含水合物沉積物的彈塑性本構模型1)

劉 林 姚仰平 張旭輝,2) 魯曉兵, 王淑云

*(中國科學院力學研究所，北京 100190)

?(北京航空航天大學交通科學與工程學院，北京 100191)

**(中國科學院大學工程科學學院，北京 100049)

引言

自然界中水合物大都分布于深海和永久凍土區(qū)，其力學特性相當復雜.為了能高效開采水合物，減少甚至杜絕工程事故，在進行開采前應對含水合物沉積物的力學特性進行充分了解，并建立合理的理論模型進行模擬.因此，國內(nèi)外學者對含水合物沉積物力學性質及本構模型的研究非常重視[1-3].

現(xiàn)階段，一些學者已經(jīng)從不同的角度出發(fā)提出了許多含水合物沉積物的本構模型，包括彈性模型[4-7]和彈塑性模型[8-14].以上模型主要基于考慮水合物的膠結作用或含水合物沉積物的結構性衰減等方面來進行建模.然而，水合物作為一種固相，其含量和賦存形式明顯影響含水合物沉積物的密度.土的密度和圍壓又是影響其力學性質的關鍵因素，因此在建立含水合物沉積物的本構模型時，應首先著重考慮水合物含量和賦存形式對含水合物沉積物密度的影響.此外，除了其密度和圍壓，不含水合物的沉積物的力學性質對含水合物沉積物的力學特性也具有重要的影響，因此在建立含水合物沉積物的本構模型時，選取合理的沉積物本構模型作為基礎模型至關重要.

近幾年，姚仰平等[15-18]基于臨界狀態(tài)土力學，通過從等向壓縮特性、臨界狀態(tài)特性以及剪脹特性等三方面對黏土和砂土的異同性進行了分析，并將這些異同性均用相應的統(tǒng)一表達式進行描述，建立了黏土和砂土統(tǒng)一的本構模型，即CSUH 模型.該模型相較于修正劍橋模型只增加了3 個參數(shù)，且均有明確的物理意義.對于砂土，該模型能夠合理地描述密砂的剪脹及應變軟化，松砂的剪縮及應變硬化，特別是松砂的靜態(tài)液化現(xiàn)象.對于黏土，模型增加的3 個參數(shù)均為零，CSUH 模型可以完全退回到統(tǒng)一硬化UH 模型[19-21]來描述超固結黏土的剪脹及應變軟化，且可以進一步退回到修正劍橋模型來描述正常固結黏土的力學特性.鑒于此，本文首先基于CSUH 模型中正常壓縮線的表達式，建立了水合物含量指標與壓硬性參數(shù)的關系式來反映水合物對沉積物壓縮特性的影響.其次，建立了不同水合物賦存形式、不同水合物含量下的有效初始孔隙比計算式，并將該有效初始孔隙比引入到狀態(tài)參量中，通過特征狀態(tài)應力比來反應水合物對沉積物剪脹性的影響，通過潛在強度應力比來反映水合物對沉積物抗剪強度的影響.最后，結合CSUH 模型中水滴形屈服面，建立了一個可以描述水合物含量不同、賦存形式不同的含水合物沉積物彈塑性本構模型，該模型不考慮溫度作用下的相變特性.

1 含水合物沉積物的力學特性

1.1 等向壓縮特性

Tan[22]對Hydrate ridge 的含水合物沉積物進行了一系列的一維壓縮試驗，試驗結果如圖1 所示.從試驗結果中可以總結得到含水合物沉積物壓縮線的兩個基本特征：

(1)在e-lgp空間內(nèi)，當應力較小時壓縮線較平緩，隨著應力的逐漸增大，壓縮線的斜率也逐漸增大.當應力增大到一定程度，壓縮線的斜率近似不變.這種變化規(guī)律與粒狀土壓縮線的變化規(guī)律相似.之所以粒狀土壓縮線具有這種變化規(guī)律，是因為當應力較小時，顆粒幾乎不會發(fā)生破碎，土體變形主要由顆粒重新排列引起.隨著應力的增大，顆粒破碎逐漸增多，當達到其相應的破碎應力時，土體由顆粒重新排列為主轉變?yōu)轭w粒破碎為主[23-27].本文將沉積物中水合物看作為另一種固體粒狀物質，沉積物是水合物顆粒與土顆粒的混合物.所以可以推斷粒狀土的受力機理同樣適用于沒有膠結作用的含水合物沉積物，即水合物和土顆粒的破碎造成含水合物沉積物的壓縮線具有這種變化規(guī)律.對于具有膠結作用的含水合物沉積物，膠結作用使得沉積物具有一定的結構性，而隨著壓力的增大，結構性發(fā)生破壞，同樣形成了類似的壓縮線.

(2)對不同初始孔隙比的含水合物沉積物進行壓縮，在圍壓較大時，壓縮線會出現(xiàn)兩種情況，一種是壓縮線與壓縮線會逐漸重合，如圖1 中藍線所示，另一種是壓縮線與壓縮線會逐漸平行，如圖1 中紅線和藍線所示.

圖1 含水合物沉積物的一維壓縮試驗線[22]Fig.1 One-dimensional compression line of GHBS[22]

基于以上一維壓縮特性，假設不含水合物沉積物的狀態(tài)稱為初始狀態(tài)，在不含水合物的沉積物孔隙中填充了相應的固體顆粒被稱為加密狀態(tài)，如圖2所示.加密狀態(tài)中，狀態(tài)A 是指在不含水合物的沉積物的孔隙中填充了較小的沉積物顆粒.狀態(tài)B 是指在不含水合物的沉積物中填充了與狀態(tài)A 相同體積的水合物.狀態(tài)C 是指含有與狀態(tài)A 和B 相同體積的水合物，但是水合物對土顆粒具有膠結作用.由于3 種狀態(tài)(A,B 和C)填充的體積相等，因此圖中加密狀態(tài)的孔隙比也相同.

圖2 含水合物沉積物的細觀示意圖Fig.2 Microscopic sketch of GHBS

如果分別從初始狀態(tài)和加密狀態(tài)出發(fā)進行等向壓縮，得到的等向壓縮線ICL 示意圖如圖3 所示.圖中ICL0表示不含填充物質的沉積物的等向壓縮線，ICLA,ICLB和ICLC分別指填充砂或水合物后的等向壓縮線.由于狀態(tài)A 和初始狀態(tài)的固相相同，所以即使初始孔隙比不同，隨著壓力的增大，等向壓縮線也會趨于重合，如圖3 中ICL0和ICLA.然而，水合物力學性質與冰的相近，說明與砂土顆粒相比，水合物更容易破碎，即水合物的破碎應力偏小，因此初始密度相同的情況下，水合物與砂土混合體的破碎應力比純砂的破碎應力小，所以含水合物沉積物的破碎應力(psB)小于純砂的破碎應力(psA)，如圖3 中藍實線和黑實線所示.如果水合物具有膠結作用，則使得沉積物會具有一定的結構性，此時其破碎應力會大于無膠結作用的破碎應力，即psB＜psC，而psC與psA的大小關系取決于膠結作用的強弱.

圖3 沉積物的等向壓縮線示意圖Fig.3 Schematic diagram of isotropic compression lines of GHBS

1.2 含水合物沉積物的剪切特性

Masui 等[28]分別采用兩種不同的制樣方法對含水合物的沉積物進行了常規(guī)三軸排水試驗，得出兩種水合物飽和度幾乎相同的試樣，其抗剪強度不同主要是因為試樣的密度不同.因此與粒狀土類似，含水合物沉積物的密度對其力學特性的影響不容忽視.另外，Soga 等[29]通過分析該試驗結果，還得出了以下幾點結論：

(1)隨著水合物含量的增大，含水合物沉積物的內(nèi)摩擦角和泊松比均沒有明顯變化.

(2)含水合物沉積物的剛度(彈性模量)會隨著水合物飽和度的增大而增大.

(3)膠結模式下水合物對沉積物力學特性的影響比填充模式下明顯，尤其是水合物飽和度較小時.

(4)隨著飽和度的增大，含水合物沉積物會表現(xiàn)出應變軟化現(xiàn)象和剪脹特性.

2 本構模型的建立

2.1 正常壓縮線NCL

等向壓縮線是土體在沒有剪應力作用下的應力應變關系曲線，其受初始密度或超固結度的影響.然而，不論是黏土還是粒狀土均存在一條特殊的等向壓縮線，這條線在劍橋模型中為正常固結土的等向壓縮線，稱為正常壓縮線NCL.水合物沉積物作為水合物與土體的混合物，假設其也存在一條特殊的等向壓縮線.在眾多土的本構模型中，NCL常被選取作為參考線，因此合理地描述NCL 是建立含水合物沉積物本構模型的核心之一.

在CSUH 模型(黏土和砂土統(tǒng)一的UH 模型)[15]中，利用了破碎應力的概念，提出了砂土NCL 表達式，其形式簡單，所用參數(shù)物理意義明確.因此本文利用CSUH 模型中砂土的NCL 表達式來描述含水合物沉積物的NCL，表達式為

式中，λ 為NCL 在e-lnp空間內(nèi)漸近線的斜率，如圖4 所示；Z為NCL 上p=1 kPa 時對應的孔隙比；ps為NCL 在e-lnp空間內(nèi)曲率最小時所對應的應力，即NCL 上的破碎應力.從圖4 中可以看出，當p＜ps時，NCL 非常平緩，當p=ps時，NCL 開始變陡，當p＞ps時，NCL 逐漸趨向于漸近線.

圖4 水合物沉積物的正常壓縮線示意圖Fig.4 Normal compression line of GHBS

壓縮線的漸近線可以表示為

式中，Nh為漸近線上p=1 kPa 時所對應的孔隙比.

通過漸近線與NCL 在p較大時重合的關系，可以得出ps的表達式為

通過式(3)可知，當參數(shù)Z與λ 不變時ps與Nh具有一一對應關系.1.1 節(jié)已經(jīng)指出ps受水合物含量的影響，由于沒有完整的試驗數(shù)據(jù)可以反映其影響規(guī)律，本文假設Nh與水合物體積分數(shù)θ 滿足簡單的線性插值關系

式中，N0為不含水合物沉積物的等向壓縮線漸近線的縱軸截距，N1是純水合物顆粒的等向壓縮線漸近線的縱軸截距，θ 為水合物體積分數(shù)，計算式為

式中，vh為水合物的體積含量，vs為土顆粒的體積含量，Sh為含水合物飽和度，e0為不含水合物的沉積物孔隙比.從式(4)中可以看出，當θ=0 時，沉積物不含水合物，Nh=N0，當θ=1 時，Nh=N1.因此即使初始孔隙比不同，只要水合物體積分數(shù)θ 相等，等向壓縮線最終也會逐漸重合.

2.2 屈服函數(shù)

粒狀材料易發(fā)生破碎，尤其是在剪應力作用下.顆粒破碎的作用使得粒狀材料在應力比越大時屈服越快，因此許多研究者認為粒狀材料的屈服面并非橢圓形.姚仰平等[15-18]在橢圓屈服面的基礎上，通過考慮粒狀土的臨界狀態(tài)特性，提出水滴形屈服面，屈服函數(shù)為

式中，M為臨界狀態(tài)應力比.px為屈服面與p軸相交所對應的平均正應力，如圖5 所示.χ 被稱為臨界狀態(tài)參數(shù)，反應了材料破碎的難易程度.當材料易被剪碎時，達到臨界狀態(tài)時產(chǎn)生的變形較大，對應正常壓縮線與臨界狀態(tài)線(CSL)之間的距離較大，此時屈服面在應力比較大時就更加扁平，如圖5 所示.

圖5 水滴形屈服面Fig.5 Drop-shaped yield surfaces

通過正常固結土的等向壓縮應力應變關系可以得出式(6)中的px的表達式為

圖6 有膠結作用和無膠結作用下含水合物沉積物的屈服面Fig.6 Yield surfaces of GHBS with and without cementation

將式(7)代入式(6)，并用姚仰平等[19]提出的硬化參數(shù)H直接代替塑性體積應變可得到

式中，H為硬化參數(shù)，其增量可表示為

式中，px0為屈服面與p軸的初始交點所對應平均正應力.cp=(λ-κ)/(1+eh0).由于水合物含量不同，賦存形式不同，ps不同，則px不同，造成屈服面大小不同，見圖6 所示.

式中，Mf為含水合物沉積物的潛在破壞強度，可表示為

Mc為含水合物沉積物的特征狀態(tài)應力比，當η=Mc時達到含水合物沉積物的特征狀態(tài)(由剪縮轉換到剪脹時所對應的點).因此Mc越小，在剪切過程中越快達到特征狀態(tài)，具體演化規(guī)律見文獻[18].Mc的表達式為

式中，m為特征狀態(tài)參數(shù)，控制著特征狀態(tài)應力比的演化速度.ξ 為狀態(tài)參數(shù)，詳細介紹見下文.

2.3 狀態(tài)參數(shù)

粒狀材料的密度對其力學性質有很大的影響，而在本構模型中引入表示當前狀態(tài)的指標，能夠合理地描述粒狀材料剪脹剪縮特性.因此，國內(nèi)外學者先后提出了許多這類指標，其中最經(jīng)典的是Been等[30]提出的狀態(tài)參數(shù)ψ.該狀態(tài)參數(shù)被定義為當前孔隙比與臨界狀態(tài)線上當前應力所對應的孔隙比之差，其形式簡單，應用方便.然而，狀態(tài)參數(shù)ψ 以臨界狀態(tài)線為參考線，因此應用它不能合理地描述材料的等向壓縮和一維壓縮力學特性[31].為了能夠合理地描述含水合物沉積物的等向壓縮、一維壓縮以及剪切特性，本文采用狀態(tài)參數(shù)ξ，其表達式為

式中，eη為含水合物沉積物的等應力比線上當前應力所對應的孔隙比，如圖7 中點E所對應的孔隙比；eh為含水合物沉積物的當前孔隙比，如圖7 中點A所對應的孔隙比.

圖7 狀態(tài)參數(shù)的示意圖Fig.7 Schematic diagram of state parameter ξ

從圖7 中可以看出，點E的孔隙比可以由點D的孔隙比減去DE之間的豎向距離得到.其中點D位于NCL 上，所以點D的狀態(tài)代表正常壓縮狀態(tài)，可以根據(jù)式(1)得到.而DE的豎向距離是指試樣從點D(應力比η=0)出發(fā)進行等p剪切到點E(應力比η)所形成的孔隙比變化.根據(jù)屈服函數(shù)，可以得出Δep的計算式為

結合式(1)與式(13)可以求得eη的計算式為

eh的計算式為

式中，eh0是指含水合物沉積物的初始孔隙比.

土體的密度對其力學特性具有較大的影響，以砂土為例，松砂具有應變硬化和體積剪縮特性，而密砂具有應變軟化和體積剪脹特性[32].含水合物沉積物實際是由沉積物顆粒、水合物晶體及孔隙水組成的混合物.許多文獻表明純水合物具有明顯的抗壓和抗剪強度，因此可以將水合物看作為土體中另一種固相.根據(jù)土孔隙比的定義，對于非懸浮形式的含水合物沉積物，其孔隙比應該隨著水合物這一固相含量的增大而減小.

研究表明，水合物在沉積物孔隙中的賦存模式不同，主要分為膠結模式和填充模式(包含懸浮模式和持力模式).對于膠結模式，水合物不僅有膠結作用，而且水合物粘結在土顆粒上，起到了骨架作用，因此隨著水合物飽和度的增大，沉積物的密度會逐漸增大.如果水合物僅僅是填充在沉積物孔隙中，沒有粘結在土顆粒上，隨著水合物飽和度的增大，水合物的賦存模式會由懸浮模式逐漸轉變?yōu)槌至δＪ?懸浮模式下水合物不充當骨架作用，因此水合物加入對沉積物的密度沒有影響.持力模式下水合物和土顆粒共同充當了骨架作用，因此水合物的加入會使原來沉積物的密度增大.針對以上膠結模式和填充模式兩種情況，本文基于顏容濤等[7]提出的有效飽和度概念，給出了一個統(tǒng)一的有效飽和度的計算式

式中，Sh是水合物的真實飽和度；Shc是水合物的臨界飽和度，其與顏容濤等[10]提出的臨界飽和度意義相同，確定方法也相同.當賦存模式為膠結模式，Shc=0，此時.當賦存模式為填充模式時，Shc一般取25%～40%.該式是一個連續(xù)函數(shù)，且是兩種賦存形式統(tǒng)一的表達式.

根據(jù)飽和度和孔隙比的定義，可以求得含水合物沉積物的初始有效孔隙比

式中，e0為不含水合物沉積物的初始孔隙比(圖8).

圖8 有效孔隙比/真實孔隙比與飽和度的關系Fig.8 Relations between effective/real void ratio and saturation

deh可以根據(jù)體積應變增量dεv進行計算

通過式(11)、式(12)、式(14)～式(18)可以看出，水合物含量不同，在相同應力下有效孔隙比不同，從而使得狀態(tài)參數(shù)ξ 不同，而狀態(tài)參數(shù)ξ 進一步影響特征狀態(tài)應力比Mc來反映不同飽和度下含水合物沉積物剪脹性的不同.

2.4 塑性勢函數(shù)

塑性勢面決定了塑性應變增量的方向，本文采用CSUH 模型的塑性勢函數(shù)

式中，py為塑性勢面與p軸的交點.通過塑性勢面可以得到剪脹方程為

2.5 應力應變關系

2.5.1 彈性應變增量

根據(jù)Hooke 定律可求得彈性應變增量為

式中，υ 為泊松比.E為含水合物沉積物的彈性模量，可表示為

在1.2 節(jié)中已經(jīng)指出含水合物沉積物的彈性模量會隨著水合物含量的增大而增大，因此κ 會逐漸減小，表達式為

式中，κ0是不含水合物的沉積物的回彈系數(shù)；a和b分別是材料參數(shù).

2.5.2 塑性應變增量

塑性流動方向與塑性勢面正交，因此塑性體積應變可以表示為

式中，Λ 是塑性因子，表達式為

2.5.3 彈塑性應力應變關系

在p-q平面內(nèi)的應力應變關系表示如下

式中，K和G分別是彈性體積模量和彈性剪切模量，與彈性模量的關系為

3 模型驗證

3.1 驗證1

Masui等[28]采用兩種不同的制樣方法分別對含水合物沉積物進行了三軸排水試驗，兩組試驗分別稱為Type A 和Type B.其中Type A 中主砂的初始孔隙比為0.8，Type B 中主砂的初始孔隙比為0.59.現(xiàn)采用本文所提出的模型對相應的試驗結果進行計算，計算所采用參數(shù)見表1.由于Type A 試樣中水合物主要是以填充模式為主，膠結作用很小，而Type B試樣中膠結作用明顯，因此兩種模式下個別參數(shù)會不同.例如Type A 中Shc取為25%，說明飽和度小于25%時，水合物賦存形式主要以懸浮為主.而Type B 中具有較明顯的膠結作用，即在飽和度較小時水合物就會起到一定的力學作用，因此其Shc取為0.

表1 含水合物沉積物的模型參數(shù)Table 1 Model parameters of GHBS

圖9 應力應變關系[28]及模型預測Fig.9 Stress-strain relations[28] and predictions

圖9 中分別展示了Type A 和Type B 在圍壓為1 MPa 下的三軸排水剪切試驗結果和模型計算結果.從圖中可以看出，隨著飽和度的增大，兩種模式下的相同點是含水合物沉積物的抗剪強度均逐漸增大，都會發(fā)生應變軟化現(xiàn)象，且殘余強度都幾乎不受水合物的影響.兩種模式下的不同點是在飽和度較低時，Type A 的抗剪強度小于Type B，甚至Type A 在Sh為26.4% 時的抗剪強度小于Type B 在Sh為0% 時的抗剪強度，充分說明了密度對含水合物沉積物力學特性影響的重要性.模型的計算結果(圖中實線)表明，該模型能夠基本反映含水合物沉積物的以上力學特性.

圖10 展示了Type B 試樣在不同圍壓下的三軸排水剪切試驗結果和模型計算結果.3 種圍壓下含水合物飽和度Sh幾乎相同.圖中顯示隨著圍壓的增大，含水合物沉積物的抗剪強度逐漸增大，并且在圍壓較小時發(fā)生應變軟化更加明顯.圖中實線說明了本文所提的模型能夠反映圍壓對含水合物沉積物抗剪強度的影響.

圖10 不同圍壓下Type B 的應力應變關系[28] 及模型預測Fig.10 Stress-strain relations[28] of Type B at different confining pressures and predictions

圖11 展示了相同含水合物飽和度下Type A和Type B 的應力應變關系.從圖中可以看出，Type B 的抗剪強度比Type A 的抗剪強度大.Masui 等指出造成兩種模式下抗剪強度不同的主要原因是試樣密度的不同，而不是水合物含量的不同.再次說明密度對含水合物沉積物的影響至關重要.由于該模型合理考慮了密度的影響，因此能夠合理地描述含水合物沉積物的力學特性.

3.2 驗證2

Zhang 等[33]采用氣飽和試驗方法對不同水合物飽和度的含水合物沉積物在不同圍壓下進行了常規(guī)三軸排水試驗，試驗結果如圖12 所示.現(xiàn)采用該實驗結果來驗證本文所提模型的合理性，模型采用參數(shù)見表2，其中主砂試樣的初始孔隙比為0.67.

圖11 相同飽和度下Type A 和Type B 的應力應變關系[28]及模型預測Fig.11 Stress-strain relations[28] of Type A and Type B with same saturations and predictions

表2 含水合物沉積物的模型參數(shù)Table 2 Model parameters of GHBS

圖12 不同圍壓下含水合物沉積物的應力應變關系[33] 及模型預測Fig.12 Stress-strain relations[33] of GHBS at different confining pressures and predictions

圖12 不同圍壓下含水合物沉積物的應力應變關系[33] 及模型預測(續(xù))Fig.12 Stress-strain relations[33] of GHBS at different confining pressures and predictions(continued)

圖12 是不同水合物飽和度和不同圍壓下的含水合物沉積砂實驗結果和模型預測結果.圖中顯示，在飽和度較低時應變軟化現(xiàn)象發(fā)生在圍壓較小的情況.隨著飽和度的增大，初始剛度明顯增大，在高圍壓下也會逐漸發(fā)生應變軟化現(xiàn)象.通過模型預測與實驗結果的比較可以看出，當飽和度Sh低于52% 時，模型預測結果與實驗結果吻合較好.當飽和度Sh等于52%時，水合物膠結作用明顯，并且在加載過程中膠結狀態(tài)會發(fā)生變化.由于該模型沒有考慮水合物膠結狀態(tài)的變化，使得模型預測結果與實驗結果有一定的誤差.因此當飽和度較大(Sh＞50%)時，該模型預測結果不是很理想，特別是在圍壓較小時.

綜上，該模型能夠合理地描述賦存形式不同、水合物含量不同的含水合物沉積物力學特性.特別注意的是，對于水合物含量不同的含水合物沉積物，本文模型視為同一種沉積物，因此采用一組參數(shù)即可描述其不同條件下的應力應變關系.

4 結論

(1)土密度對土的力學特性影響較大.本文通過將含水合物沉積物與純土進行類比分析，指出當水合物懸浮于沉積物孔隙中時，水合物沒有起到固相的作用.當水合物以持力或膠結模式賦存于沉積物孔隙中時，即水合物具有骨架或膠結作用，此時水合物具有抗壓和抗剪作用，因此均應將水合物視作固相來計算水合物沉積物的密度.所以，在不同賦存模式下，水合物的含量對含水合物沉積物的有效密度具有不同的影響，進而影響含水合物沉積物的力學特性.

(2)考慮了水合物的固相作用和膠結作用，基于CSUH 模型，引入了水合物的體積分數(shù)建立了不同水合物含量下水合物沉積物正常壓縮線表達式.

(3)基于含水合物沉積物有效密度在本構模型中的重要性，提出了含水合物沉積物的初始有效孔隙比計算式，該計算式是一個連續(xù)函數(shù)，且適用于水合物不同的賦存條件.

(4)基于CSUH 模型，結合所提正常壓縮線表達式，引入了初始有效孔隙比到狀態(tài)參數(shù)，建立了含水合物沉積物的彈塑性本構模型.

(5)所提本構模型不僅只需采用一組參數(shù)就能夠描述不同飽和度下含水合物沉積物的力學特性，而且能夠合理地描述不同賦存形式的水合物沉積物力學特性.