短脈沖激光加熱分?jǐn)?shù)階導(dǎo)熱及其熱應(yīng)力研究1)

許光映 王晉寶 薛大文

(浙江海洋大學(xué)港航與交通運(yùn)輸學(xué)院,浙江舟山 316022)

引言

隨著激光技術(shù)的日益發(fā)展,其應(yīng)用領(lǐng)域從激光的材料加工到激光醫(yī)學(xué)不斷拓展,最近又探索應(yīng)用降低超聲速波阻方面[1],其中在激光加工材料過程中材料內(nèi)部溫度場(chǎng)的不均勻性會(huì)導(dǎo)致材料內(nèi)部形成極大的溫度梯度,從而產(chǎn)生很高的熱應(yīng)力.因而,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)并描述激光加熱傳導(dǎo)過程溫度響應(yīng),對(duì)于揭示脈沖激光與材料相互作用的物理機(jī)制、促進(jìn)激光技術(shù)在現(xiàn)代加工制造業(yè)和現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用具有重要意義.

通常描述宏觀熱傳導(dǎo)的模型是基于經(jīng)典Fourier定律.然而,研究[2-4]表明,Fourier 熱傳導(dǎo)模型不能描述諸如脈沖激光加熱之類較大熱流、快速加熱的情況,因?yàn)镕ourier 模型隱含著無限大的熱傳播速度,顯然這有悖于物理事實(shí).事實(shí)上,對(duì)于短脈沖激光,其脈沖持續(xù)時(shí)間短,一般在納秒甚至飛秒量級(jí),同時(shí)具有高強(qiáng)度熱流功率.在這種情況下,短激光束會(huì)產(chǎn)生很大的熱梯度和較高的加熱速率.自從Peshkov[5]在實(shí)驗(yàn)中觀察到了熱波效應(yīng),人們普遍認(rèn)為,在極端低溫和快速加熱等情況下,熱波信號(hào)以有限速度傳輸.因此需要對(duì)Fourier 模型進(jìn)行修正以描述此類瞬態(tài)熱傳導(dǎo)過程.在眾多的修正模型中,最為廣泛接受的是考慮時(shí)滯效應(yīng)的Cattaneo-Vernotte(C-V)模型[6-7].大量研究[8-10]已經(jīng)證明了熱傳播過程中具有波動(dòng)特性,并表明C-V 模型所描述的熱行為能夠反映時(shí)滯現(xiàn)象,相對(duì)于Fourier 模型具有更快的熱上升速率.

然而,同時(shí)也有一些研究表明,實(shí)驗(yàn)測(cè)得溫度分布與C-V 模型預(yù)測(cè)的溫度分布存在偏差,C-V 模型自身也存在局限性[11-14].還有一些研究表明,CV 模型甚至可能弓入一些不符合物理現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象,如局部溫度低于絕對(duì)零度[15],違反熱力學(xué)第二定律[16]等.

實(shí)際上,對(duì)經(jīng)典Fourier 定律修正的C-V 模型所描述的上述熱物理過程是一種超常規(guī)的極端過程[17],也是典型的反常擴(kuò)散過程.從宏觀上看,大量粒子在反常擴(kuò)散過程中的運(yùn)動(dòng)不符合標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)分布,粒子的均方位移與標(biāo)準(zhǔn)線性行為不符.過去幾十年來,數(shù)學(xué)和物理學(xué)界一致認(rèn)為描述反常擴(kuò)散過程有效的工具是分?jǐn)?shù)階微積分.眾多研究[18-20]指出,分?jǐn)?shù)階微積分算子與反常擴(kuò)散之間存在著內(nèi)在聯(lián)系.眾所周知,整數(shù)階微分算子是局部算子,而分?jǐn)?shù)階微分算子是非局部算子.反常擴(kuò)散所具有的歷史依賴與全域相關(guān)的特征恰好可以由分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來描述,這也是分?jǐn)?shù)微積分描述反常擴(kuò)散現(xiàn)象的最重要優(yōu)勢(shì).

目前為止,分?jǐn)?shù)階微積分已被成功運(yùn)用在許多領(lǐng)域,尤其是熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、黏彈性等方面.在熱彈性方面,Povstenko 基于時(shí)間分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程,提出準(zhǔn)靜態(tài)非耦合的熱彈性理論,并作了系列研究[21-24].Youssef 等[25-27]將R-L 分?jǐn)?shù)階積分算子弓入廣義熱傳導(dǎo)方程,建立了耦合的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,并通過拉氏和傅氏積分變換研究了二維的熱沖擊問題以及受坡形熱載荷作用的半無限大體的熱彈問題.Sherief 等[28]弓入Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),建立了耦合的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論.應(yīng)用該理論,Shweta 等[29]借助拉氏變換和狀態(tài)空間法研究了半無限大體的熱彈響應(yīng)問題.Sherief 等[30]借助拉氏變換及其數(shù)值反變換研究了具有可變熱傳導(dǎo)率的半無限大體的熱沖擊問題.此外,Ezzat 等通過采用時(shí)間分?jǐn)?shù)階泰勒級(jí)數(shù)展開,建立了分?jǐn)?shù)階雙相滯后(DPL)熱傳導(dǎo)方程和三相滯后(TPL)熱傳導(dǎo)方程,以此得到分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論[31-32].

王穎澤等[33]基于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散理論建立L-S,GL,G-N 的分?jǐn)?shù)型熱彈性理論,比較分?jǐn)?shù)階參數(shù)對(duì)熱波、彈性波傳播的特性.馬永斌等[34]采用Sherief 的分?jǐn)?shù)階熱彈性理論,研究了含球形空腔無限大體受熱沖擊作用的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題.借助拉氏變換及其數(shù)值反變換,得到了無限大體中無量綱溫度、位移、應(yīng)力等的分布規(guī)律.徐業(yè)守等[35]基于Ezzat 等[31]提出的分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論研究對(duì)稱熱沖擊作用下三明治板的廣義熱彈動(dòng)態(tài)響應(yīng).朱海陶等[36]基于分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論,利用Laplace 變換及特征值法研究了中空柱的熱彈性特征,張培等[37]通過非局部效應(yīng)和記記依賴微分修正建立廣義熱彈性理論,研究兩端固定、受移動(dòng)熱源作用的有限長熱彈桿的動(dòng)態(tài)響應(yīng).運(yùn)用Laplace 變換對(duì)控制方程進(jìn)行求解.

雖然對(duì)分?jǐn)?shù)階熱彈性問題已有眾多研究,但對(duì)于脈沖激光輻照熱力效應(yīng)的研究較少,尤其對(duì)于實(shí)際制造加工工業(yè)過程中的非Gauss 型激光輻照.因此,本文利用分?jǐn)?shù)階Taylor 展開,以時(shí)間分布非Gauss 型激光源作為內(nèi)熱源,建立分?jǐn)?shù)階Cattaneo 熱傳導(dǎo)方程,結(jié)合動(dòng)力學(xué)方程,研究短脈沖激光輻照下熱傳導(dǎo)過程和相關(guān)的熱應(yīng)力,探討分?jǐn)?shù)階階次和延遲時(shí)間及激光源參數(shù)對(duì)溫度場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的影響規(guī)律,揭示激光加熱反常擴(kuò)散機(jī)制.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 分?jǐn)?shù)階Cattaneo 熱傳導(dǎo)模型

考慮短脈沖激光輻照在金屬材料的情況,當(dāng)短脈沖加熱時(shí)間短到與材料熱化時(shí)間相當(dāng)時(shí),在表面薄層吸收區(qū)域,材料對(duì)光子吸收過程和能量在微觀粒子之間的傳遞過程時(shí)間必須考慮,其間熱流的傳遞過程和溫度梯度之間會(huì)表現(xiàn)出不同步的滯后效應(yīng),通常描述其過程是C-V 模型[38]

式中,q是熱流,單位W/m2;τ 是延遲時(shí)間,單位s;T是溫度,單位°C.

方程(1)可以看成是方程(2)的一階近似

采用分?jǐn)?shù)階Taylor 級(jí)數(shù)展開,可得到分?jǐn)?shù)階Cattaneo 模型[39]

式中,p是分?jǐn)?shù)階階次,0 ＜p＜1,?p/?tp是Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分.當(dāng)p=1 時(shí),方程(3)退回方程(1),為標(biāo)準(zhǔn)C-V 方程,而當(dāng)τ=0 時(shí),方程(3)退回Fourier定律.

結(jié)合能量方程為

式中,ρ 是材料密度,單位kg/m3;CP是比熱容,單位J/(kg·K);Q是體積內(nèi)熱源,單位W/m3;αT是熱膨脹系數(shù),單位1/K;εV是材料的體積膨脹率,單位1;E是彈性模量,單位Pa;ν 是泊松比,單位1.

將方程(3)代入式(4),得到一般形式的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程

式中,a=k/(ρcP)是熱導(dǎo)率,單位m2/s.顯然,當(dāng)τ=0時(shí),方程(5)退化為Fourier 經(jīng)典導(dǎo)熱方程,當(dāng)τ ≠0,p=1 時(shí),方程(5)退化為標(biāo)準(zhǔn)C-V 熱波方程.

激光與金屬材料作用過程復(fù)雜,一般認(rèn)為,激光照射到金屬表面后,除了僅約百分之幾的能量被表面反射回來,剩下的大部分能量進(jìn)入材料內(nèi)部.在內(nèi)部傳播過程中,不斷發(fā)生散射和吸收,而被吸收的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?用于材料的加熱.因此,激光照射金屬材料時(shí)所生成的熱可認(rèn)為是一個(gè)容積吸收過程.由于加熱時(shí)間短,在垂直于表面方向形成的溫度梯度比平行于表面方向的大好幾個(gè)數(shù)量級(jí),因此加熱模型簡化為如圖1 所示一維問題[40],εV=?ux/(?x),ux是x方向位移,方程(5a)成為

考慮材料對(duì)激光反射和吸收的Lambert-Beer 定律,則體積內(nèi)熱源的生成熱為

式中,rf和δ 分別是材料的反射系數(shù)和吸收系數(shù).I(t)為熱源功率強(qiáng)度,本文選擇時(shí)間分布非Gauss 型脈沖激光作為熱源,強(qiáng)度為

式中,I0是激光峰值功率強(qiáng)度,單位J/m2,f(t)=e-βt-e-μt,β 為激光脈沖上升時(shí)間參數(shù),單位1/s;μ為激光脈沖下降時(shí)間參數(shù),單位1/s.可知,時(shí)間分布函數(shù)f(t)取決于β 和μ的不同組合,在本文中,β 和μ的參數(shù)取值于參考文獻(xiàn)[33-34].其函數(shù)分布如圖2所示,從中可以看出,由于β/μ為定值,激光峰值強(qiáng)度在量級(jí)上相當(dāng),但是隨著β 和μ的減小,激光強(qiáng)度達(dá)到峰值所需的時(shí)間增加.顯然,該熱源強(qiáng)度分布比階躍函數(shù)及三角函數(shù)更符合實(shí)際情況.

圖1 受短脈沖激光加熱的半無限體Fig.1 A semi-infinite body subjected to short pulse laser heating

圖2 激光熱源功率強(qiáng)度時(shí)間分布函數(shù)f(t)Fig.2 Temporal distribution of the laser power

將方程(6)和(7)代入方程(5b),可得一維分?jǐn)?shù)階Cattaneo 導(dǎo)熱方程

式中I1=(1-rf)I0.

假設(shè)材料初始時(shí)刻處于準(zhǔn)靜態(tài)熱平衡且各處溫度均勻,相應(yīng)的初始條件為

熱波效應(yīng)一般發(fā)生在表面很薄的一層,所以問題簡化為半空間處理.在忽略表面與外界換熱情況下,相應(yīng)的邊界條件為

1.2 熱應(yīng)力模型

考慮表面自由的半空間材料其位移具有下列特征

因此材料幾何方程為

由熱應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系可得

式中λ=Eν/[(1+ν)(1-2ν)]是拉梅系數(shù),κ=E/[2(1+ν)]是剪切模量.

考慮彈性材料動(dòng)力學(xué)方程

將式(14)對(duì)x求導(dǎo)后方程代入式(16)對(duì)x求導(dǎo)后方程中,消除變量u,可得

相應(yīng)的初始條件和邊界條件分別為

2 方程解析解

為了便于討論,弓入以下無量綱量對(duì)上述方程無量綱化

2.1 溫度場(chǎng)解析解

方程(8)～(11)經(jīng)無量綱化后得到如下無量綱方程(方便起見,忽略星號(hào))

初始和邊界條件的無量綱化為

對(duì)上述方程進(jìn)行Laplace 變換可得

結(jié)合邊界條件(27)和(28),方程(26)的解為

方程(29)的解析解為

其中方程(36)參考了文獻(xiàn)[42]給出的Laplace 逆變換.Eα,β(z)是雙參數(shù)Mittag-Leffler 函數(shù).其Laplace 變換及其分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在附錄A 給出.

2.2 應(yīng)力場(chǎng)解析解

同理,對(duì)方程(17)～(20)進(jìn)行無量綱化,得到如下無量綱方程

其中,Λ=aδ/Ve.

對(duì)方程(37)～(39)采用Laplace 變換,可得

方程(41)在邊界條件(41)時(shí)的拉普拉斯變換形式的解為

方程(43)的拉普拉斯逆變換形式為

運(yùn)用拉普拉斯變換的性質(zhì),方程(42)的逆拉普拉斯變換為

其中部分用到的拉普拉斯逆變換在附錄A 給出.

3 結(jié)果和討論

為了研究分?jǐn)?shù)階階次和激光參數(shù)對(duì)溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力的影響,選用金屬銅作為研究算例,其物性參數(shù)δ=6.16 × 106m-1,a=1.12 × 10-4m2/s,Cp=385 J/(kg·K),ρ=8930 kg/m-3,k=385 W/(m·K),τ=1.0×10-11s,λ=7.76×1011Pa,μ=3.86×1011Pa.對(duì)應(yīng)與計(jì)算相關(guān)的無量綱參數(shù)τ=4.25,Λ=1.66,Ve=4163 m/s.

3.1 解的數(shù)值驗(yàn)證

式(33)是任意分?jǐn)?shù)階溫度的級(jí)數(shù)近似解,文獻(xiàn)[44]給出p=1 時(shí)的精確解,但激光源不同,為檢驗(yàn)解的正確性,在采用本文激光源情況下,圖3 給出了表面溫度變化的對(duì)比,由圖3 可知兩者是吻合的,由此可知溫度場(chǎng)解(33)是正確的.

圖3 級(jí)數(shù)解與精確解溫度變化對(duì)比Fig.3 Comparison of the series solution and exact solution

3.2 無量綱溫度及熱應(yīng)力場(chǎng)隨時(shí)間、空間分布

圖4 顯示了p=0.5,β=1 和μ=5 時(shí)不同位置處無量綱溫度和熱應(yīng)力隨時(shí)間的變化情況.從圖4(a)可以看出,不同位置的溫升和降溫速率不同.x=0 和x=2 時(shí)的溫度響應(yīng)明顯快于x=4 和x=6 時(shí)的溫度響應(yīng),距離表面越遠(yuǎn),溫度響應(yīng)越慢,說明熱波以有限的速度傳播.此外,由于脈沖激光強(qiáng)度的衰減,溫度的峰值從x=0 到x=6 逐漸降低.圖4(b)為相應(yīng)的熱應(yīng)力場(chǎng).從中可以看出,當(dāng)材料表面(x=0)經(jīng)過加熱和冷卻階段時(shí),材料內(nèi)部受到壓縮和拉伸.隨著熱波信號(hào)的傳遞,不同位置的應(yīng)力呈現(xiàn)相似的分布.由于壓縮作用,熱應(yīng)力首先呈現(xiàn)負(fù)值,隨后由于拉伸作用,熱應(yīng)力呈現(xiàn)正值,不同位置的熱應(yīng)力絕對(duì)峰值出現(xiàn)在加熱階段.

隨著熱應(yīng)力波的傳播,不同部位的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)間.

圖4 p=0.5,β=1 和μ=5 時(shí)無量綱溫度及熱應(yīng)力變化Fig.4 The dimensionless temperature and thermal stress variations at different positions(p=0.5,β=1,μ=5)

圖5 顯示了p=0.5,β=1 和μ=5 時(shí)不同時(shí)刻無量綱溫度及熱應(yīng)力的空間分布.在圖5(a)中,隨著激光脈沖經(jīng)歷上升時(shí)間和下降時(shí)間,材料表面的加熱速率隨時(shí)間變化,材料表面(x=0)歷經(jīng)前期加熱后期冷卻過程,因而溫度出現(xiàn)先上升后下降的變化趨勢(shì),圖中t=4 時(shí)的材料表面溫度低于t=2 時(shí)的溫度,而t=6 時(shí)的則更低.然而,雖然表面溫度下降了,但是對(duì)于材料內(nèi)部(x＞2),t=4 及t=6 時(shí)刻其溫度卻高于表面溫度,表明此時(shí)材料內(nèi)部仍處于加熱狀態(tài).這種非同步的加熱和冷卻狀態(tài)恰恰符合非平衡熱傳導(dǎo)物理機(jī)制的有限熱波理論.圖5(b)給出了不同時(shí)刻熱應(yīng)力分布.圖中可以看出,熱應(yīng)力值有正有負(fù),表明材料一部分處于壓縮變形狀態(tài),而另一部分處于拉伸狀態(tài).如上所述,加熱階段中,材料由于受熱膨脹導(dǎo)致受到壓應(yīng)力,與之相反,冷卻過程材料受到拉應(yīng)力.隨激光脈沖完成,應(yīng)力峰值隨時(shí)間變化有所增大.

圖5 不同時(shí)刻溫度及熱應(yīng)力分布Fig.5 The dimensionless temperature and associated stress distribution at different times

3.3 激光參數(shù)對(duì)溫度場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的影響

圖6 不同激光參數(shù)下不同時(shí)刻材料溫度分布圖Fig.6 The dimensionless temperature distribution for different laser pulse parameters

圖6 顯示了不同激光參數(shù)作用下,不同時(shí)刻金屬材料的溫度分布.如1.1 節(jié)所述,β 和μ代表激光脈沖上升和下降時(shí)間,隨著β 和μ的減小,激光強(qiáng)度達(dá)到峰值所需的時(shí)間增加.從圖5(a)可以發(fā)現(xiàn),在t=0.5之前,β 和μ值越大,溫度越高.這是因?yàn)樵趖=0.5 之前,所有工況下激光脈沖都處于上升階段(見圖2),β和μ值越大,表明激光輻照能量釋放越快,顯然材料所受加熱速率越快,溫度越高.同時(shí)從圖中可知,溫度分布曲線斜率表示當(dāng)?shù)販囟忍荻?斜率越大,梯度越大.形成β=1,μ=5 工況溫度最高、斜率最大,而β=0.125,μ=0.625 工況溫度最低,斜率最小的分布情形.而對(duì)比圖6(a)和圖6(b),當(dāng)t=1.5 時(shí),雖然各工況下溫度較t=0.5 時(shí)刻均有所升高,但β=1,μ=5工況下溫度明顯低于β=0.5,μ=2.5 和β=0.25,μ=1.25 工況.表明β=1,μ=5 工況下激光加熱速率最先減慢,這與圖2 中β=1,μ=5 工況最先出現(xiàn)脈沖下降階段吻合.在β=1,μ=5 工況處于脈沖下降階段時(shí),其余工況仍處于脈沖上升階段,從而導(dǎo)致材料表面溫升速度快于前者形成圖中所示溫度分布情形.而隨著時(shí)間推移,各工況激光相繼經(jīng)歷脈沖下降階段,加熱速率先后減慢,形成不同時(shí)刻,不同工況下的材料表面溫度相繼領(lǐng)先的分布情形(圖6(c)～圖6(f)).通過上述分析也就不難理解圖6(a)和圖6(f)中不同工況下溫度分布和溫度曲線斜率呈現(xiàn)相反趨勢(shì),這與激光脈沖的時(shí)間分布特征密切相關(guān).

圖7 不同激光參數(shù)下不同時(shí)刻材料熱應(yīng)力分布圖Fig.7 The dimensionless thermal stress variations for different laser parameters

對(duì)應(yīng)于圖6 中的溫度分布,圖7 是不同激光參數(shù)工況下熱應(yīng)力分布圖.在圖7(a)中,在激光脈沖加熱開始時(shí),材料受熱區(qū)由于膨脹導(dǎo)致受到周圍材料擠壓作用,因而圖中熱應(yīng)力值均為負(fù)值,且激光脈沖上升和下降時(shí)間越大,熱應(yīng)力幅值越大.隨β=1,μ=5 工況下激光脈沖經(jīng)歷下降階段,溫升速率減慢,溫度梯度減小,相應(yīng)熱應(yīng)力幅值減小,因而在圖7(b)中呈現(xiàn)β=1,μ=5 工況熱應(yīng)力幅值小于β=0.5,μ=2.5,β=0.25,μ=1.25 工況.圖7(c)中β=1,μ=5 工況下出現(xiàn)正熱應(yīng)力值,表明此時(shí)靠近材料表面的區(qū)域處于收縮階段,這與圖7(c)中該工況下溫度降低相符.隨著時(shí)間的推移,其他工況相繼進(jìn)入脈沖下降階段,加熱速率逐漸減慢,先后經(jīng)歷冷卻階段,形成正負(fù)熱應(yīng)力共同存在的情形,表明拉應(yīng)力和壓應(yīng)力共同出現(xiàn),材料部分受拉、部分受壓.同樣,這種非同步冷、熱狀態(tài)證實(shí)了非平衡熱傳導(dǎo)的有限熱波理論.

3.4 分?jǐn)?shù)階階次對(duì)溫度場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)的影響

圖8 顯示了x=0 和x=3 位置不同分?jǐn)?shù)階階次p對(duì)無量綱溫度變化的影響.眾所周知,局部溫度與局部能量積累有關(guān),熱傳遞速度越慢,能量傳遞也越慢,因而在當(dāng)?shù)匚恢梅e累的能量越多,溫度就越高.由于Fourier 模型暗含著無限的熱傳播速度,因而Fourier 模型中,材料表面受熱(x=0)的升溫速率及幅值是最小的,因?yàn)槠淠芰恳詷O快的速度傳播至材料內(nèi)部.標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型(p=1)表明熱信號(hào)以有限速度的熱波形式傳播,因而標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型(p=1)預(yù)測(cè)的材料表面溫度和升溫速率均高于Fourier 模型.至于分?jǐn)?shù)階模型,其介于Fourier 模型和標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型之間,呈現(xiàn)在溫度梯度延遲時(shí)間小于熱流延遲時(shí)間時(shí)DPL 模型特征[43].隨著分?jǐn)?shù)階階次p的增大,材料表面溫度和升溫速率增大,表明熱波速度隨分?jǐn)?shù)階階次增大而減小.

圖8 不同分?jǐn)?shù)階階次下x=0 和x=3 處溫度分布Fig.8 The temperature variations with different fractional order p at x=0 and x=3

在材料內(nèi)部(x=3),不同模型的溫度響應(yīng)速度與圖6(a)確相反,Fourier 模型預(yù)測(cè)的內(nèi)部溫度響應(yīng)最快,而標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型(p=1)溫度響應(yīng)最慢.這仍然體現(xiàn)了不同的熱波傳播速度.如上所述,Fourier 模型意味著無限的熱傳播速度,因此Fourier 模型中,熱信號(hào)首先傳遞到x=3 的位置,從而產(chǎn)生最快的局部溫度響應(yīng).相反,標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型中,熱波速度最慢,因此體現(xiàn)了最慢的局部溫度響應(yīng).而分?jǐn)?shù)階模型預(yù)測(cè)結(jié)果介于標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型和Fourier 模型之間.

圖9 不同分?jǐn)?shù)階階次x=1 和x=3 處熱應(yīng)力分布Fig.9 The effects of the fractional order p on the thermal stress at x=1 and x=3

圖9 不同分?jǐn)?shù)階階次x=1 和x=3 處熱應(yīng)力分布(續(xù))Fig.9 The effects of the fractional order p on the thermal stress at x=1 and x=3(continued)

圖9 是x=1 和x=3 位置不同分?jǐn)?shù)階階次p對(duì)熱應(yīng)力變化的影響.注意到材料的左表面都是自由邊界(方程19),其應(yīng)力為0.因而這里討論x=1(而不是x=0)和x=3 時(shí)的熱應(yīng)力變化.如上所述,熱波的到達(dá)導(dǎo)致局部溫度升高,使當(dāng)?shù)禺a(chǎn)生局部壓應(yīng)力,而溫度降低則導(dǎo)致局部拉應(yīng)力.如圖9(a)所示,不同模型的熱應(yīng)力變化相似.但熱應(yīng)力峰值隨分?jǐn)?shù)階次的增大而增大,標(biāo)準(zhǔn)C-V 模型預(yù)測(cè)的熱應(yīng)力幅值最大,這與圖8(a)呈現(xiàn)的溫度分布趨勢(shì)一致.圖9(b)中熱應(yīng)力分布與圖9(a)相似.但圖9(b)中不同模型的熱應(yīng)力峰值出現(xiàn)的時(shí)間有所差別,表明不同的模型體現(xiàn)不同的熱波速度.

4 結(jié)論

本文通過建立分?jǐn)?shù)階Cattaneo 熱傳導(dǎo)方程和相應(yīng)的熱應(yīng)力方程,研究了短脈沖激光加熱的熱行為及熱應(yīng)力,揭示了短脈沖激光加熱的傳熱機(jī)理及激光脈沖參數(shù)和分?jǐn)?shù)階階次對(duì)溫度和熱應(yīng)力的影響.具體結(jié)論如下:

該模型預(yù)測(cè)的傳熱過程反映了熱擴(kuò)散與熱波特征之間的熱行為,分?jǐn)?shù)階單相傳熱模型展現(xiàn)DPL 模型的傳熱特征,不但體現(xiàn)時(shí)間的非局部性質(zhì),也含有材料內(nèi)部傳熱載體相互作用,更符合物理現(xiàn)實(shí).

激光脈沖參數(shù)β 和μ對(duì)溫度和熱應(yīng)力分布有顯著影響.隨著脈沖上升和下降時(shí)間的變少,激光輻照能量釋放越慢.溫度峰值、溫度梯度和熱應(yīng)力幅值與激光脈沖的時(shí)間分布特征密切相關(guān).

材料瞬態(tài)熱行為同時(shí)也取決于分?jǐn)?shù)階階次.較大的分?jǐn)?shù)階階次對(duì)應(yīng)于較慢的熱波速度,此時(shí)熱波動(dòng)機(jī)制占主導(dǎo)地位.分?jǐn)?shù)階階次較小時(shí),熱擴(kuò)散占主導(dǎo).材料局部溫度隨分?jǐn)?shù)階階次增加而升高.隨溫度的升高和降低,材料呈現(xiàn)壓縮和拉升應(yīng)力,應(yīng)力幅值隨分?jǐn)?shù)階數(shù)的增加而增大.

附錄A