故障1有效，對(duì)故障2和3完全不敏感，無(wú)任何超限警報(bào)；反觀TPCA方法的 R2統(tǒng)計(jì)圖，在采樣點(diǎn)140～300僅無(wú)法檢測(cè)出故障3，能完全準(zhǔn)確檢測(cè)到故障2，對(duì)故障1僅有少量點(diǎn)的漏報(bào)。從誤報(bào)率情況分析，TPCA的 R2統(tǒng)計(jì)量也優(yōu)于MPCA的T2統(tǒng)計(jì)量。總體分析，TPCA兩種統(tǒng)計(jì)圖對(duì)3個(gè)故障的檢出率高于 MPCA方法，且具有較低的誤報(bào)率?？梢?jiàn)，將利用張量分解直接處理三維數(shù)據(jù)的TPCA方法引入到間歇過(guò)程故障檢測(cè)中，構(gòu)造 R2和SPE統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控是可行并具有一定效果的。

表3 MPCA和TPCA方法的故障檢測(cè)誤報(bào)率對(duì)比Table 3 Comparison of false positive rates (FPR) by MPCA and TPCA

圖5 基于TPCA方法的故障2檢測(cè)結(jié)果Fig.5 Fault 2 detection results based on TPCA

圖6 基于MPCA方法的故障3檢測(cè)結(jié)果Fig.6 Fault 3 detection results based on MPCA

圖7 基于TPCA方法的故障3檢測(cè)結(jié)果Fig.7 Fault 3 detection results based on TPCA

為提高檢測(cè)漸變故障的靈敏度，本文在TPCA基礎(chǔ)上提出基于STPCA的間歇過(guò)程故障診斷方法，同樣使用 R2和SPE統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行故障分析。仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)置了表2所述3種故障，分別是通風(fēng)速率、攪拌功率、底物流加速率從第200采樣點(diǎn)以一定速度呈現(xiàn)斜坡變化，模擬間歇過(guò)程中可能出現(xiàn)的漸變類(lèi)故障。圖8到圖13反映了MPCA、STPCA方法對(duì)3個(gè)故障批次的檢測(cè)效果。

從圖8、10和12所示結(jié)果觀察，MPCA的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量均在一定時(shí)刻越過(guò)閾值不斷增加，表明漸變型故障的發(fā)生；同樣，圖9、11、13中STPCA方法的統(tǒng)計(jì)結(jié)果圖也給出了故障警報(bào)。但明顯的是，兩種方法的SPE統(tǒng)計(jì)圖比基于得分的T2和基于特征空間的 R2統(tǒng)計(jì)量趨于更靈敏，給出故障預(yù)報(bào)要早。為直觀對(duì)比不同方法的檢測(cè)效果優(yōu)劣，本文通過(guò)表4列出兩種方法各統(tǒng)計(jì)量所確定的故障出現(xiàn)時(shí)刻，并假設(shè)統(tǒng)計(jì)量連續(xù)8個(gè)采樣點(diǎn)超過(guò)控制限則認(rèn)定該采樣時(shí)刻為故障檢測(cè)點(diǎn)。對(duì)比SPE統(tǒng)計(jì)量，針對(duì)漸變故障4、5、6，STPCA分別領(lǐng)先MPCA方法9個(gè)、28個(gè)、30個(gè)采樣點(diǎn)提前給出故障指示；STPCA的2R統(tǒng)計(jì)圖檢測(cè)故障的能力雖遜于SPE統(tǒng)計(jì)量，卻仍比MPCA的2T統(tǒng)計(jì)量分別早117、336、56個(gè)采樣時(shí)刻超出控制限。綜合看來(lái)，兩種方法檢測(cè)漸變故障時(shí)，相對(duì)故障實(shí)際發(fā)生時(shí)刻都有或多或少的滯后，原因在于故障變量剛開(kāi)始是緩慢變化的，偏離正常范圍需要一定的時(shí)間間隔，只有當(dāng)變量值漸漸漂移累積超出一定量后，監(jiān)測(cè)系統(tǒng)才能判斷過(guò)程出現(xiàn)了非正常的變化。但STPCA方法將歷史批次數(shù)據(jù)進(jìn)行疊加處理，放大故障變量的初始偏移，并在張量空間進(jìn)行特征值分解、不破壞原有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上得到監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量，結(jié)合以上結(jié)果圖和表4，不難看出該方法能更早檢測(cè)出漸變故障，體現(xiàn)該方法的優(yōu)越性。

圖8 基于MPCA方法的故障4檢測(cè)結(jié)果Fig.8 Fault 4 detection results based on MPCA

圖9 基于STPCA方法的故障4檢測(cè)結(jié)果Fig.9 Fault 4 detection results based on STPCA

圖10 基于MPCA方法的故障5檢測(cè)結(jié)果Fig.10 Fault 5 detection results based on MPCA

圖11 基于STPCA方法的故障5檢測(cè)結(jié)果Fig.11 Fault 5 detection results based on STPCA

圖12 基于MPCA方法的故障6檢測(cè)結(jié)果Fig.12 Fault 6 detection results based on MPCA

圖13 基于STPCA方法的故障6檢測(cè)結(jié)果Fig.13 Fault 6 detection results based on STPCA

表4 MPCA和STPCA檢出的故障發(fā)生采樣點(diǎn)Table 4 Fault sampling points based on MPCA and STPCA

需要說(shuō)明的是，STPCA方法更適用于漸變故障存在的場(chǎng)合，尤其是故障出現(xiàn)早期，通過(guò)CUSUM累積過(guò)程中的微小變化，提高對(duì)漸進(jìn)、緩慢變化類(lèi)故障初期較小故障偏移的檢測(cè)。同時(shí)，該方法中累加求和寬度h的取值與檢測(cè)效果關(guān)系密切，若h取值太小，利用 CUSUM 累積的歷史信息不夠豐富，對(duì)漸變故障出現(xiàn)初期檢測(cè)準(zhǔn)確率會(huì)較低，反之一味追求快速檢測(cè)出故障而將h取得過(guò)大，會(huì)因帶入部分噪聲信息而增加誤報(bào)率，導(dǎo)致故障檢測(cè)效果下降。目前總體上，h大小的選擇沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，多是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或交叉驗(yàn)證方法確定。本文通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，選擇適當(dāng)?shù)膆值，既能提高對(duì)漸變故障的檢出率，較早發(fā)出故障報(bào)警，又防止出現(xiàn)較高誤報(bào)的情況。另外，STPCA算法在故障檢測(cè)時(shí)，對(duì)新批次數(shù)據(jù)引入CUSUM的處理，不可避免會(huì)產(chǎn)生故障檢測(cè)延時(shí)，因此，本方法并不適用于故障檢測(cè)實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合。

5 結(jié) 論

傳統(tǒng)將三維數(shù)據(jù)變成二維的間歇過(guò)程故障診斷方法，破壞數(shù)據(jù)原有的空間結(jié)構(gòu)和相關(guān)特性，必然會(huì)對(duì)過(guò)程監(jiān)控效果產(chǎn)生不利影響。本文將基于張量分解的TPCA算法引入到間歇過(guò)程監(jiān)控中，直接將三維數(shù)據(jù)作為張量目標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，保留了數(shù)據(jù)完整性，定義2R 和SPE統(tǒng)計(jì)量建立故障檢測(cè)模型。經(jīng)仿真驗(yàn)證，基于TPCA的間歇過(guò)程故障診斷方法適合檢測(cè)突變故障，檢測(cè)效果較好。針對(duì)間歇過(guò)程中常發(fā)生的漸變故障，本文提出STPCA方法，通過(guò)對(duì)三維數(shù)據(jù)多個(gè)連續(xù)時(shí)刻的采樣值求和，不斷放大歷史信息，同時(shí)又保證不破壞三維原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因此在檢測(cè)漸變類(lèi)型故障的仿真實(shí)驗(yàn)中，STPCA方法有更好效果，提高故障檢測(cè)靈敏度，相應(yīng)降低了漏檢率。

符號(hào)說(shuō)明：