Duffing 系統(tǒng)的主
--亞諧聯(lián)合共振1)

李 航 申永軍,2) 李向紅 韓彥軍 彭孟菲

*(石家莊鐵道大學(xué)交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043)

?(石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

**(石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，石家莊 050043)

引言

Duffing 系統(tǒng)是動(dòng)力學(xué)中一類典型的非線性系統(tǒng)，能夠描述工程領(lǐng)域中的諸多非線性模型，例如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性行為[1-3]，船的橫搖運(yùn)動(dòng)[4-5]，大型結(jié)構(gòu)的振動(dòng)[6]等.在動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，目前對Duffing 系統(tǒng)的研究主要為周期振動(dòng)解和混沌控制兩方面.韓祥臨等[7]利用廣義變分迭代方法研究了隨機(jī)激勵(lì)下Duffing 系統(tǒng)的漸進(jìn)解，并討論了解的一致有效性.李瑞紅等[8]研究了一類含三次耦合項(xiàng)的二自由度Duffing 系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)一種由周期運(yùn)動(dòng)直接通往混沌的途徑.Shen 等[9-10]研究了一類含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的Duffing 系統(tǒng)，提出等效剛度和等效阻尼的概念.Holmes 等[11]用二階平均法研究了一類具有負(fù)非線性剛度的Duffing 系統(tǒng)，分析了周期解的分岔行為.張毅等[12]以多頻參數(shù)激勵(lì)Duffing 系統(tǒng)為模型，基于快慢分析法得到模型的快子系統(tǒng)和慢變量，分析了快子系統(tǒng)的分岔行為.曲子芳等[13]以周期變化的雙頻激勵(lì)van der Pol-Duffing 系統(tǒng)為模型，研究了系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩模式及非光滑行為演化機(jī)制，給出了平衡曲線和分岔圖及在非光滑邊界產(chǎn)生非光滑行為的演化行為分析.呂小紅和羅冠煒[14]基于網(wǎng)格劃分的思想設(shè)計(jì)了非線性系統(tǒng)多參數(shù)分岔的計(jì)算方法，利用此方法分析了Duffing 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔特性.畢勤勝和陳予恕[15-16]研究了一類強(qiáng)非線性Duffing 系統(tǒng)，利用功能關(guān)系得到系統(tǒng)的周期解，給出系統(tǒng)從主共振到1/3 次亞諧分岔的轉(zhuǎn)遷集，應(yīng)用廣義牛頓法得到系統(tǒng)的對稱破缺分岔轉(zhuǎn)遷集的解析表達(dá)式.Kimiaeifar等[17]研究了一類van der Pol-Duffing 系統(tǒng)，利用同倫分析法得到了系統(tǒng)的周期解.Jin 和Hu[18-19]研究了一類具有滯后狀態(tài)反饋的Duffing 系統(tǒng)在窄帶隨機(jī)參數(shù)激勵(lì)下的主共振，和一類雙時(shí)滯Duffing 系統(tǒng)在窄帶隨機(jī)激勵(lì)下的反饋控制，從振動(dòng)控制的角度討論了反饋增益和時(shí)滯對系統(tǒng)的影響.戎海武等[20]研究了Duffing 系統(tǒng)在諧和與窄帶隨機(jī)噪聲聯(lián)合激勵(lì)下的參數(shù)主共振響應(yīng)和穩(wěn)定性問題，分析了系統(tǒng)的失穩(wěn)和跳躍現(xiàn)象.Hosseini[21]研究了Duffing 系統(tǒng)的主共振，討論了高階近似解中的偽解問題，提出一種檢測頻率響應(yīng)方程中是否存在偽解的判據(jù).

以往對各類Duffing 系統(tǒng)的周期振動(dòng)解的研究可大致分為兩類，一類是從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)角度，考慮結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以建立更符合工程實(shí)際的動(dòng)力學(xué)模型，例如文獻(xiàn)[9-10]中的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)可以更好地描述系統(tǒng)中的黏彈性阻尼；另一類是研究復(fù)雜激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，例如文獻(xiàn)[7,18,22]研究了隨機(jī)激勵(lì)下Duffing 系統(tǒng)的解.Nayfeh 在其專著[23]中利用多尺度法給出了Duffing 系統(tǒng)的3 倍超諧與1/3 次亞諧聯(lián)合共振的解.姜源等[24-25]做了更進(jìn)一步的工作，利用平均法得到了分?jǐn)?shù)階Duffing 系統(tǒng)和van der Pol 系統(tǒng)的3 倍超諧與1/3 次亞諧聯(lián)合共振的解，并分析了分?jǐn)?shù)階項(xiàng)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.

在實(shí)際問題中，一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)往往受到多個(gè)激勵(lì)源同時(shí)作用.以汽車系統(tǒng)為例[26]，汽車在行進(jìn)過程中的振動(dòng)激勵(lì)源主要是發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)、路面激勵(lì)和風(fēng)激勵(lì)，這些激勵(lì)通常含有不同的頻率成分.Duffing 系統(tǒng)在受多頻激勵(lì)時(shí)[23-24]具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，尤其是聯(lián)合共振較為突出.目前對Duffing 系統(tǒng)周期振動(dòng)的研究主要是在單頻激勵(lì)下發(fā)生主共振[9,21]、亞諧共振[27-29]或超諧共振[10,30-31]，或者在多頻激勵(lì)下發(fā)生超諧--亞諧聯(lián)合共振[23-24]，而對主--亞諧聯(lián)合共振的研究尚未見報(bào)導(dǎo).本文以多頻激勵(lì)的Duffing 系統(tǒng)為對象，研究其同時(shí)發(fā)生主共振和1/3 次亞諧共振時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為與穩(wěn)定性.

1 Duffing 系統(tǒng)主--亞諧聯(lián)合共振的一次近似解

受多頻激勵(lì)的Duffing 系統(tǒng)可以描述為

為研究系統(tǒng)的主--亞諧聯(lián)合共振，對系統(tǒng)參數(shù)做如下限制ω1=ω0+εσ1,ω2=3ω0+εσ2,ξω0=εμ,α1=εα,F1=εf,f=O(1),σ1=O(1),σ2=O(1).這樣式(1)成為

應(yīng)用多尺度法[32]研究系統(tǒng)的一次近似解.引入兩個(gè)時(shí)間尺度T0=t和T1=εt，并假設(shè)系統(tǒng)(2)的解具有如下形式

將式(3)代入式(2)，比較ε 的同次冪，得到一偏微分方程組

式(4a)的解為

也可以寫成復(fù)數(shù)形式

將式(6)代入式(4b)，為消除永年項(xiàng)，要求

分離式(7)的實(shí)部和虛部，得到慢變振幅a和相位β 滿足的微分方程組

從而系統(tǒng)(2)的一次近似解可以表示為

其中，a和β 由式(8)確定.

2 定常解及其穩(wěn)定條件

從式(8)可以看出，系統(tǒng)定常解存在的必要條件是β-σ1T1和3β-σ2T1均為常數(shù)，這時(shí)有D1β=σ1=σ2/3，進(jìn)而有ω1=ω2/3，即只有當(dāng)兩個(gè)激勵(lì)頻率滿足特定倍數(shù)關(guān)系時(shí)，才能求得主--亞諧聯(lián)合共振的定常解.設(shè)σ=σ1=σ2/3，β-σT1=φ，從而式(8)可以寫成自治微分方程組

相應(yīng)的一次近似解成為

為檢驗(yàn)式(10)和式(11)確定的一次近似解的精確程度，取一組參數(shù)μ=0.1，ε=0.1，α=1，ω0=1，F(xiàn)1=0.2，F(xiàn)2=2，計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性，計(jì)算時(shí)間t=1000 s，將前800 s 響應(yīng)略去，取后200 s 響應(yīng)的幅值為穩(wěn)態(tài)幅值，得到系統(tǒng)(2)的幅頻響應(yīng)曲線如圖1 所示.

圖1 幅頻曲線的比較Fig.1 Comparison of amplitude-frequency responses

取激勵(lì)頻率ω1=1.22,ω2=3ω1,初值(a0,φ0)=(0.1,0),代入式(10)計(jì)算(a,φ)，再將結(jié)果代入式(11)計(jì)算近似解；將式(11)求導(dǎo)得到速度響應(yīng)，再將(a0,φ0)代入式(11)和得到(u0,=(-0.06,0)，然后將其作為初值代入系統(tǒng)(2)計(jì)算數(shù)值解，最后得到系統(tǒng)(2)的位移時(shí)間歷程如圖2 所示.圖1 和圖2 中，圓圈表示數(shù)值解，實(shí)線表示解析解.可見，解析解的近似程度良好.

圖2 位移時(shí)間歷程的比較Fig.2 Comparison of displacement time histories

從幅頻曲線中可以看到，系統(tǒng)在一定頻率范圍內(nèi)存在多解現(xiàn)象.事實(shí)上，若調(diào)整仿真的初始條件可以得到更多的解，而系統(tǒng)多解和不穩(wěn)定的現(xiàn)象受近似解中的第一部分，即acos(ω1t+φ)支配.因此，在系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定性分析中，只需考察這一部分.

令式(10)中D1a=0,D1φ=0,可以得到穩(wěn)態(tài)振幅和相位滿足的代數(shù)方程組

進(jìn)一步可以得到幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程分別為

下面考察穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，用慢變振幅a和相位φ 組成二維狀態(tài)向量V=[a,φ]T，構(gòu)造二維向量函數(shù)

其中P=trJ，Q=det[J].

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，穩(wěn)態(tài)解漸進(jìn)穩(wěn)定的條件是P＜0 且Q＞0.對于阻尼系統(tǒng)，恒有P＜0.因而Duffing 系統(tǒng)主--亞諧聯(lián)合共振的定常解穩(wěn)定條件為

取一組參數(shù)μ=0.1，ε=0.1，α=1，ω0=1，F(xiàn)1=0.1，F(xiàn)2=4，利用式(13)計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性，式(16)判斷穩(wěn)定性，得到幅頻曲線和相頻曲線分別如圖3 和圖4 所示，其中圓圈表示穩(wěn)定解，星號(hào)表示不穩(wěn)定解.從圖3 和圖4 可見，第一部分最多存在7 個(gè)解s1～s7，所以系統(tǒng)(2)也最多存在7 個(gè)解S1～S7，其中有4 個(gè)穩(wěn)定解，3 個(gè)不穩(wěn)定解.以σ=2 為例，系統(tǒng)(2)的3 個(gè)穩(wěn)定解S1，S2 和S4 的周期軌道如圖5 所示.將圖3 分別與主共振和1/3 次亞諧共振[33]比較可以看出，s1～s3 是主共振的特性，s4～s7 是1/3 次亞諧共振的特性.

圖3 定常解的幅頻響應(yīng)Fig.3 Amplitude-frequency curves of steady-state response

圖4 定常解的相頻響應(yīng)Fig.4 Phase-frequency curves of steady-state response

圖5 系統(tǒng)的周期軌道Fig.5 Periodic orbits

圖5 系統(tǒng)的周期軌道(續(xù))Fig.5 Periodic orbits(continued)

3 系統(tǒng)參數(shù)的影響

為確定非線性系數(shù)α 對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，固定一組參數(shù)μ=0.1，ε=0.1，ω0=1，F(xiàn)1=0.1，F(xiàn)2=8 并改變?chǔ)?進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其中，調(diào)諧參數(shù)σ 的范圍取[-5,5]，也即ω1的范圍為[0.5,1.5]，ω2的范圍為[1.5,4.5].圖6 給出非線性系數(shù)α 對系統(tǒng)的影響.結(jié)果顯示，當(dāng)α ＞0 時(shí)，在一定頻率范圍內(nèi)主要影響振幅，剛度逐漸硬化使得響應(yīng)振幅減小，幅頻曲線的彎曲程度增加，改變了系統(tǒng)的頻率特性；當(dāng)α ＜0 時(shí)，對振幅、多值性和穩(wěn)定性均有影響，剛度軟化使得響應(yīng)的共振峰逐漸減小，趨于穩(wěn)定.

此外，為確定兩個(gè)激勵(lì)幅值對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，固定參數(shù)μ=0.1，ε=0.1，ω0=1，α=1，F(xiàn)2=16 改變F1、固定參數(shù)μ=0.1，ε=0.1，ω0=1，α=1，F(xiàn)1=0.1 改變F2，計(jì)算得到系統(tǒng)的幅頻曲線分別如圖7 和圖8 所示.從圖中可以看到F1對幅頻特性的骨架線影響很小，對幅頻曲線的形態(tài)影響較大；而F2增大使聯(lián)合共振的骨架線向高頻附近移動(dòng)，幅頻曲線的形態(tài)變化不大.

圖6 非線性系數(shù)α 的影響Fig.6 Effects of the nonlinear coefficient α

圖7 F1的影響Fig.7 Effects of excitation amplitude F1

圖8 F2的影響Fig.8 Effects of excitation amplitude F2

4 結(jié)論

本文利用多尺度法得到了Duffing 系統(tǒng)的主-1/3 次亞諧聯(lián)合共振的解析解.由Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到了定常解的穩(wěn)定條件.基于此條件分析系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)響應(yīng)既有主共振的特性又有1/3 次亞諧共振的特性，各個(gè)解支的穩(wěn)定性與僅發(fā)生主共振或亞諧共振時(shí)相同.討論了系統(tǒng)參數(shù)對定常解的幅頻特性和穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)在一定頻率范圍內(nèi)，非線性系數(shù)α 分別取正負(fù)時(shí)對系統(tǒng)響應(yīng)有截然不同的影響：α ＞0 時(shí)，僅影響各個(gè)解支的幅值，α ＜0 時(shí)，對解的數(shù)量、穩(wěn)定性和幅值均有影響.此外，外激勵(lì)的幅值F1和F2也分別影響著幅頻曲線的形態(tài)和骨架線.