基于FFRLS算法的電池模型

鮑宸浩，曹曉玉，鄧孝元

長安大學汽車學院，陜西西安 710064

0 引言

隨著我國汽車工業(yè)的發(fā)展，新能源汽車的比例隨之增加，動力電池作為新能源汽車動力系統(tǒng)的關鍵部件，成為目前的重點研究對象之一。鋰離子電池具有電池單體能量密度高、充放電無記憶性、自放電效應小、循環(huán)壽命長等優(yōu)點，廣泛應用于新能源汽車中。但由于其外特性難以精確估算，通常需要通過建立數(shù)學模型表征鋰離子電池的外特性。

電池模型主要有熱模型、電熱耦合模型和電學特性模型[1]。熱模型主要分為單狀態(tài)集中參數(shù)熱模型[2]、基于偏微分方程的分布參數(shù)熱模型[3]和雙狀態(tài)集中參數(shù)熱模型[4]3類，用于研究溫度對電池性能、壽命和安全性方面的影響。電熱耦合模型主要分為基于偏微分方程的電熱耦合模型[5-6]、集中參數(shù)的電熱耦合模型[7-8]及混合型電熱耦合模型[9]3類，該模型把電和熱2個域通過電池的發(fā)熱量耦合起來。電學特性模型主要分為電化學模型和等效電路模型，從電學特性角度研究電池的充放電特性。電化學模型能夠清楚描述電池的反應過程，但其結構復雜，參數(shù)和運算過程繁雜，難以建立精確的模型。等效電路模型利用電路網(wǎng)絡描述電池的外特性，結構簡單、參數(shù)易得，廣泛應用于動力電池的研究。常見的等效電路模型有Rint模型[10]、Thevenin模型[11]以及PNGV模型，其中Thevenin模型具有結構相對簡單，精度相對較高的優(yōu)點。因為電池的恒流放電試驗在恒溫箱中進行，忽略溫度的影響，所以采用電學特性模型的二階Thevenin等效電路模型進行建模。

對模型進行參數(shù)辨識是電池建模中最為重要的環(huán)節(jié)，直接影響模型的精度。文獻[12-13]通過等間距脈沖恒流放電以及充分靜置獲取KSOC-UOC曲線(KSOC為放電過程中電池剩余容量與其完全充電狀態(tài)下容量的比值,UOC為電池開路電壓)。周娟等[14]設計一種新型放電方式：先進行快速交替變化充放電，再進行恒流充放電，精確地辨識出2個時間常數(shù)。文獻[15]運用粒子群算法建立三階Thevenin模型，該模型對電池的各種輸出工況具有良好的適應性，但模型計算極其復雜，難以在實際中運用。文獻[16]利用最小二乘法(recursive least squares，RLS)實現(xiàn)電池參數(shù)的在線更新，進一步提高了電池模型的精度，大大提高了電池各種工況的適應性。

參數(shù)辨識中應用最廣泛的算法是最小二乘法，計算簡單，建立的模型具有良好的動態(tài)特性。本文建立二階Thevenin等效電路模型，用最小二乘法對模型進行參數(shù)辨識，引入遺忘因子，對算法進行改進，進一步提高模型的精度，并通過試驗對模型的參數(shù)辨識結果進行驗證。

1 電池模型及KSOC-UOC曲線

1.1 二階Thevenin模型

圖1 二階Thevenin模型

Thevenin模型主要由理想電壓源UOC、電阻R0以及若干個電阻R、電容C并聯(lián)環(huán)節(jié)組成。其中R、C并聯(lián)的個數(shù)越多，表示Thevenin模型的階數(shù)越高，表征的電池動態(tài)性能越好，但計算復雜度隨之增加。綜合考慮，本文采用二階Thevenin模型，結構如圖1所示，其中：UOC為電池的開路電壓，其大小與電池的KSOC有關；R0為電池的內阻，用來表征電池的純電阻特性；R1、R2、C1、C2分別為電池的極化電阻和極化電容，用來表征電池充放電時的極化特性；U為電池的端電壓;I為電路總電流。

基于基爾霍夫電壓定律，由圖1得：

U=UOC-U1-U2-IR0，

(1)

式中：U1、U2分別為R1C1、R2C2的電壓。

為了參數(shù)辨識的方便， 將式(1)進行離散化，建立s域方程。

由圖1得：

(2)

式中C為總電容。

進行拉式變換[17]，式(2)可變換為

(Cs+1/R)U(s)=I(s)，

(3)

式中I(s)、U(s)分別為I、U的象函數(shù)。

由式(1)(3)可得二階Thevenin數(shù)學模型

(4)

式中UOC(s)為UOC的象函數(shù)。

模型(4)中的未知參數(shù)為R0、R1、R2、C1、C2，其余參數(shù)可以通過恒流放電獲取。

1.2 KSOC-UOC曲線

要確定式(4)中的參數(shù)，需要已知電路的UOC，為簡化計算，建立KSOC-UOC關系曲線。通過電池恒流放電試驗獲取UOC，再進行曲線擬合得到KSOC-UOC曲線。本次恒流放電試驗中，選擇18650電池，在25 ℃的恒溫箱中進行試驗，電池充分靜置后，每次以6.5 A的電流釋放電池10%的電量，每次取電池靜置末端時刻，即開始放電的前一刻的電池端電壓作為電池的開路電壓，詳細數(shù)據(jù)見表1。

表1 電池KSOC及UOC

將表1中的試驗數(shù)據(jù)用Matlab中的Curve Fitting工具進行擬合。擬合函數(shù)的多項式最高次數(shù)為4次時，Matlab的擬合度為0.998 8，擬合曲線如圖2所示。由圖2可以看出，部分數(shù)據(jù)點游離于曲線之外。多項式最高次數(shù)為5次時，Matlab的擬合度為0.999 9，擬合曲線如圖3所示。由圖3可以看出，曲線擬合已經(jīng)趨于完美。多項式最高次數(shù)為6次時，Matlab的擬合度仍為0.999 9。

圖2 多項式次數(shù)為4次時的擬合曲線 圖3 多項式次數(shù)為5次時的擬合曲線

為了計算方便，擬合多項式的次數(shù)選定為5次，令y=UOC，x=KSOC，曲線的擬合公式為：

y=4.567x5-13.23x4+14.18x3-6.218x2+1.401x+3.477。

(5)

2 模型參數(shù)辨識

本文使用最小二乘法對模型(4)中的參數(shù)R0、R1、R2、C1、C2進行辨識，令V(s)=UOC(s)-U(s)，由式(4)得傳遞函數(shù)

(6)

(7)

整理k1～k5得：

(8)

(9)

(10)

(11)

R1R2C1+R1R2C2+R0R2C2+R0R1C1=(k3-k5)/4T。

(12)

由式(8)～(12)可知，要求得模型參數(shù)R0、R1、R2、C1、C2，采樣時間T為已知，需要求得k1～k5。

V(k)=-k1V(j-1)-k2V(j-2)+k3I(j)+k4I(j-1)+k5I(j-2),j=3,4,…，n,

(13)

式中:j為試驗數(shù)據(jù)V、I的序號，n為自然數(shù)。

但在實際中，電池的開路電壓UOC與電池KSOC、電池的工作溫度Tem和其壽命S存在一定的函數(shù)關系：

UOC=f((KSOC(t))，Tem(t)，S(t))，

(14)

式(14)對時間t微分，得：

(15)

為便于模型參數(shù)的辨識，對式(15)進行如下簡化：

所以，在上述簡化后可知，單次放電時電池的開路電壓UOC可以看作無變化，UOC等于放電開始前一刻的電池端電壓，由式(5)或者表1獲得。將UOC與試驗數(shù)據(jù)U、I代入最小二乘法遞推公式，可求得k1～k5。

裝配式建筑跟BIM密不可分。在本項目中，應充分發(fā)揮EPC聯(lián)合體優(yōu)勢，將BIM技術應用前置，實現(xiàn)構件簇群化，參數(shù)化，施工安裝預模擬、裝配式構件堆場模擬等科學管理手段，保證裝配式建筑的實施度。

最小二乘法的遞推公式為:

(16)

(17)

P(i)=[I-K(i)xT(i)]P(i-1)，

(18)

(19)

在參數(shù)計算時可能得到多個解，考慮到模型(4)中的2個時間常數(shù)τ1=R1C1和τ2=R2C2，τ1表征電池快速充放電時的極化特性，其值較小，τ2表征電池恒流充放電時的極化特征，其值較大，故在計算時令τ1取極小值，τ2取極大值。

至此，完成了模型(4)的參數(shù)辨識。

但在實際迭代過程中，存在“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，即在迭代完成收斂后，繼續(xù)迭代時，微小的數(shù)據(jù)波動會導致誤差的極大變化，同時恒流放電的電流存在一定誤差，如部分恒流放電過程中的部分電流為：6.499、6.507、6.497、6.496、6.503、6.499、6.497、6.505、6.499、6.497 A，雖然電流的誤差不大，卻能引起迭代過程中估計誤差的突變，如圖4所示。

突變誤差會引起電池模型的參數(shù)異常變化，影響模型的精度。為使建立的模型具有更高的精度，引入遺忘因子λ[18], 即使用遺忘因子最小二乘法(forgetting factor recursive least squares，F(xiàn)FRLS)進行參數(shù)辨識，能夠削弱迭代過程中舊數(shù)據(jù)對辨識參數(shù)的影響，改善“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，加快迭代的收斂速度。

圖4 估計誤差變化

采用FFRLS將式(17)(18)變換為：

(20)

P(i)=[I-K(i)xT(i)]P(i-1)/λ。

(21)

圖5 改變算法后的誤差變化

式(20)(21)中λ越小，迭代的收斂速度越快，迭代過程中新的采樣數(shù)據(jù)對辨識參數(shù)的影響也越大，但迭代的誤差波動也會隨之增大。根據(jù)經(jīng)驗， 一般取0.95≤λ<1，本文中選取λ=0.998，其迭代過程中的估計誤差變化如圖5所示。

由圖5可以看出，估計誤差的突變得到了很好的改善。將改進算法后計算出的k1～k5代入式(8)～(12)中計算各個參數(shù)，并分別計算不同KSOC下各個模型參數(shù)的值。參數(shù)辨識的最終結果如表2所示。

表2 不同KSOC時參數(shù)的辨識結果

3 試驗驗證

為了評價參數(shù)辨識的結果，在MATLAB/Simulink中搭建圖6所示的電池仿真模型，在圖6的模型中輸入表2中的各辨識參數(shù)，并進行電壓仿真輸出，電壓模擬值與試驗中獲取的實際值的對比如圖7所示。

由圖7可以看出，仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)之間的誤差較小。經(jīng)過誤差計算得出：最大絕對誤差為50 mV，最大相對誤差為1.3%，均在誤差允許的范圍內。因此，可以證明利用FFRLS算法進行的二階Thevenin模型參數(shù)辨識結果良好。

圖6 二階Thevenin仿真模型

圖7 仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)比較

4 結論

1)基于二階Thevenin模型，利用FFRLS算法建立電池的仿真模型，利用Matlab軟件對模型進行驗證，模型的模擬值與實際值的誤差在允許范圍內，表明FFRLS算法能夠較精確完成模型的參數(shù)辨識，建立的模型具有良好的精度。

2)KSOC-UOC曲線具有較高的擬合度，在一定誤差允許范圍內可以用電池的開路電壓UOC估算電池的KSOC，或使用KSOC獲取相應的開路電壓UOC，了解電池的狀態(tài)。

3)本文采用的算法在迭代收斂時誤差在零值附近有較大的波動，可能是簡化所帶來的系統(tǒng)誤差，將在后續(xù)研究中進行改進。